索賠相依的非參數(shù)近鄰估計(jì)信度模型

孫 榮

0 引言

信度理論產(chǎn)生于20世紀(jì)20年代，至今已有80多年的歷史，在非壽險(xiǎn)精算理論與實(shí)務(wù)中具有重要地位，是精算學(xué)中最重要的經(jīng)驗(yàn)保費(fèi)厘定技巧，是一種經(jīng)驗(yàn)估費(fèi)模型。在這類模型中，精算師根據(jù)過去的單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)或者一個(gè)保單組合風(fēng)險(xiǎn)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，調(diào)整未來的保險(xiǎn)費(fèi)。從20世紀(jì)初到現(xiàn)在，信度理論的研究主要形成了兩個(gè)不同的分支：(1)建立在頻率方法上的有限擾動(dòng)理論；(2)以貝葉斯理論為基礎(chǔ)的最精確一可信度理論。這兩種方法都是希望通過已有的歷史數(shù)據(jù)來合理的制定保費(fèi)。Bühlmann(1967)從Bayes觀點(diǎn)出發(fā)，建立了無分布信度模型，得到了該模型下的信度保費(fèi)公式，奠定了信度理論的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)。Bühlmann和Straub(1970)從實(shí)際運(yùn)用出發(fā)，引進(jìn)保單索賠的自然權(quán)重，得到非齊次與齊次信度估計(jì)，并對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)提出了相應(yīng)的估計(jì)，使得信度保費(fèi)能直接運(yùn)用于實(shí)際。這些結(jié)果己經(jīng)成為經(jīng)典的信度理論。但是，隨著精算科學(xué)在保險(xiǎn)行業(yè)中應(yīng)用的逐步精化、細(xì)化，保費(fèi)價(jià)目表變得越來越精細(xì)，這些經(jīng)典信度模型己經(jīng)不能滿足保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)的需要。Bühlmann(1967)建立的信度模型是一種所謂的獨(dú)立同分布模型，即假設(shè)合同之間為相互獨(dú)立，個(gè)體樣本索賠為條件獨(dú)立同分布，且合同之間的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)也是獨(dú)立同分布的。Bühlmann和Straub(1970)雖然將自然權(quán)重引入保險(xiǎn)合同，但是，假設(shè)合同之間相互獨(dú)立，樣本有共同的條件期望，并且條件方差有特殊的結(jié)構(gòu)。很明顯這些假定與實(shí)際相比過于嚴(yán)格，因?yàn)樵趯?shí)際保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，影響索賠的風(fēng)險(xiǎn)是非常復(fù)雜的，不僅在保單之間可能存在相依性，而且在時(shí)間分量上也可能存在某些趨勢(shì)。因此，根據(jù)實(shí)際需要，研究者對(duì)經(jīng)典的Bühlmann信度模型、Bühlmann一Straub模型進(jìn)行了多方面的拓廣，在這些拓展模型中，purearuO和Denuit.M(2002.2003)、FreesE.W 和Wang P(2005)、YeoK.et.etal(2006)、Wen.et(2009)、溫利民（2009）等的相依信度模型認(rèn)為經(jīng)典的信度理論的風(fēng)險(xiǎn)之間是相互獨(dú)立的，并且在時(shí)間分量上索賠也是條件獨(dú)立的假設(shè)不合實(shí)際，在實(shí)際中存在許多在時(shí)間或風(fēng)險(xiǎn)之間的相依狀況。信度保費(fèi)中同時(shí)含有先驗(yàn)信息與樣本信息，YoungV.R認(rèn)為樣本分布中的參數(shù)容易由樣本進(jìn)行估計(jì)，但先驗(yàn)分布本身或先驗(yàn)分布的參數(shù)很難估計(jì)，她提出用非參數(shù)的方法對(duì)先驗(yàn)分布進(jìn)行估計(jì)，由此得到半?yún)?shù)信度模型。QianW(2000)提出用核密度估計(jì)對(duì)先驗(yàn)分布進(jìn)行估計(jì)，并利用非參數(shù)方法討論了信度估計(jì)的相合性。Hachemeister(1975)提出了信度回歸模型，他在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)給定時(shí)，根據(jù)時(shí)間分量上具有某種協(xié)變量導(dǎo)致的效應(yīng)利用普通的回歸模型得到了保費(fèi)估計(jì)[1]。本文擬對(duì)索賠序列本身存在相依假定下的非參數(shù)回歸信度模型進(jìn)行分析，得到在相依條件下經(jīng)驗(yàn)保費(fèi)的信度估計(jì)。

1 模型設(shè)定

k表示每次再抽樣的樣本容量，是n的函數(shù)。令：

在不重復(fù)抽樣條件下，vni=P（x的第i個(gè)最近鄰在一次隨機(jī)抽樣中成為x的第一個(gè)最近鄰），則回歸函數(shù)m(X)=E[Y|X]的bagged-最近鄰估計(jì)為：

設(shè)S1,S2…代表各期索賠風(fēng)險(xiǎn)，Pi代表補(bǔ)償Si的信度保費(fèi)，H代表一個(gè)保費(fèi)的計(jì)算原則，使得對(duì)于任何風(fēng)險(xiǎn)，使保險(xiǎn)公司能夠根據(jù)P=H[S]確定保費(fèi)。此保費(fèi)可以補(bǔ)償Si的信度保費(fèi)。主要的計(jì)算原則有：凈保費(fèi)原則、期望值原則、方差原則等。根據(jù)Bühlmann的信度理論，在一定條件下，Pn+1=H(Sn+1|S1,S2…Sn)，文獻(xiàn)[3]假定S1,S2…是一個(gè)平穩(wěn)的Q階馬爾科夫鏈，對(duì)信度保費(fèi)提出了非參數(shù)核估計(jì)的方法，并對(duì)估計(jì)的漸進(jìn)性質(zhì)進(jìn)行了分析。本文擬對(duì)索賠序列提出Q階平穩(wěn)馬爾科夫鏈且滿足相依（強(qiáng)混合，α-混合）[4]條件假設(shè)，對(duì)采用凈保費(fèi)原則與期望值原則的信度保費(fèi)運(yùn)用非參數(shù)的bagged-最近鄰估計(jì)方法進(jìn)行分析。強(qiáng)混合（α-混合）條件反映了索賠序列短期的相依性，長期的漸進(jìn)獨(dú)立性，這一假定對(duì)實(shí)際的索賠風(fēng)險(xiǎn)而言是合理的。

凈保費(fèi)原則的信度保費(fèi)為：

期望值原則的信度保費(fèi)為：

λ為非負(fù)的參數(shù)。

令Xi≡(Si,…Si+q-1)T，Yi≡ Si+q，Nn(x)=#{i:‖Xi-x‖＜ δn,1≤i≤n,}，#{i :‖Xi-x ‖ ＜ δn,1≤i≤n,}代表{i:‖Xi-x‖＜δn,1≤i≤n,}中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。δn＞0

則凈保費(fèi)原則的信度保費(fèi)估計(jì)為：

則期望值原則的信度保費(fèi)估計(jì)為：

其中，Rj代表{Xi:‖Xi-x ‖ ＜δn,1≤i≤n,}中X的排序，YRj代表與XRj相對(duì)應(yīng)的Yi。

2 主要結(jié)論

假定：（1）m滿足Lipschitz條件，即?x∈U(x';δ)|m(x)-m(x')|≤M‖x-x'‖；

（2）文獻(xiàn)[5]條件2—5成立；

（3）δn～n-r，r=1/(2+q)。

若滿足上述條件，由文獻(xiàn) [2]、[4]、[5]可以得到：

3 實(shí)證分析

本文利用丹麥某保險(xiǎn)公司1980～1990年火災(zāi)超過一百萬丹麥克朗（DKM）財(cái)產(chǎn)損失索賠數(shù)據(jù)，以百萬丹麥克朗（DKM）為單位，共有2167個(gè)索賠記錄。相關(guān)統(tǒng)計(jì)量見表1。

圖1 火災(zāi)損失資料折線圖

表1 火災(zāi)財(cái)產(chǎn)損失數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量

令q=5、n=100、δn=5，分別對(duì)1982年、1984年、1986年三年的數(shù)據(jù)運(yùn)用公式（2.3）進(jìn)行擬合對(duì)比。擬合結(jié)果見表2。

表2 模型擬合誤差表

[1] 溫利民.風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的信度估計(jì)及其統(tǒng)計(jì)推斷[D].上海：華東師范大學(xué)，2010.

[2] G.Biau,F.C e,A.Guyader.On the Rate of Convergence of the Bagged Nearest Neighbor Estimate[C].French,INRIA,2009.

[3] Weimin Qian.An Application of Nonparametric Regression Estima?tion in Credibility Theory[J].Insurance:Mathematics and Economics,2000,(27).

[4] Richard C.,Bradley.Basic Properties of Strong Mixing Conditions a Survey and Some Open Questions.[J].Probability Surveys,2005,(2).

[5] Truong,Y.K.,Stone,C.J.Nonparametric Function Estimation Involv?ing Time Series[J].Annals of Statistics,1992,(20).

[6] Yong,V.R.Premium Principles[Z].Encyclopedia of Actuarial Cience,2004.

[7] B¨uhlmann,P.,Yu,B.Analyzing bagging[J].The Annals of Statistics,2002,30(4).

[8] 謝志剛，韓天雄.風(fēng)險(xiǎn)理論與非壽險(xiǎn)精算[M].天津:南開大學(xué)出版社,2000.