圖像小波變換系統設計

陳金西

(廈門理工學院電子與電氣工程系，福建廈門 361024)

數字圖像變換域處理的目的是利用某些變換域可使圖像的某些特征得以突出，從中提取圖像特征，便于處理和識別；利用圖像變換域處理可實現圖像高效壓縮編碼；利用圖像變換域處理可使數學運算量大大減少，從而提高圖像處理速度。數字圖像變換域處理最關鍵是數學變換模型，即首先將圖像從空域變換到變換域，然后進行各種處理，再將所得結果進行逆變換，從變換域再變換到空域，從而達到圖像處理目的。小波變換具有多分辨率分析的特點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力，時間窗和頻率窗都可以根據信號的具體形態動態調整。在一般情況下，在低頻部分可以采用較低的時間分辨率，而提高頻率的分辨率，在高頻情況下可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時間定位。因為這些特定，小波分析可以探測正常信號中的瞬態，并展示其頻率成分，所以被稱數學顯微鏡，廣泛用于各個時頻的分析領域，如信號處理、圖像處理、模式識別和語音識別等。小波分析在圖像處理方面，主要用來圖像壓縮、圖像降噪、圖像增強、圖像融合和圖像分解。

本設計采用Matlab程序，設計數字圖像二維小波變換平臺，用戶可任意給定變換參數，即可觀察變換模型的變換域特征圖像、逆變換后的圖像及原始圖像，并可根據需要存儲結果，分析特征。這種圖形化、可視化操作界面形象直觀，便于理解圖像處理過程和變換模型的物理特征，可提高圖像分析與研究效率。本設計已應用于教學實踐中，得到學生的普遍好評。

1 小波變換系統設計

小波變換的基本思想是通過一個小波函數在時間上的平移和在尺度上的伸縮得到一個小波基，然后利用小波基去表示或逼近信號或函數，獲得一種能自動適應各種頻變成分的有效信號分析手段。小波變換彌補了傅立葉變換不能描述隨時間變化的頻率特性的不足，特別適合于那些在不同時間窗內，具有不同頻率特性，而且其應用目的是為了得到信號或圖像的局部頻譜信息而非整體信息的信號或圖像處理問題。由于小波變換在時域和頻域同時具有良好的局部化特性，利用小波的多分辨率分解特性既可高效地描述圖像的平坦區域，又可有效地表示圖像信息的局部突變（圖像邊緣部分）。因此小波變換在圖像處理領域具有十分廣闊的應用前景。小波變換定義如下。

如果f（x）是一個離散序列，則對f（x）展開得到的系數稱為f（x）的一維離散小波變換。

尺寸為M×N圖像f（x，y）的二維離散小波變換定義是[1]：

其中uj，m，n（x,y）=2j/2u（2jx-m，2jy-n）為縮放基函數；

其中（i）={H，V，D}為平移基函數；

u（x,y）=u（x）u（y）為縮放函數；v（Hx,y）=v（x）u（y）為水平方向細節函數；v（Vx,y）=u（x）v（y）為垂直方向細節函數；v（Dx,y）=v（x）v（y）為對角方向細節函數。

離散小波反變換是：

小波分解原理說明：小波分解過程如圖1所示，圖中S表示原始圖像，A表示近似圖像（低頻圖像），B表示細節圖像（高頻圖像），下標表示分解的層數，分解的數學表示為S=A1+B1=A2+B2+B1=A3+B3+B2+B1。由于分解過程是迭代的，從理論上講可以無限制地連續分解下去，但在實際中，分解可以進行到細節只包含單個樣本為止。因此在實際應用中，可根據圖像的特征或者合適的標準來選擇適當的分解層數。

圖1 小波分解示意圖

程序算法設計(4層分解)[2]：輸入圖像I；選擇變換小波函數w2；小波分解:[a，b]=wavedec2(I，4，w2)；提取 1 層分解信息：a1=appcoef2(a，b，w2，1)；b1=detcoef2('h'，a，b，1)；c1=detcoef2('v'，a，b，1)；d1=detcoef2('d'，a，b，1)；提取 2 層分解信息：a2=appcoef2(a，b，w2，2)；b2=detcoef2('h'，a，b，2)；c2=detcoef2('v'，a，b，2)；d2=detcoef2('d'，a，b，2)；提取 3 層分解信息：a3=appcoef2(a，b，w2，3)；b3=detcoef2('h'，a，b，3)；c3=detcoef2('v'，a，b，3)；d3=detcoef2('d'，a，b，3)；提取 4 層分解信息：a4=appcoef2(a，b，w2，4)；b4=detcoef2('h'，a，b，4)；c4=detcoef2('v'，a，b，4)；d4=detcoef2('d'，a，b，4)；

計算1層近似圖像的熵值H1：H1=0；[f，x]=imhist(a1)；[m，n]=size(a1)；f=f/(m*n)；for k=0:x，iff(k+1)~=0，H1=H1+f(k+1).*log2(f(k+1))；end；end；

計算2層近似圖像的熵值H2：H2=0；[f，x]=imhist(a2)；[m，n]=size(a2)；f=f/(m*n)；for k=0:x，iff(k+1)~=0，H2=H2+f(k+1).*log2(f(k+1))；end；end；

計算3層近似圖像的熵值H3：H3=0；[f，x]=imhist(a3)；[m，n]=size(a3)；f=f/(m*n)； for k=0:x，iff(k+1)~=0，H3=H3+f(k+1).*log2(f(k+1))；end；end；

計算4層近似圖像的熵值H4：H4=0；[f，x]=imhist(a4)；[m，n]=size(a2)；f=f/(m*n)；for k=0:x，iff(k+1)~=0，H4=H4+f(k+1).*log2(f(k+1))；end；end；

組建小波分解完整圖像：J4=[a4，b4；c4，d4]；[m，n]=size(a3)；J_4=J4(1:m，1:n)；J3=[J_4，b3；c3，d3]；

[m，n]=size(a2)；J_3=J3(1:m，1:n)；J2=[J_3，b2；c2，d2]；[m，n]=size(a1)；J_2=J2(1:m，1:n)；

J1=[J_2，b1；c1，d1]；顯示所有圖像[3]。

程序運行界面如圖2所示。

圖2 多尺寸小波變換程序運行界面

程序運行結果分析：改變參數，仿真結果與圖像處理理論相符合。離散小波變換是將原始圖像分解成1個近似圖像和3個細節圖像，即每一層分解成4個子帶圖像，近似圖像又可進一步分解成4個子帶圖像，故總的子帶數為3k＋1，其中k就是分解的層數。4層haar小波變換結果如圖2所示，第一行的右邊原始圖像分解為第一行左邊的4個第一層子帶圖像，再從第一行的最左邊近似圖像分解成第二行左邊的4個第二層子帶圖像，再從第二行的最左邊近似圖像分解成第三行左邊的4個第三層子帶圖像，依此逐層分解。分解層數的選擇一方面要看圖像的復雜程度，另一方面要從子帶信息量來分析，當一個子帶分成4個子帶時，若4個子帶的熵值和很小，就不必再分解了。如圖2所示的小波分解例子，其各層的熵值為：第一層近似圖像是0.52053；第二層近似圖像是0.31054；第三層近似圖像是0.15806；第四層近似圖像是0.08672。通過本系統實驗，在實際應用過程中可根據原始圖像的大小和一些經驗數據來確定分解層數，一般分解3層即可滿足要求。

小波變換與傅立葉變換相比，小波變換具有很大的靈活性，其中一個重要方面就是傅立葉變換具有唯一的正弦基函數，而小波變換具有很多小波基函數可供選擇[4]。選擇不同的小波基對于圖像處理的效果有很大的影響。這種靈活性一方面使小波變換的性能比傅立葉變換有了根本提高，另一方面也給小波變換的應用帶來難題。本系統提供可選擇的小波有haar(db1)小波、Daubechies（db2；db3；…；db45）小波、Coiflets（coif1；coif2；…；coif5）小波、Symlets（sym2；sym3； …；sym45）小波、Discrete Meyer wavelet(dmey)小波、Biorthogonal(bior1.1，bior1.3， bior1.5，bior2.2，bior2.4，bior2.6，bior2.8，bior3.1，bior3.3，bior3.5，bior3.7，bior3.9，bior4.4， bior5.5，bior6.8)小波、Reverse Biorthogonal（rbio1.1，rbio1.3，rbio1.5，rbio2.2，rbio2.4， rbio2.6， rbio2.8，rbio3.1，rbio3.3， rbio3.5，rbio3.7，rbio3.9， rbio4.4，rbio5.5，rbio6.8）小波。小波基的選取是小波應用研究中的一個難點，在實際應用中，往往都是通過實驗來確定。本系統設計下拉列表框提供各種小波基的選擇，操作簡單，變換結果直接顯示，方便用戶對各種不同小波基變換特征研究。小波變換通過選取合適的小波基，可以極大地減小或去除所提取不同特征之間的相關性。多尺度小波分解結果，按各層次的低頻分解圖像，水平方向的高頻分解圖像，垂直方向的高頻分解圖像，對角方向的高頻分解圖像排列顯示，便于觀察分析圖像的分解信息特征。不同層次的圖像信息變化，反應小波變換具有“變焦”特性，在低頻段可用高頻率分辨率和低時間分辨率(寬分析窗口)分析，在高頻段可用低頻率分辨率和高時間分辨率(窄分析窗口)分析。

2 軟、硬件運行環境及調試運行

硬件要求：PⅡ以上CPU；1G以上內存；50G以上硬盤空間。

軟件要求：Windows2000及以上版本操作系統；采用可視化面向對象程序設計的Matlab2006版本為系統開發平臺。

本系統經過調試修改及實踐驗證，已能全面滿足設計需要，大大提高了對數字圖像處理學習研究的工作效率，顯示較高的實用價值，可在圖像處理領域中推廣使用。

3 結論

本系統具有如下技術特點：(1)把原始圖像小波變換后各層特征圖像，由變換圖像的重建圖像，變換前后誤差圖像繪在同一界面上，方便用戶觀察比較，其圖像處理運算過程清晰，運算結果形象直觀，對圖像處理過程的抽象數學理解能起到啟發作用[5]。各變換設計的仿真結果滿足設計指標要求，變換特性符合數字圖像處理理論；(2)界面友好，使用方便，操作簡單，運行效率高；(3)有利于改變設計參數，選擇原始圖像，快速繪出處理結果以及觀察與分析研究；(4)對二維小波基進行分類歸納，并進行簡單明確的說明，方便“數字圖像處理”“數字信號處理”“通信原理”“醫學圖像處理”的輔助教學，也方便利用本軟件進行圖像變換處理的自學與研究；(5)變換域用二維圖像表示，形象直觀，對學習研究變換域各特征之間相互關系很有幫助；(6)利用此平臺作為多媒體教學輔助，把抽象的圖像處理過程及變換的抽象數學模型用形象的圖形來表征，提高教學效率，獲得同行及學生好評。

[1]章毓晉.圖像處理[M].北京:清華大學出版社,2006.

[2]陳金西.FIR數字濾波器設計可視化平臺開發[J].廈門理工學院學報,2008,16(4):37-42.

[3]劉衛國.Matlab程序設計[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4]李俊山.數字圖像處理[M].北京:清華大學出版社,2007.

[5]陳金西.基于Matlab的數字圖像二維濾波軟件設計[J].廈門理工學院學報,2009,17(2):40-45.