有毒素時兩競爭魚群的獨立捕獲問題

楊海霞

(甘肅聯(lián)合大學師范學院，蘭州 730000)

加拿大著名生態(tài)經(jīng)濟學家Clark.C.W［1］在研究可再生資源的最優(yōu)管理問題方面作出了比較突出的貢獻，他系統(tǒng)地闡明了人類對生物種群的開發(fā)應追求經(jīng)濟利益和環(huán)境利益的統(tǒng)一，這樣才能實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展。毒物對生態(tài)群落的影響成為最近幾十年人們所關(guān)心的主要環(huán)境問題之一。海洋環(huán)境下的關(guān)于生態(tài)毒理學問題的數(shù)學研究已經(jīng)開始。最近學者們對由海洋生物種群自己釋放的毒物產(chǎn)生的生態(tài)毒理學效應很感興趣［2-3］，已成為水生態(tài)的一個主要研究方向。Shukla等［4］對這類生態(tài)毒理學問題建立數(shù)學模型，并研究了毒物對生物種群的影響。

由文獻［2-3］知，在一個兩種群競爭的Lotka‐Volterra系統(tǒng)中，Maynard Smith加上了毒素物質(zhì)作用這一項，并且假設只有當對方存在時每個種群就都會向?qū)Ψ结尫乓环N毒物來阻止對方的生長。受文獻［2-3］的啟發(fā)，文獻［5］將Maynard Smith的思想推廣到兩競爭的魚群中，研究了毒素環(huán)境下對兩競爭魚群之一進行捕獲的優(yōu)化問題。本文將進一步研究對兩競爭魚群進行獨立捕獲的最優(yōu)策略問題［6-7］。

1 模型的建立

對文獻［5］中的模型進行修正，假設兩魚群都遵守Logistic增長規(guī)律，且服從的是獨立捕獲模式，此時增長方程可以寫為

其中:x(t)、y(t)代表兩競爭種群在任一時間的 t時刻的種群密度;r1、r2、α1、α2、β1、β2、k1、k2都是正常數(shù);r1、r2代表兩種群的內(nèi)稟增長率，k1、k2是它們的環(huán)境容納量;β1、β2分別是y種群對x種群和x種群對y的毒素作用系數(shù)。兩種群為了一個外部食物資源而相互競爭，在沒有對方時，每個種群都按Logistic增長規(guī)律增長。r1/k1和r2/k2是種內(nèi)競爭系數(shù)。β1x2是y種群對x種群密度的一種功能反應，它來自于由y種群為阻止x種群食用共同的的食物資源而產(chǎn)生的一種毒素物質(zhì)。因為d(β1x2)/dx=2β1x＞0和d2(β1x2)/dx2=2β1＞0，所以當競爭對手越多時，此種群釋放毒素的速率會增大。β2y2可以進行類似的解釋。

這種捕獲方式是用E1的努力量捕獲x種群，用E2的努力量捕獲y種群。兩種群分別進行捕獲。其中q1、q2是兩種群的捕獲能力系數(shù)，q1E1x和q2E2y稱為捕獲率函數(shù)。

2 平衡點及其性態(tài)分析

系統(tǒng)(1)可能的平衡點是

的解，即

其中點P3(x*，y*)滿足方程組:

以下對平衡點穩(wěn)定性的分析依據(jù)的是常微分方程定性理論知識［8］，推導過程類似于文獻［5］中對平衡點穩(wěn)定性的分析。內(nèi)稟增長率r和捕獲能力系數(shù)q之比r/q稱作是種群的BTP，因此，BTPx=r1/q1，BTPy=r2/q2。

定理1 E1＞BTPx，E2＞BTPy，則平衡點 P0(0，0)是系統(tǒng)(1)的一個穩(wěn)定結(jié)點;若 E1＞ BTPx，E2＜BTPy，則平衡點 P0(0，0)是系統(tǒng)(1)一個不穩(wěn)定的結(jié)點;若 E1＜ BTPx，E2＜ BTPy或者 E1＜ BTPx，E2＞BTPy，則平衡點P0(0，0)是系統(tǒng)(1)一個鞍點。

定理2 設

定理3 設

定理4

1)若毒素系數(shù)比 β1/β2滿足，則系統(tǒng)(1)的正平衡點P3(x*，y*)是局部漸近穩(wěn)定的。

2)若毒素系數(shù)比β1/β2滿足或，有A1x*+B1y*+C1＞0成立，則系統(tǒng)(1)的正平衡點P3(x*，y*)是局部漸近穩(wěn)定的。其中:

證明在證明平衡點P3(x*，y*)的局部穩(wěn)定性之前，首先說明正平衡點的存在性。

因為 P3(x*，y*)是

其中:

時，x*是上面這個方程的唯一正解。

由x*可得由y*的表達式可以看出，要使y*＞0，只有即時，y*＞0。當然，為保證x*＞0，不等式r1-q1E1＞0也應該成立。

由以上的分析知，當不等式

同時成立時，唯一的正平衡點是存在的。

正平衡點P3(x*，y*)的局部穩(wěn)定性證明過程類似于文獻［5］中定理1的證明。

通過上面的討論分析，得到了以下重要結(jié)論:

結(jié)論1 毒素物質(zhì)對動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性有影響，即兩種群釋放毒素的強度可以改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性(在無毒素釋放時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，而在有毒素釋放時系統(tǒng)是可以變成穩(wěn)定的)。

定理5 若條件成立，則系統(tǒng)(1)的正平衡點P3(x*，y*)是全局漸近穩(wěn)定的。

此定理的生物意義是:對2個相互見面時釋放毒素的競爭種群而言，即使對兩種群進行獨立捕獲，但當參數(shù)滿足一定條件時，系統(tǒng)不會出現(xiàn)周期振蕩，兩種群最終將保持在各自的平衡水平，持續(xù)生存。

定理6 系統(tǒng)(1)在第1象限內(nèi)不存在極限環(huán)。

定理6表明:對2個相互見面時釋放毒素的競爭種群而言，如果對兩種群進行獨立捕獲，系統(tǒng)不會出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象。

定理7 從R2+出發(fā)的系統(tǒng)(1)的所有解是一致有界的。

定理7表明:系統(tǒng)有很好的生物性態(tài)，從R2+出發(fā)的系統(tǒng)的所有解軌線最終都會進入同一個區(qū)域內(nèi)。

3 最優(yōu)收獲策略

在可再生資源的商業(yè)開發(fā)中，最基本的問題是在現(xiàn)在和將來的收獲之間作出一個最優(yōu)的決策。如果從同這個問題有關(guān)的政治社會和哲學領(lǐng)域都去研究的話，這個問題非常困難，可能無法解決。不過，如果僅從經(jīng)濟觀點考慮此問題，就必須使用時間貼現(xiàn)這個基本工具來解決跨時間經(jīng)濟效益的問題，這在商業(yè)管理中是一種慣用的行為。Clark在文獻［1］中證明了應用最大可持續(xù)經(jīng)濟租金這個概念是不現(xiàn)實的，因為它相當于使時間貼現(xiàn)率等于零。

要使種群資源開發(fā)有長期利潤，就需要考慮怎樣控制捕獲量才能使得一定時間內(nèi)捕獲所得到經(jīng)濟收入最大，并且使種群保持一個正常的生長繁殖能力。因此，為決定一個最優(yōu)收獲策略，本文的目標是使一個連續(xù)時間段收入的現(xiàn)值(現(xiàn)值收入)達到最大，此現(xiàn)值由式(2)給出。

其中:J表示總收入的現(xiàn)值;δ表示瞬時年貼現(xiàn)率。此問題通過采用最優(yōu)控制理論中的Pontryagin最大值原理來求解。

此問題可歸結(jié)為如下最優(yōu)控制問題

其中:x、y是狀態(tài)變量;Ei，i=1，2是控制變量。

首先構(gòu)建這個問題的Hamilton函數(shù):

其中:λ1(t)和λ2(t)是伴隨變量;控制變量E1、E2在Hamilton函數(shù)H中是線性的。

假設控制約束沒有起到約束作用，也就是最優(yōu)平衡點不會出現(xiàn)在(Ei)min或(Ei)max處，就必有奇異控制，它滿足，于是有

因此，由方程(4)和(5)可以看出影子價格e-δtλi(t)，i=1，2在最優(yōu)平衡點處不會隨時間而變化。這樣它們滿足在無窮大處的橫截條件，即當t→∞時，影子價格仍然有界。

這表明了對每個種群而言，每單位努力量收獲的使用者成本必須等于在平衡努力量水平下努力量將來邊際利潤的貼現(xiàn)值。

這里要導出這個問題的一個最優(yōu)平衡解。因為要考慮的是一個平衡解，所以x、y、E1和E2在下面的計算步驟中按常數(shù)對待。

根據(jù)最大值原理，伴隨變量λ1和λ2必須滿足

上面這組方程可以重寫為

本文考慮的是最優(yōu)平衡解，因此可以令˙x=˙y=0，從而有

將方程(4)、(5)和(8)代入方程(6)，化簡后有

此方程可以看作是關(guān)于x的一元二次方程，很容易判斷它存在一個正根。

同理，將方程(4)、(5)和(9)代入方程(7)，經(jīng)化簡后有

把這個方程看作是關(guān)于y的一元二次方程，經(jīng)判斷它存在2個實根，一個為負根，一個為正根。從生態(tài)意義考慮，僅對正根感興趣。此正根為

將方程(12)代入式(10)，經(jīng)化簡后得

其中:

滿足方程(13)的正解(如果存在)就是最優(yōu)解x=x*，然后從方程(12)中可以得到y(tǒng)=y*，從而有

4 結(jié)論

無論是對兩競爭種群進行獨立捕獲或是只對其中之一進行捕獲，都得到了相似的結(jié)論:在一定條件下，可以保證兩種群的持續(xù)生存;兩種群釋放毒素的強度可以改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性;毒素物質(zhì)的釋放對平凡平衡點和邊界平衡點的局部穩(wěn)定性沒有影響;系統(tǒng)不會出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象;系統(tǒng)的所有解都是一致有界的;利用Pontryagain最大值原理得到了最優(yōu)的捕獲努力量和相對應的最優(yōu)種群規(guī)模。

［1］Clark C W.Mathematical Bioeconomics，the Optimal Control of Renewable Resource［M］.New York:John Wiley sons Inc，1990.

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［5］楊海霞.有毒素時兩競爭魚群的最優(yōu)捕獲策略［J］.甘肅聯(lián)合大學學報，2011，25(1):8-13.

［6］趙琳，雒志學，王利紅.在容量較小的污染環(huán)境中種群的最優(yōu)捕獲問題［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2011(2):122-126.

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［8］馬知恩，周義倉.常微分方程的定性與穩(wěn)定性方法［M］.北京:科學出版社，2001.