淺析函數的定義域

郭君琴

（定襄中學校，山西 忻州 035400）

函數是一種對應關系，是非空數集A到非空數集B的對應。對應法則、定義域、值域是函數的三要素。而值域由定義域和對應法則唯一確定，由此可以看出定義域的重要性。以下筆者從兩方面談談函數的定義域：一是函數的定義域怎么求；二是定義域的重要性。

我們首先來談第一個問題，定義域怎么求？定義域是自變量x的取值范圍，有3種情況：

（1）如果給的是具體函數，只要建立一個關于自變量x的一個不等式組，求其解即可。

（2）如果是實際問題，除函數解析式有意義外，還應考慮自變量取值的實際意義；如某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為xm，則寬為（50-x）m，由題意得：

函數關系式為：S=x（50-x）

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量的范圍。因為當自變量取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：（0，50）。

（3）如果是抽象函數該怎么辦呢？抽象函數是指沒有明確給出具體的函數表達式的函數，由于其表現形式的抽象性，使得定義域的求解難度增大，解題思路不明顯，做起題來感覺很困難。

事實上，只要抓住兩點就能使該問題很明朗。第一，函數定義域的概念：是自變量的取值范圍，所以y=f[g（x）]的定義域依舊是x的范圍，而不是中間變量g（x）范圍。第二,函數的精髓：f（x）中的x可以用任意數或式替換（在給定范圍內），但替換部分應與x取值相同，即范圍相同。所以，y=f[g（x）]中的 g（x）的取值范圍與f（x）中的x的取值范圍是相同的。抓住此兩條，抽象函數求定義域的問題就會不攻而破。

例1：f（x）定義域為[-1，1]，求y=f（1-x2）定義域。

分析：求y=f（1-x2）的定義域就是求y=f（1-x2）中自變量x的范圍，因為f（1-x2）中的1-x2與f（x）中x的范圍一致，所以-1≤1-x2≤1。解不等式得，即函數的定義域為[-

例2：y=f（3-2x）定義域為（-1，2），求f（x）定義域。

分析：f（x）中x與y=f（3-2x）中3-2x的范圍一致。因為y=f（3-2x）定義域為（-1，2），所以由-1＜x＜2 推出 -1＜3-2x＜5。所以f（x）定義域為（-1，5）。

接下來我們談第二個問題，即函數定義域的重要性。函數的定義域是函數的靈魂，研究函數性質時，一定要從定義域出發。定義域、對應關系、值域是函數的三要素，定義域不同，函數就不同。所以，離開定義域研究函數是沒有任何意義的。下面筆者就此舉幾個日常容易犯錯誤的幾個例子。

例3：已知函數y=x2-4x+6，在下列條件下分別求值域。

（1）x綴{-1，0，1，3，4} （2）x綴R （3）x綴（1，5] （4）x綴（2，5）

分析：同一對應關系下，定義域不同，函數就不是同一個函數，值域就很可能不同。

在（1）中，定義域只包含幾個孤立的數，相應的值域也是由幾個孤立的數構成。這幾個數是由自變量x的取值通過對應關系計算得到的，于是值域為{11、6、3}。

在（2）中，定義域為 R，函數在（-∞，2）上是減函數，在(2，+∞)上是增函數。當x=2時，函數有最小值，值域為：[2，+∞)。

在（3）中，區間內包含對稱軸，對稱軸左側函數為減函數，右側為增函數，所以當x=2時，函數有最小值。而在離對稱軸較遠的x=5的位置有最大值，值域為[2，11]。

在（4）中，區間在對稱軸右側，函數為增函數，所以f（2）＜y＜f（5），值域為（2，11）。

方法總結，雖然函數解析式相同，但定義域不同值域可能就不一樣，因此，求函數值域不是簡單地代區間端點進行計算，每一類題目都有不同的解題方法。當無章可循時，可考察其單調性，利用單調性求值域是一種很好的方法。

事實上，函數的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），不關于原點對稱，既不是奇函數也不是偶函數。

由上述幾個例子可以看出，定義域是解決函數問題時首先要考慮的問題，一定要以定義域優先為準則，避免不必要的錯誤。

總的來說，我們不僅要會求函數的定義域，而且在解決函數問題時要先考慮定義域，一定要從定義域出發。