阿基米德螺線擬Bernstein基最佳階數的確定

馬 翠，程攀科，周先東，劉悅寧

(1.第三軍醫大學 a.數學教研室;b.學員旅13隊，重慶 400038;2.重慶市墊江縣人民武裝部，重慶 408300)

CAGD/CAD系統是通過用多項式曲線或曲面來表示零件的形狀，進而精確地制造出零件。阿基米德螺線是CAGD/CAD系統中很重要的幾何對象，但阿基米德螺線是空間 {1，sint，cost，tsint，tcost}中的曲線［1-5］，因此不能在CAGD/CAD系統中直接利用。通過用擬Bernstein基來表示阿基米德螺線，進而構造出多邊形來控制阿基米德螺線，可使其在CAGD/CAD系統中得到很好的利用。由于阿基米德螺線的精度隨其擬Bernstein基階數的增加而增加，而現有的文獻只考慮到5階的情況［6-7］，不一定滿足高精度的要求，因此對n階的情形進行研究具有實際意義。本文通過對n階情形的討論，得到相應的多邊形的頂點通式，從而確定了多邊形。工業生產時，綜合考慮經濟因素和實際價值得到對應的精度，進而利用多邊形的頂點通式及面積差值法即可確定擬Bernstein基的最佳階數。運用阿基米德螺線來構造凸輪［8-10］，可使凸輪更加接近理想形狀，從而體現了阿基米德螺線的實際意義。

1 阿基米德螺線的表示

設R、Q是阿基米德螺線上的2點，O是極點，并且∠ROQ=α，則α是弦RQ對應的張角，其中弦長如圖1所示。

阿基米德螺線在直角坐標系中表示為

圖1 阿基米德螺線的確定

2 擬Bernstein基的確定

由于阿基米德螺線必須要在多邊形的控制下才能在CAGD/CAD系統中很好地利用，故接下來首先討論確定多邊形所需要的擬Bernstein基及其相關性質。定義擬Bernstein基的初始基［6-12］如下:

當n≥4時，由文獻［8-12］可知:

擬Bernstein基具有如下性質［6-10］:

性質1 端點性質:0 是 ui，n(t)的 i階零點，α 是 ui，n(t)的(n-i)階零點，即{ui，n(t)}ni=0在端點處滿足:

性質2求導公式

3 多邊形的確定

由擬Bernstein基及其相關性質，可推出多邊形的頂點表達式，即確定多邊形。在直角坐標系中，阿基米德螺線的參數方程可表示為

對文獻［6-7］中的結論進行拓展，即可得到阿基米德螺線的n階擬Bernstein基，表示為

當t=0和t=α時，分別對式(1)求1，2，…，n階導可得:

由式(2)可得到用n階擬Bernstein基表示的阿基米德螺線的多邊形頂點的通式為

得到多邊形的頂點后，利用文獻［6］中所述多邊形的畫法及向量與向量夾角的相關性質，即可確定在n階擬Bernstein基表示下所得到的多邊形。

4 阿基米德螺線擬Bernstein基最佳階數的確定

阿基米德螺線的精度是隨其擬Bernstein基階數的增加而增加的。從工業生產加工成形的經濟性角度出發，在滿足精度要求的前提下，確定最佳階數具有重要的實際意義。

本文以張角為α，弦長為l的阿基米德螺線為例，討論其擬Bernstein基從4階向5階增加時，求出相應的精度，進而推導出求精度的公式。

針對同一段阿基米德螺線，S0是定值，因此擬Bernstein基的階數由4階變為5階后阿基米德螺線的精度

進一步推廣，當擬Bernstein基由k階變為(k+1)階時，只需將S0求出，即可求得阿基米德螺線的精度

通過上述推導方法(即面積差值法)，在給定精度條件下，即可得到相應阿基米德螺線的擬Bernstein基的最佳階數。

圖2 控制4階和5階的阿基米德螺線的擬Bernstein基的多邊形圖形

5 實例驗證

阿基米德螺線在CAGD/CAD系統中最重要的運用就是構造凸輪［6-10］。本文利用的一段阿基米德螺線進行凸輪的構造。利用本文方法求出在不同階的擬Bernstein基表示下的控制該段阿基米德螺線的多邊形的頂點，并確定多邊形，進而利用面積差值法計算出相應的精度。如表1所示。

從表1明顯看出，阿基米德螺線的精度隨擬Bernstein基階數的增加而增加。本文以95%的精度為例，選取相應階數的擬Bernstein基表示的阿基米德螺線(即7階)用于構造凸輪。

表1 不同階數表示的精度

首先畫出用7階擬Bernstein基來表示的阿基米德螺線;然后作出一條與其呈縱軸對稱的阿基米德螺線，并連在一起;最后再作出與該2段阿基米德螺線呈橫軸對稱的曲線，并連在一起，從而構造出凸輪(圖3)。

6 結束語

討論了用n階擬Bernstein基來表示阿基米德螺線所得到的多邊形頂點的通式，進而確定多邊形;同時利用面積差值法推導出了在各階擬Bernstein基表示下的計算阿基米德螺線的精度的公式，從而在給定精度的條件下，確定阿基米德螺線的最佳擬Bernstein基的階數。實例驗證表明，本文的研究具有明顯的實際意義。

圖3 凸輪及其控制多邊形

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