基于自適應卡爾曼濾波的沉降變形監測數據估計

劉偉誠,王 青,高俊強

(南京工業大學測繪學院,江蘇南京 210009)

基于自適應卡爾曼濾波的沉降變形監測數據估計

劉偉誠,王 青,高俊強

(南京工業大學測繪學院,江蘇南京 210009)

針對觀測數據異常導致濾波偏離的問題,提出了整體控制狀態協方差陣自適應卡爾曼濾波方法,通過對某地鐵隧道底板結構沉降監測數據進行處理,結果表明整體控制狀態協方差陣自適應卡爾曼濾波方法不僅計算簡單,而且能有效地控制觀測數據異常對沉降變形監測系統參數估計的影響,提高變形監測數據估計的精度。

卡爾曼濾波;自適應估計;協方差;變形監測

變形監測的目的是掌握變形體的實際狀態,并通過多期重復觀測為判斷其安全提供必要的信息,但是現在的變形分析方法多數都是離線的(事后的),無法進行即時預報與監控。卡爾曼濾波是借助于系統本身的狀態轉移矩陣和觀測數據,將參數估計和預報有機結合起來,對變形體進行實時數據處理。其計算過程是一個不斷預測、不斷修正的過程[1],并且在求解時也無需存儲大量觀測數據。在利用觀測數據進行濾波時,首先需要確切知道系統的初值,但在實際工程應用中,濾波前系統的初始狀態是難以精確確定的,因此圍繞如何利用當前觀測信息和狀態估計更新先驗信息和補償狀態方程誤差,成為工程應用領域的熱點問題之一。

在各類工程應用中,基于不同的工程應用背景,國內外學者提出了多種行之有效的自適應卡爾曼濾波方法。這些方法大致可分為兩類,一類是方差補償法[2],在濾波過程中利用已有的信息對觀測向量的協方差陣和狀態協方差陣進行實時估計。如:基于移動窗口法協方差估計、基于方差分量估計;另一類是函數模型補償法[3],通過引入附加參數降低系統誤差的影響。

在沉降變形監測系統[1,4]中,變形體上布設的一些變形監測點可能會發生突變。由突變引起的觀測數據異常將導致卡爾曼濾波估計的誤差增大。為此,本文提出利用整體控制協方差陣自適應卡爾曼濾波方法對觀測數據進行估計,并結合實例分析,結果表明:此方法能夠有效地抑制觀測數據異常對卡爾曼濾波估計誤差的影響。

1 沉降變形監測系統的卡爾曼濾波模型

沉降變形監測系統是由處于運動之中的一組監測點所構成,這些監測點的位置可看作時間k的函數。為了估計沉降變形監測系統的運動狀態,通常以監測點的位置和它們的速率為狀態向量。設監測點i在k時刻的高程為Hi(k),其瞬時速率為Vi(k),而將瞬時加速度Wi(k)看作一種隨機干擾,即視Wi(k)為動態噪聲,則有以下微分關系式:

設點i的狀態向量為Xi(k)=[Hi(k)Vi(k)]T,則式(1)可寫為:

式(2)是一個微分方程,將其離散化可得點i在第k+1期的狀態方程[1]:

式中 ,Δtk=t(k+1)-tk,而t(k+1)和tk為第k+1 期和第k期的觀測時刻。

若記全網q個監測點的狀態向量和動態噪聲向量為:

則得到全網在第k+1期的狀態方程

式中 ,0,E,ΔTk均為q階方陣,且 ΔTk=ΔtkE。

如果認為第k+1期的觀測高差都是在tk+1時刻觀測的,則hij的觀測方程為

卡爾曼濾波計算過程為:

狀態預報

狀態協方差陣預報

2 整體控制狀態協方差陣自適應卡爾曼濾波方法

卡爾曼濾波在利用觀測數據進行遞推濾波過程中,Pk/(k-1)和Kk值隨迭代計算不斷趨于穩定值,即濾波器趨于穩定[5]。如果沉降監測點的觀測數據中有較大波動的值,那么這些異常的觀測數據將會導致濾波偏離。顧及計算過程中觀測數據異常,本文提出利用整體控制狀態協方差陣自適應卡爾曼濾波方法[6-9]對觀測數據進行濾波處理。該方法是根據濾波自身產生的預報殘差、濾波殘差等信息控制觀測數據異常對狀態參數估計的影響,以達到最佳的濾波效果。

根據卡爾曼濾波的數學模型可以得到預報殘差的表達式為:

如果上式不成立,表明異常的觀測數據已破壞濾波器的穩定性,濾波估計結果會出現大的偏離。因此,我們在原狀態協方差陣Pk/(k-1)上附加標量因子s對狀態協方差進行整體控制。

整體控制狀態協方差陣自適應卡爾曼濾波方法就是對狀態協方差進行區分,對破壞濾波器穩定性的觀測數據進行自適應濾波處理,從而降低觀測數據出現突變的影響,提高估值的精度,并且此方法判斷直接,計算簡單,適應性強。

3 實 例

為驗證整體控制狀態協方差陣自適應卡爾曼濾波方法對濾波偏離的影響,以南京某地鐵隧道沉降監測數據為例進行分析。該地鐵隧道底板結構沉降采用Leica DNA03電子水準儀進行往返觀測,自2010年5月取得初始值,至今已監測30期數據,前17期平均30 d監測一次,后13期平均90 d監測一次。本實例利用等時間間隔的前17期監測數據進行卡爾曼濾波處理。

濾波過程分為三步:根據Kk值判斷濾波器是否趨于穩定;傳統卡爾曼濾波數據估計的獲取;通過整體控制狀態協方差陣卡爾曼濾波方法獲取最優濾波數據估計。

表1 傳統卡爾曼濾波結果與監測網平差值對比 單位:mm

表2 自適應卡爾曼濾波與監測網平差值對比 單位:mm

從表1和表2可以看出,傳統卡爾曼濾波值、自適應卡爾曼濾波值與監測網平差值之間的殘差值不大,傳統卡爾曼濾波值最大殘差為0.5552 mm,估計中誤差σ=±0.177 mm;自適應卡爾曼濾波值最大殘差為-0.1196 mm,估計中誤差 σ=±0.06 mm。當監測點的觀測數據出現異常時,自適應卡爾曼濾波則充分展現其整體控制能力,濾波殘差值波動比較小,而傳統卡爾曼濾波的殘差值波動比較大,見圖1。

圖1 傳統卡爾曼濾波與自適應卡爾曼濾波殘差值

4 結 語

傳統卡爾曼濾波克服觀測數據異常的能力比較弱,異常的觀測數據不僅會影響后面幾期觀測數據的濾波估計,而且觀測數據異常越明顯,濾波估值的波動就越大。在卡爾曼濾波過程中,動態模型采用一組狀態微分方程和觀測方程來描述其變形系統,它把參數估計和預報有機結合起來,其參數是不斷變化的,動態不斷修正的過程[1,10],從而也不斷增強了模型適應變形觀測數據的能力,能實時的反映變形體的狀態。整體控制狀態協方差陣自適應卡爾曼濾波方法簡便實用,能有效地控制觀測數據異常對動態系統參數估計的影響,保證變形監測數據估計的精度。

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Estimation for Deformation Monitoring Data Based on Adaptive Kalman Filtering Method

LIU Wei-Cheng,WANG Qing,GAO Jun-Qiang
(College of Surveying and Mapping,Nanjing Polytechnical University,Nanjing,Jiangsu210009,China)

In view of the filtering departure problem resulted from the observational outliers,an adaptive Kalman filtering method is proposed based on the robust variance matrix estimation.By the derivation and calculation for the deformation monitoring data of a metro,it is shown that the adaptive Kalman filtering method could not only predigest the calculation process,but also improve the precision of the estimation for deformation monitoring data.

Kalman filtering;adaptive estimation;covariance;deformation monitoring

TU433

A

1672—1144(2012)05—0026—04

2012-03-21

2012-04-20

江蘇省測繪局科研項目(JSCHKY200808);江蘇省建筑業科研項目(JGJH2008-07)

劉偉誠(1987—),男(漢族),江西吉安人,碩士研究生,研究方向為精密工程測量和變形監測。