基于累積前景理論和隨機(jī)加權(quán)法的隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法

胡軍華，楊 柳

（中南大學(xué)商學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083）

0 引言

在現(xiàn)實(shí)世界中，因?yàn)榄h(huán)境的不確定性和復(fù)雜性，隨機(jī)多準(zhǔn)則決策問(wèn)題廣泛存在。在隨機(jī)多準(zhǔn)則決策問(wèn)題中，準(zhǔn)則值概率分布有確定、模糊確定和部分完全不確定三種情況。對(duì)于概率分布確定的隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法的研究比較多，如隨機(jī)優(yōu)勢(shì)方法、隨機(jī)多目標(biāo)可能度方法SMAA等；對(duì)于概率模糊確定的隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法的研究近年來(lái)也逐漸興起，如基于區(qū)間粗糙算子的粗糙隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法，基于期望值-混合熵的區(qū)間概率模糊隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法；而概率部分完全不確定的隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法的研究比較少，該方法對(duì)缺失值的處理，通常利用回歸分析和基于貝葉斯推理等方法，采用可能值進(jìn)行填充。隨機(jī)加權(quán)法[1]是在Bootstrap法基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的重新抽樣產(chǎn)生再生樣本，進(jìn)而估計(jì)分布參數(shù)的一種有效方法。隨機(jī)加權(quán)法對(duì)概率密度函數(shù)未知的隨機(jī)多準(zhǔn)則問(wèn)題進(jìn)行處理時(shí)，可以有效估計(jì)出其分布特征，將概率未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率已知的決策問(wèn)題，再利用相應(yīng)的方法進(jìn)行處理。

然而，目前大多數(shù)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策問(wèn)題多建立在期望效用理論和完全理性人假設(shè)的基礎(chǔ)上。而實(shí)際上，由于個(gè)體認(rèn)知的局限和知識(shí)的匱乏，使得決策者并非完全理性人。因此，Kahneman和Tversky提出了前景理論（Prospect Theory,PT）[2]和累積前景理論（Cumulative Prospect Theory,CPT）[3]，徹底摒棄了理性人假設(shè)，通過(guò)模型參數(shù)的調(diào)整來(lái)反映行為主體的風(fēng)險(xiǎn)偏好。近年來(lái)，考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好的隨機(jī)多準(zhǔn)則決策問(wèn)題引起了一些學(xué)者的關(guān)注，如Lahdelma和Salminen[4]將前景理論中的成對(duì)線性無(wú)差異函數(shù)和SMAA結(jié)合，提出了一種SMAA-P方法。王堅(jiān)強(qiáng)和周玲[5]利用前景理論的計(jì)量模型，探討了概率和準(zhǔn)則值均為區(qū)間灰數(shù)的灰色隨機(jī)多準(zhǔn)則決策問(wèn)題。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文將隨機(jī)加權(quán)法應(yīng)用于隨機(jī)多準(zhǔn)則決策中，考慮決策者的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度，針對(duì)準(zhǔn)則權(quán)重未知、準(zhǔn)則值部分缺失的隨機(jī)多準(zhǔn)則決策問(wèn)題，提出一種基于累積前景理論和隨機(jī)加權(quán)法的信息不完全的多準(zhǔn)則決策方法。

1 累積前景理論和隨機(jī)加權(quán)法

1.1 累積前景理論

累積前景理論中，前景值V由價(jià)值函數(shù)v和決策權(quán)重函數(shù)π共同決定，表示為：

Kahneman和Tversky[3]給出了一種能較好滿足決策者面臨收益時(shí)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和面臨損失時(shí)風(fēng)險(xiǎn)尋求的偏好特征的價(jià)值函數(shù)形式，具體表達(dá)式如下：

其中，x是決策方案相對(duì)于參考點(diǎn)的差值，x為正時(shí)，表示收益，x為負(fù)時(shí)，表示損失，α、β分別為風(fēng)險(xiǎn)偏好和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。Kahneman和Tversky認(rèn)為0＜α,β＜1，α=β=1時(shí)，決策者可被視為風(fēng)險(xiǎn)中立者。λ為損失規(guī)避系數(shù)，λ＞1表示決策者對(duì)于損失更加敏感。

本文中，收益和損失的決策權(quán)重函數(shù)采用文獻(xiàn)[7]給出的形式，分別為：

Prelec[6]給出了w+和w-的函數(shù)形式：

其中，γ+＞0，γ-＞0，?＞0。

1.2 隨機(jī)加權(quán)法

Efron于1979年首次系統(tǒng)提出了Bootstrap方法[7]。該方法不需要對(duì)給定的樣本數(shù)據(jù)的分布作任何假設(shè)，通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)抽樣來(lái)模擬其分布，是一種充分提取樣本數(shù)據(jù)本身信息的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷方法。Bootstrap法[8]的基本思想是：已知來(lái)自總體分布F的隨機(jī)子樣X=(X1,X2,…,Xn)，R(X,F)為某個(gè)事先選定的隨機(jī)變量，它是X和F的函數(shù)。要求根據(jù)子樣的觀測(cè)值x=(x1,x2,…,xn)估計(jì)R(X,F)的分布特征，如概率密度函數(shù)、分布函數(shù)、均值或方差等。Bootstrap法就是用樣本X=(X1,X2,…,Xn)構(gòu)造出F的極大似然估計(jì)（一般用樣本X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn來(lái)近似）；然后從中抽取大小為n的簡(jiǎn)單子樣i=1,2,…,n，稱為Bootstrap子樣；最后，用的分布來(lái)迫近R(X,F)的分布，稱為Bootstrap分布。

1987年，鄭忠國(guó)在Bootstrap方法的基礎(chǔ)上提出的一種新的統(tǒng)計(jì)分析法—Bayesian Bootstrap方法，又稱隨機(jī)加權(quán)法[1]，其基本思想是：采用蒙特卡洛模擬法從Diricklet分布中重復(fù)抽取N組隨機(jī)變量，通過(guò)給每個(gè)試驗(yàn)樣本隨機(jī)加權(quán)產(chǎn)生再生樣本來(lái)模擬總體分布，從而獲得小樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分布的均值與方差。設(shè)某先驗(yàn)信息服從未知分布F，未知分布的均值為u，方差為σ2。X=(x1,x2,…,xn)為來(lái)自于某未知分布F的樣本，令未知分布的均值為u和方差為σ2與收集到的樣本數(shù)據(jù)獲得的均值Xˉ和方差s2存在一定的誤差，記：對(duì)于分別構(gòu)造隨機(jī)加權(quán)統(tǒng)計(jì)量：

其中Vi(V1,V2,…,Vn)為服從D(1,1,…,1)分布的隨機(jī)變量。存在如下統(tǒng)計(jì)特征：

利用Bayesian Bootstrap對(duì)子樣進(jìn)行估計(jì)的具體步驟如下：

（1）通過(guò)計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生M組服從Dirichlet分布D(1,1,…,1)的隨機(jī)變量…,M)，記V(j)的聯(lián)合分布為，按如下方式產(chǎn)生：隨機(jī)抽取n-1個(gè)獨(dú)立同分布且服從U(0,1)的樣本v1,v2,…,vn-1，再按從小到大的順序重新排序使得=1,2,…,n)，則V(j)的聯(lián)合分布就是

（2）計(jì)算出M組隨機(jī)加權(quán)子樣(j=1,2,…,M)。其中:

（3）分布參數(shù)u,σ2的估計(jì)分別為:

2 隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法

某一隨機(jī)多準(zhǔn)則決策問(wèn)題，有m個(gè)備選方案供選擇，記 為A={a1,a2,…,am}，n個(gè) 評(píng) 價(jià) 準(zhǔn) 則 ，記 為C={c1,c2,…,cn}，各準(zhǔn)則間相互獨(dú)立，準(zhǔn)則的權(quán)向量為ω=(ω1,ω2,…,ωn)，有0≤ωj≤1且由于客觀世界的不確定性，方案ai(i=1,2,…,m)關(guān)于準(zhǔn)則cj(j=1,2,…,n)的評(píng)價(jià)值Xij為隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)未知，我們需要根據(jù)有限的樣本信息推斷相應(yīng)的總體特征。準(zhǔn)則cj(j=1,2,…,n)下的參照點(diǎn)為hj(j=1,2,…,n)，則有如下定義：

定義1方案ai關(guān)于準(zhǔn)則cj的評(píng)價(jià)值為連續(xù)型隨機(jī)變量按如下處理方式將連續(xù)型隨機(jī)變量離散化：把區(qū)間[uij-3σij,uij+3σij]均勻分為N等份，每等份為Δij=((uij+3σij)-(uij-3σij))/N=6σij/N，zijk=(uij-3σij)+k?Δij(K=0,1,…,N)，取值為zijk(k=0,1,2,…,N)的概率為：

因此，隨機(jī)變量Xij的取值序列為(zij0,zij1,…,zijN)，相應(yīng)的概率為(pij0,pij1,…,pijN)。備選方案方案ai(i=1,2,…,m)關(guān)于準(zhǔn)則cj(j=1,2,…,n)下的前景值：

基于累積前景理論和Bayesian Bootstrap的隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法步驟如下：

步驟1：中心極限定理從數(shù)學(xué)上證明了受大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量綜合影響的隨機(jī)變量往往服從或近似服從正態(tài)分布，因此，我們假設(shè)備選方案ai(i=1,2,…,m)在準(zhǔn)則cj(j=1,2,…,n)下的準(zhǔn)則值Xij服從正態(tài)分布其中uij和未知。根據(jù)Bayesian Bootstrap法，模擬備選方案ai(i=1,2,…,m)在準(zhǔn)則cj(j=1,2,…,n)下的準(zhǔn)則值Xij的均值uij和方差，進(jìn)而得到準(zhǔn)則值Xij的概率密度函數(shù)fij。

步驟2：按式(1)-(7)計(jì)算備選方案服從正態(tài)分布的方法計(jì)算備選方案ai(i=1,2,…,m)在準(zhǔn)則cj(j=1,2,…,n)下的前景值vij，得到前景值矩陣V=(vij)m×n

步驟3：將前景矩陣V=(vij)m×n進(jìn)行規(guī)范化處理，得到列和歸一化矩陣R=(rij)m×n，其計(jì)算公式為：

顯然有0＜rij≤1,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。

步驟4：依據(jù)規(guī)范化矩陣R=(rij)m×n，計(jì)算準(zhǔn)則cj的熵值Ej：

步驟5：依據(jù)得出的Ej，計(jì)算準(zhǔn)則cj的熵權(quán)ωj：

步驟6：按簡(jiǎn)單加權(quán)平均算子計(jì)算備選方案ai(i=1,2,…,m)的綜合前景值Vi：

按綜合前景值對(duì)備選方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。綜合前景值V越大，方案越優(yōu)。

3 算例分析

汽車大修是為了徹底恢復(fù)汽車完好技術(shù)狀況和延長(zhǎng)汽車使用壽命而進(jìn)行的作業(yè)，汽車大修可靠性是衡量汽車大修質(zhì)量的重要指標(biāo)之一。一般從如下3個(gè)方面評(píng)價(jià)大修汽車的可靠性：c1-平均首次故障里程（MTTF，km），c2-平均故障間隔里程（MTBF，km），c3-故障率（D，次1000km-1）。MTTF是指汽車故障前的平均工作里程，MTEF-是指汽車在兩次相鄰故障間的平均工作時(shí)間，反映了無(wú)故障的平均時(shí)間。D表示故障的頻繁程度。但是在可靠性試驗(yàn)中，多數(shù)情況下不能對(duì)研究總體進(jìn)行全數(shù)試驗(yàn)，而是從總體中抽取樣本進(jìn)行試驗(yàn)，然后跟據(jù)樣本試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)。現(xiàn)有4中不同型號(hào)的汽車ai(i=1,2,3,4)需要大修，試根據(jù)如下測(cè)試數(shù)據(jù)（如表1所示），選出可靠性最高的汽車進(jìn)行維修。

表1 大修汽車可靠性試驗(yàn)記錄

根據(jù)上述方法對(duì)上述4類汽車進(jìn)行可靠性評(píng)估，具體步驟如下：

（1）假設(shè)上述4類汽車在各個(gè)指標(biāo)下的準(zhǔn)則值Xij均服從正態(tài)分布根據(jù)Bayesian Bootstrap方法模擬準(zhǔn)則值的經(jīng)驗(yàn)分布，模擬次數(shù)M=5000，模擬結(jié)果如表2所示：

表2 備選方案在各準(zhǔn)則下的經(jīng)驗(yàn)分布

（2）根據(jù)1991年實(shí)施的“汽車產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)方法”（QCn29008.4-91），汽車的MTTF、MTBF和D的參照點(diǎn)分別為2500.0km,1500.0km和5.8次1000km-1，按照第三節(jié)步驟2中計(jì)算備選方案服從正態(tài)分布的方法計(jì)算備選方案ai(i=1,2,3,4)在準(zhǔn)則cj(j=1,2,3)下的前景值vij，其中，我們采用曾建敏在文獻(xiàn)[9]中的建議值，即α=1.21，β=1.02，λ=2.25。前景理論中決策權(quán)重函數(shù)的參數(shù)γ+、γ_和?采用文獻(xiàn)[10]的建議值，即γ+=0.8，γ_=0.8，?=1，得到前景值矩陣V=(vij)3×4，如表3所示。

表3 各方案在各準(zhǔn)則下的前景值

（3）按公式（8）和（9）對(duì)前景矩陣V=(vij)3×4進(jìn)行規(guī)范化處理，得到規(guī)范化矩陣R=(rij)3×4：

（4）根據(jù)式（10）計(jì)算準(zhǔn)則cj(j=1,2,3)的 熵 值Ej(j=1,2,3)：

E1=0.5008，E2=0.3968，E3=0.5732

（5）根據(jù)式（11）計(jì)算準(zhǔn)則cj(j=1,2,3)的 熵 權(quán)ωj(j=1,2,3)：

ω1=0.3264，ω2=0.3945，ω3=0.2791

（6）按式（12）計(jì)算備選方案ai(i=1,2,3,4)的綜合前景值Vi，得到V1=28.5134，V2=30.9992，V3=38.8680，V4=39.1287。因此，這4種大修汽車中可靠性最高的是a4，可靠性從高到低的順序依次為a4?a3?a2?a1。

4 結(jié)論

本文研究了準(zhǔn)則權(quán)重完全未知、準(zhǔn)則值部分缺失的多準(zhǔn)則決策問(wèn)題，納入決策主體的風(fēng)險(xiǎn)偏好，提出了一種基于累積前景理論和隨機(jī)加權(quán)法的信息不完全的多準(zhǔn)則決策方法。該方法在考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的同時(shí)，通過(guò)Bayesian Bootstrap模擬準(zhǔn)則值的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，量化決策信息的不確定性，更科學(xué)地為不確定情況下的判斷與決策提供指導(dǎo)，降低了決策風(fēng)險(xiǎn)，提高了決策質(zhì)量。在實(shí)際決策過(guò)程中，可以根據(jù)決策個(gè)體的風(fēng)險(xiǎn)偏好特征，適當(dāng)調(diào)整模型參數(shù)，以便更合理的輔助行為主體做決策。

[1]鄭忠國(guó).隨機(jī)加權(quán)法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1987,(2).

[2]Kahneman D,Tversky A.Prospect Theory:an Analysis of Decision Under Risk[J].Econometrica,1979,47(2).

[3]Tversky A,Kahneman D.Advances in Prospect Theory:Cumulative Representation of Uncertainty[J].Journal of Risk and Uncertainty,1992,5(4).

[4]Lahdelma R,Salminen P.Prospect Theory and Stochastic Multicrite?ria Acceptability Analysis[J].Omega,2009,37(5).

[5]王堅(jiān)強(qiáng),周玲.基于前景理論的灰色隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2010,30(9).

[6]Prelec D.Compound Invariant Weighting Functions in Prospect Theo?ry[M].Cambridge:Cambridge University Press,2000.

[7]Efron B.Bootstrap Methods:another Look at the Jackknife[J].The An?nals of Statistics,1979,7(1).

[8]陳紅.Bootstrap方法及其應(yīng)用[J].青島大學(xué)學(xué)報(bào):工程技術(shù)版,1997,12(3).

[9]曾建敏.實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)累積前景理論[J].暨南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,28(1).

[10]Prelec B D.The Probability Weighting Function[J].Econometrica,1998,66(3).