Weibull壽命試驗數據的信息熵

王桂金

(原鋼鐵研究總院, 北京 100081)

服從Weibull分布的疲勞壽命在可靠性理論中占有重要地位[1-2]。與此相關的實測疲勞壽命數據應該是一組滿足Weibull分布的隨機變量，它們應給出符合Weibull分布要求的統計量。文獻[3]討論了在采用極大似然法求出Weibull分布的形狀參數和尺寸參數的同時，如何把疲勞壽命數據的斜度和峭度應用于Weibul參數κ和λ的擬合，并得出結論：這3種方法得出的Weibull參數κ應該相一致。然而，由于可能存在多個解，仍需尋求最佳解的途徑。文中沿用文獻[3]中的100個隨機產生的壽命和3組實測壽命數據，計算并比較相應的信息熵，進一步提出實測壽命數據滿足隨機特性，從而能夠提供可靠Weibull分布參數應具備的條件。

1 信息熵的計算

1.1 計算方法

設含有N個疲勞壽命的數據組已經按文獻[3]方法求得參數κ和λ，則其中壽命為x的數據具有的兩參數Weibull概率密度函數為[1]

(1)

并且，這N個壽命的數據組具有Weibull總信息熵U(N) ，即

(2)

(3)

式中：pi為第i個壽命xi的歸一化概率；u(i)為壽命xi對總信息熵U(N)的貢獻。當N趨向無限大，求和就被積分代替。

1.2 100個無序排列Weibull隨機壽命的信息熵 (κ=λ=1)

無序排列的100個隨機壽命[3]的信息熵u(i)如圖1所示。圖中無序排列壽命的信息熵呈現隨機分布，有3個壽命的信息熵接近于零, 它們對總信息熵U(100)貢獻很小。

圖1 100個無序排列隨機壽命的信息熵

1.3 100個有序排列的Weibull隨機壽命的信息熵 (κ=λ=1)

上節的100個隨機壽命由小到大排列計算的信息熵如圖2所示。

圖2 100個隨機壽命由小到大排列的信息熵

從文獻[3]可知，有序排列的100個Weibull隨機壽命的3種形狀參數，即極大似然法κ(N)，斜度的κ(γ1,N)和過盈峭度的κ(γ2,N) 在兩處相當接近：(1)在N=12處,κ(12)=1.743 25,κ(γ1,12)=1.781 71，κ(γ2,12)=1.985 32和λ(12)=0.072 671;(2)在N=100處,κ(100)=0.996 536，κ(γ1,100)=1.007 615，κ(γ2,100) =1.063 9和λ(100)=1.016 7。

有序隨機壽命的信息熵變化很規則，從第1個壽命的信息熵u(1)=0.077 86單調降低到u(100)=0.000 754 2,u(1)∶u(100)=103∶1。顯然, 隨機壽命樣本尺寸100已經足夠大, 總信息熵4.411 245也趨近最大值。文獻[3]指出這個有序隨機壽命的3種形狀參數分別在N=12 和N=100處接近重合。由于u(12)=0.069 97只略小于u(1)，前12個壽命數據得出的總信息熵U(12)只有0.896 7 , 遠未達到最大值。因此,很容易理解為什么由這12個壽命得出的擬合參數κ(12)=1.743 25和λ(12)=0.071 267離開模擬隨機壽命時選用的設定值κ= 1和λ=1甚遠。與之相反,根據全壽命樣本擬合的Weibull參數κ(100)=0.996 536和λ(100)= 1.016 7都非常接近于設定值1，并且其總信息熵U(100)=4.411 2已接近飽和。 這說明, 滿足Weibull隨機壽命要求的數據組應該同時滿足以下2個條件：(1)由極大似然法求出的Weibull分布的形狀參數和尺寸參數應同由疲勞壽命數據的斜度和峭度求出的Weibull參數相近或重合；(2)這組壽命數據的總信息熵趨近最大(飽和)。這樣擬合得到的Weibull形狀參數κ和尺寸參數λ是可靠的。

2 實測疲勞數據的信息熵

由1.3節根據隨機產生的疲勞壽命擬合得到的Weibull形狀參數κ和尺寸參數λ是否可靠, 還需要用實測疲勞壽命數據加以驗證。為此本例沿用文獻[3]中的3組試驗數據進行計算。有關原始壽命數據請參見文獻[5-7]。

2.1 1208K+H208軸承[5] 的Weibull參數和信息熵(37個樣品)

從文獻[3]可知，1208K+H208(以下簡稱1208)軸承的3種形狀參數：極大似然法κ(N), 斜度的κ(γ1,N)和過盈峭度的κ(γ2,N)的走向同有序排列的100個模擬隨機壽命相似,并且也在兩處相當接近：(1)在N=15處,κ(15)=1.509 78,κ(γ1,15)=1.664 4，κ(γ2,15)=1.952 67；(2)在N=37處,κ(37)=0.955 55，κ(γ1,37)=1.101 04，κ(γ2,37)=1.149 38。 圖3所示為1208軸承壽命的信息熵,其也呈單調下降, 從u(1)= 0.165 42減小到u(37)=0.003 871；u(1)∶u(37)=43∶1,u(37) 接近于零。但在N=15處,u(15)=0.108178 5,u(1)∶u(15)=1.5∶1, 因此，前15個壽命的總信息熵U(15)=2.09755顯然還未達到飽和, 對應的Weibull參數κ(15)=1.50978和λ(15)=330.46 h是不可靠的。而全樣本試驗數據給出極大似然法κ(37), 斜度的κ(γ1,37)和過盈峭度的κ(γ2,37)則相當一致, 并且總信息熵U(37)=3.382738也接近飽和, 與1.3節有序隨機壽命相似, 故可認為所得參數κ(37)=0.955 55和λ(37)=1 389 h是可靠的。

圖3 1208軸承的信息熵

2.2 7208軸承的Weibull參數和信息熵[6](60個樣品)

圖4為7208軸承壽命的信息熵。由文獻[3]可知，7208軸承壽命的3種形狀參數：極大似然法κ(N),斜度的κ(γ1,N)和過盈峭度的κ(γ2,N)也有兩處匯合點：(1)在N=11處有κ(11)=1.736 39,κ(γ1,11)=1.973 144，κ(γ2,11) =1.700 98及λ(11)=32.71 h；(2)在N=60處，有κ(60)= 1.024 43,κ(γ1,60)= 0.926 16，κ(γ2,60)= 0.931 825 及λ(60) =267.12 h。

圖4 7208軸承的信息熵

7208軸承的Weibull信息熵從u(1)=0.106 152下降到了u(60)=0.0008155;u(1)∶u(60)=130∶1。然而在N=11處u(11)=0.094 735;u(1)∶u(11)=1.12∶1。這樣,由前11個壽命計算的總信息熵U(11) =1.128 557顯然未達到飽和。相應的Weibull參數κ(11)=1.736 39和λ(11)=32.71 h皆不可靠。而在N=60處, 全樣本壽命總信息熵U(60) = 3.911 94已接近飽和, 相應的參數κ(60)=1.024 43和λ(60)=267.12 h是可靠的。

2.3 6307軸承的Weibull參數和信息熵[7](20個樣品)

圖5所示為6307軸承壽命的信息熵。從文獻[3]可知，6307軸承壽命的3種形狀參數：極大似然法κ(N)，斜度的κ(γ1,N)和過盈峭度的κ(γ2,N)在N=1～20都不夠接近，在N=20處,κ(20)=1.577 66 ,κ(γ1,20)=2.175,κ(γ2,20)>5及λ(20)=175×106轉。而且信息熵先從u(1)=0.130 288上升到u(6)=0.188 643， 然后下降到u(20)=0.038 556,u(6)∶u(20)=4.89∶1。這20個壽命的總信息熵U(20)=2.902 24也未達到飽和。所以擬合的Weibull參數κ=1.577 70和λ=175×106轉是不可靠的。

圖5 6307軸承的信息熵

實際上, 可從1.2節無序排列隨機壽命數據中取前20個，再由小到大排列后進行計算可得:極大似然法κ(20)=0.955 07 , 斜度κ(γ1,20)=1.623 35 , 過盈峭度κ(γ2,20)=2.245 96 , 三者并不重合。并有λ(20) = 0.838 39。所以κ(20)=0.955 07雖然接近設定值,但是λ=0.838 39偏離設定值1較多。這20個隨機壽命的信息熵:u(1)=0.218 78,u(20)=0.033 562,u(1)∶u(20)=6.518∶1。而總信息熵U(20)=2.825 11和6307軸承的數據接近。 這表明, 即使是隨機產生的壽命數據,如果樣本尺寸等于20,仍然無法同時滿足1.3節中所提出的2個條件, 也就無法保證能擬合得到可靠的Weibull參數。

3 結論

以上結果表明, 有序排列的Weibull實測壽命數據具有隨機特性的必要和充分條件是必須同時滿足以下2個條件：

(1) 實測壽命數據在全樣本的條件下,極大似然法κ(N), 斜度的κ(γ1,N) 和過盈峭度的κ(γ2,N) 3種形狀參數十分接近或者重合；

(2) 實測壽命數據全樣本的總信息熵趨近最大值，也即最高壽命試樣對總信息熵的貢獻接近于零。

為了滿足上述2個條件，除了要盡量避免樣品的系統誤差和操作者的人為誤差外, 還需要足夠大的樣本以保證取得可靠的壽命數據。當上述2個條件都得到滿足, 擬合的Weibull分布形狀參數κ和尺寸參數λ才足夠可靠。