隨機波動率下信用風險定價模型的比較分析

郭培棟，陳啟宏

0 引言

在可違約債券研究中，由以往的文獻可以知道可違約債券的風險主要來自三個方面，即違約風險、利率風險、市場風險（波動率風險）。在經典的信用風險模型——結構化模型和約化式模型——中主要考慮的是違約風險和利率風險。上述信用風險定價模型的一個共同的特點就是都假設在資產價值的波動率是常數的基礎上進行討論的，而沒有考慮到波動率風險。由于假定波動率是恒定的，因此在估計波動率的時候直接把過去的波動率估計值看作未來波動率預測值，這種簡單而又直接的估計通常與實際情形有很大的偏差，成為一種最不準確的一種波動率測量和預測工具。顯然，波動率在時間序列上不可能是一個常數，而是一個動態隨機過程，這點在資產回報的時間序列和通過B-S模型的期權市場價格隱含的波動率的實證檢驗中證實。

隨機波動率模型最早是用來定價期權等信用衍生產品[1-3]。后來在信用風險定價模型也逐步引入隨機波動率因素，由于隨機波動率的引入使得模型變得更復雜，因此在給公式債券定價的時候往往都是考慮它的數值解或近似解。Jean-Pierre Fouque,Ronnie Sircary和Knut Solna[4]在首次通過結構模型(First passage structural approach)引入隨機波動率模型，并分析了波動率對信用價差的影響，在這里還討論了刻劃隨機波動率的多因子模型。陳侃和李時銀[5]討論了隨機波動率下可違約債券的定價，在假設標的資產價格的波動率是一個快速均值回復OU過程的函數的條件下,利用Taylor級數展開得到非完全市場下固定補償率的債券價格的近似表達式。在信用風險定價模型中考慮波動率的隨機性有很重要的意義。首先，作為一個投資公司債務的投資者，他必須要關注公司償還債務的風險，即公司的破產概率，公司資產價值的波動率是影響破產概率的一個重要變量；其次，從投資者的角度來看，利差收益是他們投資的主要收益，雖然不可否認影響利差的因素眾多，但公司資產價值的波動率顯然是其中的一個重要因素。

本文將討論在隨機波動率假設下，在利率分別為常數和隨機情形下可違約債券的定價問題。這里主要在結構法的三種經典模型下——Merton模型、跳擴散模型和首次通過模型——來討論的。本文還將利用特征函數得到了可違約債券價格和公司違約概率的顯式表達式，并通過數值模擬分析隨機波動率對信用價差和違約概率期限結構的影響。

1 Merton模型

基本假設：

(1)無風險利率r為常數。

(2)公司資產的價格V(v,t)滿足動態過程

其中μ為常數，W1為標準維納過程。

(3)波動率狀態變量vt服從擴散過程

其中，參數k,θ,σ都為常數，W2為標準維納過程。

(4)Cov(dW1,dW2)=ρ1dt，其中ρ1為常數，表示兩個布朗運動的相關系數。

(5)市場是無摩擦的。

(6)滿足Merton模型的其它假設。

記公司的債務為F，則在債券到期日債權人的收益為

這里的C(V,v,T)表示基于公司資產的歐式看跌期權在到期日的收益，對于歐式看跌期權C(V,v,t)滿足方程

根據波動率為常數時的歐式看跌期權的定價公式，可以假設

作變換x=lnV，把式(5)代入式(4)可得P1和P2滿足方程

上式中λ2,此時相應的參數分別為：

u1=-1/2,u2=1/2,a1=a2=kθ

b1=k+λ,b2=k+λ-ρ1σ

此時P1和P2滿足的終值條件為：

這里Pj就可看作在期權到期日變量x≥lnK的概率了?，F在我們來求解式(6),為此不妨先設

其中參數aj,bj,uj與式(6)一樣。考慮函數V(S,M,τ)≤VA(S,M,τ)＜VA(αM,M,τ)+(αM-S)+≤ δ+(αM-S)+. ，對于V(S,M,τ)=VA(S,M,τ)，令τ*=T為δ=VA(S,M,τˉ)在期權到期時刻的條件期望，即：

由Ito引理可得：

由期望的迭代法則可知，fj必為鞅，從而可得dt項的系數為零，故有：

fj滿足的終值條件為

若記S0∈(αM,∞)，則(αM,∞)與S=αM滿足的方程和終值條件完全一致，故δ也可看作是一個關于的條件期望，即(S,τ)。

特征函數有如下形式的解：

記τ=T-t，把(11)代入(9)、(10)可得C(τ;?)，D(τ;?)滿足方程

解之可得：

通過對特征函數作逆變換就可得概率函數Pj的表達式為：利用特征函數及其逆變換，同理可得Pj(j=1,2)的表達式為:

其中fj(x,v,T;lnF)滿足式(11),(12)。由(3)可知債券價格等于債務的無風險貼現減去一個基于公司資產的看跌期權的價格，即

債券的違約概率：上面的分析已經給出了公司債券價格公式，把其各項進行重新整理，則有

那么P1(V,v,t)就表示在[t,T]內債券違約概率，中掛號中的項表示違約時預期的貼現損失。

由上述債券定價公式可以得到信用價差的表達式，信用價差定義為可違約債券與不可違約債券收益率的差異，因此有

2 跳擴散模型

在風險中性下假設公司資產價格的動態過程為：

波動率狀態變量vt滿足微分方程(2)，其中qt(λ)表示強度為λ的poisson過程，用來刻劃在時間段[t,t+dt]內跳躍發生的次數，Yt∈(0,+∞)是獨立同分布的隨機變量，表示一旦跳躍發生時，跳躍的幅度，且Yt和qt(λ)是相互獨立的，且獨立于維納過程W2和W4。維納過程W2和W4是相關的，且有Cov(dW2,dW4)=ρ2dt。在跳擴散假設下，歐式期權的價格C(V,v,t)滿足方程

期權價格滿足終值條件C(V,v,T)=max(F-VT,0)，期權的價格C(V,v,t)的表達式可記為：

與前一樣，這里Π1和Π2表示在期權到期日F＞VT的條件概率?，F在我們先求出它們的特征函數，再通過逆變換得到Π1和Π2的解。作變換x=lnV，記此時它們的特征函數為可得滿足的方程為：

令

代入式(17)、(18)可得

其中：

利用特征函數及其逆變換，可得

再利用Morten方法，可違約債券等價于債務的現值減去一個歐式看跌期權，從而可得債券定價公式為：

債券的違約概率：由上式可得

從而有[t,T]內的違約概率DP=Π1(V,v,t)，掛號中的項表示違約預期貼現損失。

信用價差公式：此時債券的信用價差可表示為：

3 Black-Cox首次通過(first passage time)模型

(1)假設公式資產價格過程在風險中性下滿足

波動率狀態變量vt滿足微分方程(2)，且Cov(dW2,dW5)=ρ3dt

(2)公司發行了到期日為T的零息票債券，每份債券的面值為1。

(3)當公司資產觸擊到門檻值B時，就強制公司立即進入破產清算程序；當公司資產V大于門檻值B時，公司被認為有能力償還債務并繼續運營。

(4)發生違約時采用面值回收，為了簡便起見，這里記常數R為回收率，P0(r,T)，則面值回收具有形式RD，其中D為破產時刻零息票國債價格。

在這里假設無風險利率r和違約門檻值B都是常數，則在破產時刻t零息票國債價格D=exp[-r(T-t)]，從而在破產時刻債券持有人可得Rexp[-r(T-t)]。此時債券價格滿足方程

其中V0∈(B,+∞)，且滿足相應的邊界和終值條件現在我們來求解方程(20)，做變換W(x,v,t)=P(V,v,t)-Re-r(T-t)，x=ln(V/B)。則方程變為：

此時變量x的取值范圍為x∈(0,+∞)，相應的邊界條件(21)，(22)變為：

定義函數

顯然函數f(x,v,T)是一個奇函數，利用鏡像法，則W(x,v,t)的奇延拓在空間Ω={x∈R,0≤t≤T}上滿足柯西問題

我們發現，可以把W(x,v,t)看作是到期日收益函數f(x,v,T)的歐式期權的價格，在風險中性測度下歐式期權的價格W(x,v,t)可以表示為：

其中P1，P2分別表示風險中性下x＞0和x＜0的概率。把W(x,v,t)代入式(1.3.9)可得Pj(j=1,2)滿足方程

記 概 率 Pj(j=1,2)的 特 征 函 數 為 f(x,v,t;?)，則f(x,v,t;?)也 滿 足 方 程(29)，終 值 條 件 為 f(x,v,T;?)=exp(i?x)。同理 f(x,v,t;?)的解有如下形式為：

解上述方程有

且

再通過逆變換可得

再通過變量回代，并把上式代入(28)，從而可得風險中性下債券定價公式為：

債券的違約概率：記公司在[t,T]內的違約概率為DF，在首次通過模型下，可違約債券價格可以表示為：

把上述債券價格公式代入可得債券的違約概率為

信用價差公式為：

4 數值分析

在本節，我們將分析在隨機波動率下信用價差的期限結構和波動率的波動率這個參數對信用價差期限結構的影響。取參數r=0.05,k=0.1,θ=0.2,ρ=ρ1=ρ2=0.5。圖1、2分別演示了Merton模型下信用價差期限結構及其對波動率的波動率參數的依賴關系。由圖1可以觀察到，當準債務比K /V大于1時，則價差隨期限遞減；而當準債務比K/ V小于1時，價差隨著期限先遞增，隨后又將下降，呈現明顯的駝峰形狀。這與常數波動率下Merton模型的信用價差期限結構完全相似。由圖2可以看到，信用價差隨著波動率的波動的增大而增大，這與我們的直覺也是一致的，因為波動率的波動越大表明風險越大，此時債券所要求獲得的收益率也越大，價差也就隨著增大。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖3、4演示了跳擴散模型下信用價差期限結構及其對波動率的波動率參數的依賴關系。由3可以觀察到，當準債務比K/ V大于1時，則價差隨期限遞減；而當準債務比K/ V小于1時，價差是隨著期限遞增的。在圖4中我們發現，在跳擴散模型中信用價差對波動率的波動并不敏感，特別是準債務比K/ V小于1時更是如此。這可能是由于在模型中本身就考慮到了跳量對價差的影響了，因此對波動率的變動反而不是很敏感了。

圖5、6、7分別演示了首次通過模型下違約概率的期限結構和信用價差的期限結構及其對波動率的波動的依賴關系。由圖5、6可以看到，違約概率和信用價差都是隨著期限先增后減，呈現駝峰形狀。圖7則反映了價差隨著波動率的波動的增大而增大，這與Merton模型下的情形相似，也與我們的直覺經驗相符，即風險越大收益越大。由上述分析我們發現，隨機波動率變量對Merton模型和首次通過模型還是有比較顯著的影響，但是對跳擴散模型則影響并不顯著。

圖5

圖6

圖7

5 結束語

本文在假設狀態變量波動率服從隨機擴散過程下，分析了可違約債券的定價機制。通過特征函數及其逆變換的方法得到了可違約債券的價格及其信用價差的顯式表達式。最后通過數值模擬發現隨機波動率在Morten模型和首次時間通過模型中對信用利差有著顯著的影響，而在跳擴散模型中則對信用利差的影響并不顯著。

[1] Bates,D.S.Jumps and Stochastic Volatility:Exchange Rate Process?es Implicit in Deutsche Mark Options[J].Review of Financial Studies,1996,9(1).

[2] Heston,S.A Closed-form Solution for Options with Stochastic Volatil?ity with Applications to Bond and Currency Options[J].Review of Fi?nancial Studies,1993,6(2).

[3] Louis O.Scott.Pricing Stock Options in a Jump Diffusion Model with Stochastic Volatility and Interest Rates:Applications of Fourier Inver?sion Methods[J].Mathematical Finance,1997,7(4).

[4] Jean PF,Ronnie S,Knut S.Stochastic Volatility Effects on Default?able Bonds[J].Applied Mathematical Finance,2006,13(3).

[5] 陳侃,李時銀.可違約債券在隨機波動率假定下近似定價公式的求解[J].數學研究,2005,38(3).

[6] Chiarella,C.,Kwon,O.A Complete Markovian Stochastic Volatility Model in the HJM Framework[J].Asia Pacific Financial Markets,2000,7(4).

[7] Duffie,Darrell,Ken Singleton.Modeling Term Structures of Default?able Bonds[J].Review of Financial Studies,1999,12(4).

[8] Hobson,G.,Rogers,L.Complete Models with Stochastic Volatility[J].Mathematical Finance,1998,8(1).

[9] Sabanis S.Stochastic Volatility[J].International Journal of Theoretical and Applied Finance,2002,5(5).

[10] 王春峰,蔣祥林,吳曉霖.隨機波動性模型的比較分析[J].系統工程學報,2005,20(2).

[11] 閆海峰,劉利敏,楊建奇.隨機波動率模型的效用無差別定價和套期保值策略[J].系統工程學報，2007,22(4).