ARIMA模型在衛星鐘差預報中的應用

趙 亮,蘭孝奇,盛建岳

(1.河海大學地球科學與工程學院,江蘇南京 210098;2.上海港申建設管理有限公司,上海 200135)

ARIMA模型在衛星鐘差預報中的應用

趙 亮1,蘭孝奇1,盛建岳2

(1.河海大學地球科學與工程學院,江蘇南京 210098;2.上海港申建設管理有限公司,上海 200135)

為提高GPS精密單點定位的精度(PPP),需要有高精度的衛星鐘差預報。針對衛星鐘差預報在衛星導航定位中的重要作用,利用時間序列模型與灰色模型對衛星鐘差進行1d和120 d的預報。結果表明,基于時間序列預報模型的預測精度優于灰色模型,更適用于實際應用,Rb鐘的精度和穩定性優于Cs鐘。

時間序列;灰色模型;衛星鐘差預報;精度分析;原子鐘精度

GPS的衛星鐘是影響整個衛星定位系統精度的重要因素之一,時間同步的精度直接決定導航定位的精度。為提高精密單點定位的精度,必須及時獲取精密衛星鐘差的預報。精密單點定位中一般采用IGS提供的等間隔為15 min的精密星歷,其中最終星歷能達到小于5 cm的軌道誤差和0.1 ns的衛星鐘差[1-2],能夠滿足精密單點定位的需要,但是最終星歷是事后處理數據,有13 d的時間延遲,而IGS提供的實時廣播星歷和預報星歷中的衛星鐘差的精度達不到要求,因此對精密鐘差的預報是非常重要的。

目前常用的鐘差預報模型有線性模型、二次多項式模型、灰色模型等。其中二次多項式模型以時間為變量,通過對往期的鐘差數據進行擬合確定系數進行預報,適用于衛星鐘差的短期預報,預報誤差隨著時間的增加而積累。二次多項式模型所用的數據量大,計算量大,在實際應用中不方便。線性模型的精度和二次多項式模型精度相當。灰色模型基于較少的數據進行建模預測,無法充分利用已有數據建模提高預測精度[3]。

1 時間序列的原理

任何時間序列經過合理的函數變換后都可以被認為是由趨勢項部分、周期項部分和隨機噪聲項三個部分疊加而成。其中趨勢項和周期項可以用非隨機的函數進行刻畫,隨機噪聲項部分往往表現出某種平穩波動性,即平穩時間序列。時間序列一般分為4種不同的模型:自回歸(AR)模型,滑動平均(MA)模型,自回歸滑動平均(ARMA)模型,自回歸綜合滑動平均(ARIMA)模型。自回歸綜合滑動平均(ARIMA)模型是應用最廣泛的模型,是Box和Jenkins于20世紀70年代提出的,是將自回歸模型與滑動平均模型有機組合起來的高級模型,該模型引入了差分方法來處理非平穩的數據序列[4-5]。

2 預測模型的建立

基于差分處理的ARIMA(p,d,q)模型,記為{Xt}～ARIMA(p,d,q),其中,{Xt}是數據序列,p,q為模型的階,d為差分的次數。

當d為0時,ARIMA模型即為ARMA模型,定義為:

式中:ai,bj為相應的待估參數,{εt}～WN(0,σ2),當p,q分別為0時,模型即為MA和AR模型。

2.1 模型的識別與定階

用ARIMA建模預測,對時間序列數據平穩化處理后,首先需要通過對原始數據的自相關函數ACF和偏相關函數PACF計算,正確地確定相應的模型及適當的階數。

對于平穩時間序列{Xt},有

通過判斷^ρk、^αk的截尾性來初步判斷模型的階數,結構的判斷準則見表1。確定模型之后,利用AIC函數可以較準確的確定模型的階數。

表1 平穩時間序列ARMA模型識別準則

式中:k為模型的階數,為殘差方差,N為處理的數據序列的長度。

2.2 參數的估計

ARIMA模型中的參數采用最小二乘估計,估計參數a1,a2,…ap,b1,b2,…bq使殘差平方和

達到最小值。其中,B為相應的延遲算子,{Xt}為經過處理后的平穩序列。

2.3 模型的檢驗

殘差序列白噪聲檢驗:殘差序列白噪聲檢驗就是要檢驗序列的自相關函數^ρk與零有無顯著性差異,構造box-pierce的修正統計量Q:

3 數據分析

本文采用的數據是2011-01-01 00∶00∶00起至2011-05-01 23∶45∶00的121 d的 IGS精密星歷中的鐘差數據,采用時間序列(ARIMA)模型和灰色(GM)模型對精密鐘差進行1 d和120 d的預報,預報時間從2011-01-02 00∶00∶00開始,并將預報值與IGS最終星歷進行比較,檢驗模型的預報精度。

為分析GPS衛星鐘類型和鐘差變化特征,本實驗選取具有代表性的Block IIR Rb鐘(PRN 02)、Block IIA Cs鐘(PRN 10)、Block IIR-M Rb鐘(PRN 12)和Block IIA Rb鐘(PRN 25)[6]作比較,其中時間序列建模的數據為2011-01-01 00∶00∶00～23∶45∶00的24 h的96個歷元,對于灰色模型,建模數據為2011-01-01 22∶00∶00～ 23∶45∶00的 2 h 的 8 個歷元。

方案1:分別利用ARIMA模型和GM模型對上述四顆衛星進行1 d的短期預測。

方案2:分別利用ARIMA模型和GM模型對PRN 02和PRN 10兩顆衛星進行120 d的長期預測。

表2、表3分別表示預報1 d和預報120 d的預測精度分析,圖1、圖2分別表示預報1 d和預報120 d的預測值與最終星歷的差值。

表2 方案1:預報誤差絕對值的最大值、平均值和均方根/ns(預報1 d)

由表2、表3和圖1、圖2分析可以看出:

(1)無論在短期預報還是在長期預報中,時間序列的預報誤差曲線的波動幅度均小于灰色模型。時間序列(ARIMA)模型充分利用了歷史數據進行擬合,可以更好地反映鐘差的整體變化規律,提高了預報精度。

表3 方案2:預報誤差絕對值的最大值、平均值和均方根/μ s(預報120 d)

(2)在1 d的短期預報中,時間序列(ARIMA)模型的穩定性要優于灰色(GM)模型。灰色(GM)模型由于其本身的模型特點,采用少數的歷元數據建模,因此預測精度比時間序列整體低1～2個數量級。Block IIR-M Rb鐘的預報精度最高,Block IIR Rb、Block IIA Rb鐘預報精度次之,但都能達到亞納秒級,Block IIA Cs鐘精度最低,達到幾個納米。因此,Rb鐘的精度和穩定性在整體上要優于Cs鐘。

圖1 四顆衛星的預測值與最終星歷的差值(預報1 d)

圖2 兩顆衛星的預測值與最終星歷的差值(預報120 d)

(3)在120 d的長期預報中,隨著預報時間的延長,兩種模型的精度都有不同程度的降低,且誤差曲線沒有明顯的分布規律性,并有誤差發散的趨勢。

4 結 語

基于時間序列(ARIMA)模型的衛星鐘差預報充分利用了歷史數據[7],更能反映衛星鐘差數據間的相關性,建模迅速,計算方便,相比于灰色(GM)模型能得到更高的預測精度,在短期預報中能滿足精密單點定位的需要。不同種類的衛星所搭載的衛星鐘的精度和穩定性不同,本文計算結果顯示Rb鐘的精度和穩定性要優于Cs鐘。

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[2]李瑋,程鵬飛,秘金鐘.灰色模型在快速衛星鐘差預報中的應用[J].測繪科學,2010,35(3):43-45.

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[5]徐君毅,曾安敏.ARIMA(0,2,q)模型在衛星鐘差預報中的應用[J].大地測量與地球動力學,2009,29(5):116-118.

[6]黃觀文,張勤,王繼剛.GPS衛星鐘差的估計與預報研究[J].大地測量與地球動力學,2009,29(6):118-122.

[7]劉大杰,陶本藻.實用測量數據處理方法[M].北京:測繪出版社,2003:72-99.

Application of ARIMA Model in Satellite Clock Error Forecasting

ZHAO Liang1,LAN Xiao-qi1,SHENG Jian-yue2
(1.College of Earth Science and Engineering,Hohai University,Nanjing,Jiangsu210098,China;2.Shanghai Gangshen Construction Management Co.,Ltd.,Shanghai200135,China)

To improve the precision of precise point positioning(PPP),the satellite clock erroe forecasting with high precision must be obtained and applied.With focus on the important role of the satellite clock error forecasting in precise point positioning,the time series theory andGM model were used to predict 1d and 120ds'satellite clock error.The final results show that the forecasting accuracy of ARIMA model is better than that of GM model,so it is fitter to be used in practice,at the same time,the precision and stability of Rb clock are better than those of Cs clock.

time series;grey model;satellite clock error forecasting;precision analysis;atomic clock's precision

V474.9

A

1672—1144(2012)01—0135—03

2011-10-25

2011-12-07

趙 亮(1985—),男(漢族),江蘇南通人,碩士研究生,研究方向為GPS理論和數據處理。