基于小波變換的股票異常點檢測研究

郭慶然

(1.中南財經政法大學 信息管理學院，武漢 430060；2.河南科技學院 經濟與管理學院，河南 新鄉 453003)

0 引言

異常點檢測一直以來都是數據挖掘研究的重要問題之一[1]，許多學者對異常點檢測提出了多種方法[2][3][4]。然而這些方法沒有考慮到股票這種特殊的金融時間序列的特性。股票數據收益率序列通常表現出尖峰厚尾、高階相關和波動的類聚性特征。

Engle（1982）提出的自回歸條件異方差模型（ARCH模型）[5]和Bollerslev（1986）基于ARCH模型提出的自回歸條件異方差模型（GARCH模型）[6]是目前描述高階序列相關最流行的方法，隨后ARCH模型和GARCH模型分別在不同的方向得到了擴展。為了滿足金融時間序列的尖峰厚尾特征，Bollerslev（1987）[7]提出了GARCH模型服從學生t分布。張世英、柯柯（2002）綜合歸納了由ARCH模型衍生出來的ARCH模型族[8]。

異常點是指嚴重偏離既定模型的數據點。根據金融時間序列異常點的性質和產生的原理，可以把異常點劃分為加性異常點（additive outliers）和革新異常點（innovation outliers）[9]。加性異常點又可分為加性水平異常點（ALO）和加性波動異常點(AVO)兩類，ALO只對GARCH模型的均值方程產生影響，而不對方差方程影響。AVO不但對GARCH模型的均值方程產生影響，對方差方程也產生影響。Pe?a（2001）研究發現股票時間序列中革新異常點是不重要的[10]，因此，本文主要研究加性異常點的檢測。

近年來，文獻[11],[12]針對時間序列提出了一些異常點檢測方法，但這些方法都無法解決異常點的“遮蔽效應”（Zhang and King(2005)）[13]。所謂“遮蔽效應”，是指在異常點檢測時，一個異常點的存在會阻止其它異常點的檢測。本文采取的方法是每檢測出一個異常點，立即對其修正，然后再進行下一個異常點的檢測，從而避免了“遮蔽效應”的影響。

1 加性異常點模型

Bellerslev（1986）提出的廣義自回歸條件異方差GARCH（1,1）模型[6]是描述股票收益率序列很好的一種方法。這種模型的形式為：

其中，μ是股票收益率條件均值，εt是隨機誤差項，是εt的條件方差；或者服從學生t分布。且，It-1表示在t期的已知信息集。為了保證條件方差恒為正，要求系數α1＞0,β1＞0。且α1+β1＜1確保模型是平穩的。

1.1 加性水平異常點(ALO)

加性水平異常點（ALO）可能是由市場結構改變引起的，ALO只對GARCH（1,1）模型的條件均值方差有影響，而對條件方差方程沒有影響。這樣的異常點利用GARCH（1,1）模型可以表示為：

其中，εt和以前相同，ωAO表示加性水平異常點的影響程度。IT(t)=1，如果t∈T，否則為0。條件方差和方程（1）仍然相同，這種形式的異常點僅僅影響均值序列。

1.2 加性波動異常點(AVO)

加性波動異常點（AVO）不但對GARCH（1,1）模型的條件均值方差有影響，而且對條件方差方程也有影響。這樣的異常點利用GARCH（1,1）模型可以表示為：

2 基于小波變換的異常點檢測過程

通過方程（1）的GARCH模型，估計均值方程的殘差項X=(X1,...,Xn)，殘差表示股票數據對其均值的偏離，屬于隨機波動。根據學者的研究經驗，有三個閥值識別異常波動，分別為1%、5%和10%[14]。如果取1%的閾值通常會使異常點發生漏檢的現象，取10%往往會使本不是異常波動點也識別為異常波動。因此，通常學者采用5%為異常波動的閾值，本文也是采取5%作為異常波動閾值。

估計出殘差序列X=(X1,...,Xn)后，按以下步驟，檢測異常點并處理。

步驟1：對殘差序列X=(X1,...,Xn)進行一級haar小波變換，分別得到低頻系數A1和高頻系數D1。

步驟2：找出所有大于閾值的極大值點中的最大值dmax∈|D1|，并用數組P記錄dmax在D1的位置p。

步驟3：將dmax置為0，重構D'，D'=(d1,...,di-1,0,di+1,...,dn/2)。

步驟4：將A1和D'做逆小波變換，得到新的殘差序列。

步驟5：重復步驟1到4，直到不存在大于閾值的極大值點。

步驟6：根據數組P中的每個p找到殘差X中的異常點。計算去掉X中位于2p和2p-1兩點后的樣本均值，

3 實證分析

本文選取了個股蘇寧電器（002024）從2004年7月22日到2010年10月15日的每日收盤數據和近一年來的上證指數作為分析對象。

3.1 個股分析

圖1顯示了蘇寧電器（002024）從2004年7月22日到2010年10月15日的每日收盤價格曲線。可以看到該股的振幅介于10～70元之間，存在非常明顯劇烈的波動。

圖1 一段時期內蘇寧電器每日收盤價

圖2 經過GARCH模型處理得到的殘差數據

圖2是圖1中的收盤價格經過GARCH模型處理后得到的殘差數據。前文可知，殘差數據反映的是股票價格對其均值的偏離。對照圖1和圖2，可以發現收盤價格的每一次大的波動都對應著殘差信號的一個峰值。

圖3 1級haar小波變換后得到的高頻系數

圖4 近一年內的上證指數

對殘差數據進行一級haar小波變換，得到如圖3的高頻系數。按上節步驟2找出所有大于閾值的極大值點的位 置P=(337，103，149，250，400，523，334，218，353，219)。再按照步驟6找出殘差X中的異常點，分別是（677，210，301，504，803，1049，672，440，710，442）。注意到，異常點（440，442）幾乎相鄰，正是由于本文采用了小波分解找出異常點后立即修正的方法，很好的解決了“遮蔽效應”，同時檢測出這兩個異常點。如果采取傳統方法，直接對殘差數據進行異常點檢測，則無法檢測出異常點（442）。

這些異常點說明了股票價格相對于均值的巨大波動，下面具體看一看異常點對應的日期所發生的事件。蘇寧電器分別在2008年9月26日（677）、2005年6月3日（210）、2005年10月17日（301）、2009年4月10日（803）、2010年4月16日（1049）除權，股價跌幅最低為31%。2008年1月9日（504），蘇寧電器在停牌1年3個月后復牌，復牌當日不限漲幅，股價由44元漲至68.55元，漲幅超過50%。2008年9月19日（672），股票實行單邊征收印花稅，因此重大利好消息，蘇寧電器轉跌為漲，當日接近漲停。其他3個交易日雖然沒有重大事件或消息，但是交易日近兩天的波動接近20%，屬于股票交易異常波動。

圖5 1級haar小波變換后得到的高頻系數

圖4顯示了2009年11月9日到2010年11月18日的上證指數曲線。可以看到這段時間內上證指數的振幅介于2300點和3400點之間，有一些較大的波動。同樣，找出所有大于閾值的極大值點的位置P=(63，122，5)及其在殘差X中對應的異常點（130，248，14）,如圖5所示。2010月5月18日（130）的前一個交易日受加息傳聞及美國股市暴跌的影響，上證指數下跌5.07%，后證實消息為假，上證指數微漲。2010月11月15日（248）的前一個交易日即2010月11月12日傳出上調印花稅的消息導致上證指數下跌5.26%，后被證實為假消息，故15日上證指數微漲1.07%。2009年11月26日（14）無重要事件發生，屬于股票市場正常調整。

通過以上實驗可以看到，大部分異常點都對應著重大事件和消息，其余則對應著相對較大的波動，證明了本文采用的方法能夠準確有效地檢測異常點，并避免了“遮蔽效應”對異常點檢測的影響，取得了良好的效果。

4 結論

本文首先使用GARCH（1,1）模型對股票數據收益率進行殘差估計。殘差數據反映了股票市場走勢對均值的偏離，但直接對其進行異常點檢測，則無法避免“遮蔽效應”。本文通過對殘差數據進行haar小波變換得到高頻系數進行異常點檢測，能夠準確地檢測異常點，且很好地克服了“遮蔽效應”。最后分析證明了我們的方法效果良好，具有很好的理論和應用價值。

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