Mathieu方程與束流冷卻對同步運動的影響

羅曉華 何為

(1.重慶交通大學 圖書館，重慶 400074;2.重慶大學 電氣工程學院，重慶 400044)

其中e是電子電荷，h是諧波數，V是加速電壓，E是同步粒子能量，β=v/c是粒子無量綱速度。不失一般性，考慮φs=0的穩態 (stationary state)情形。當φs=0時，方程 (1)退化為

1944年，蘇聯物理學家維克斯勒 (次年，麥克米蘭)發現，在高頻電場中運動的帶電粒子具有保持相位穩定的能力，并指出適當選擇同步相位，即可實現非同步粒子的能量補償。從此，加速器的能量上限實現了質的突破，質子能量從當初的107eV量級提升到當今的1013eV量級。遺憾的是束流能量和束流強度不能兼得。正是這對矛盾激勵著人們不斷對加速器技術進行探索，并取得了一個又一個的突破，儲存環技術和束流冷卻技術便是典型的例子。直到今天，加速器的束流動力學問題依然是人們關注的重要問題之一［1－14］。本文關心的正是束流冷卻對同步運動的影響。值得注意的是，隨著人們認識能力的不斷提高，先后認識了束流動力學的線性、非線性和復雜性，而本文就試圖利用Mathieu方程的穩定區和不穩定區 (禁帶)來討論系統的穩定性。為此，在經典力學框架內，把周期冷卻的同步運動方程化為Mathieu方程，系統呈現出一系列穩定區和不穩定區;對可能存在的一階不穩定區進行了討論，用攝動法導出了它的邊界曲線和禁帶寬度，并討論了禁帶穿越和同步運動的穩定性，導出了束流冷卻一次諧波振幅的臨界值。

1 運動方程

束流冷卻通常是在環形加速器 (比如同步加速器、儲存環等)的一個或幾個直線段上安裝冷卻器來實現的。當粒子通過冷卻器時，用一束冷 (發射度小)的電子同它一道運動，并將整個離子束浸泡其中。如果選擇電子的速度與離子速度相等，離子和電子在運動方向保持同步，同時它們之間還將通過“熱”運動彼交換橫向能量，使得比較熱的離子束逐漸變冷。換句話說，由于束流冷卻，離子的Betatron振蕩將逐漸衰減，而同步振蕩也將逐漸衰減。

在理想情況下，如果選擇相位φ和動量分散系數δ為正則坐標，θ為獨立變數，粒子同步運動方程可表示為［7，13－14］

其中e是電子電荷，h是諧波數，V是加速電壓，E是同步粒子能量，β=v/c是粒子無量綱速度。不失一般性，考慮φs=0的穩態 (stationary state)情形。當φs=0時，方程 (1)退化為

設系統的冷卻系數為μ(θ)，對于動量分散為δ的粒子束，經過“長度”為Δθ的冷卻后，衰減量Δδ可表示為 Δδ= －μ(θ)δΔθ。于是，正則方程 (2)可化為［7］

或

其中

其中ε是小參數，僅表示伴隨項是O(ε)級小量。將μ(θ)按Fourier級數展開

其中Δθ是冷卻器“長度”，而η0=Δθ/2π是冷卻器的相對長度。令

方程 (5)可進一步化為

其中

式中略去了ε2項。這就是只關心弱冷卻情況，而μ(θ)由式 (6)給出。將式 (6)和 (9)帶入方程(8)，可得粒子同步運動方程

其中

是由于周期冷卻產生的n次諧波振幅。方程 (10)是一般的Hill方程，它的系數包含了所有Fourier分量，這個系統將存在和共振與差共振。但是由于這些組合共振都比較弱，感興趣的是整數共振或半整數共振。由式 (10)可得n次諧波激勵的同步運動方程為

2 系統的穩定性

作變數變換

方程 (12)化為

其中參數

方程 (14)是一個標準的Mathieu方程。一次項的系數`是φ的周期函數。根據Flogue定理，方程 (14)的解具有如下性質

其中d是加速器格子周期，而T是粒子運動周期。粒子在周期中場運動時，它的能量將分裂成帶。事實上，系統的穩定性與參數 (q，ε)的分布有關，在參數 (q，ε)平面上，系統出現了一系列穩定和不穩定區。當→0時，如果q＞0，系統是穩定的;q＜0系統不穩定。不過，隨著的增加，即使q＜0，系統也可能是穩定的。由于方程 (14)包含振動部分cos 2φ，在q＞0的右半平面內出現了一系列穩定區和不穩定區。當→0時，這些不穩定區退化為一點，且全都落在ε=0的橫軸上，這些點由方程

給出，并分別稱為一階、二階、三階等不穩定區。對于一次諧波 (n=1)激勵，由式 (15)，(16)可知，這些不穩定區對應于νs=1/2，1，3/2，…，共振。這就是說，由于束流冷卻將激發出不同階次的整數共振或半整數共振。圖1給出了數值結果。一般說來，在參數 (q，ε)平面上，這種穩定和不穩定區有無限多個。對于具體情況只有一個或少數幾個穩定區和不穩定區起作用。下面對一階不穩定區(νs=1/2)做進一步分析。

圖1 Mathieu方程的穩定與不穩定區 (陰影區域)

3 Mathieu方程的一階不穩定區及其禁帶寬度

利用攝動法［15－16］求解方程 (14)。注意到方程 (14)中的 (是一個小參數，可將x和q按它展開

將式 (17)和 (18)代入方程 (14)，比較 (的同次冪系數，可得逐次近似方程

方程 (19)的解可表示為

上式表明，當k為偶數時，x0是周期為π的周期函數，當k為奇數時，x0是周期為2π的周期函數。我們以k=1為例，求禁帶的邊界方程和相應的解。

將式 (22)代入方程 (20)，并令k=1，可得

消去方程中的久期項，要求

于是方程 (23)化為

聯立求解方程 (24)和 (25)，可得

和

航空發動機裝配過程數據能夠映射為任務、物料、工藝、質量4個視圖上的對應信息，分別回答了“由誰在何時來執行哪個任務”、“對哪些物料進行裝配”、“如何裝配”和“記錄哪些質量信息”的問題，4個視圖之間存在的邏輯關聯關系如圖2所示。

于是，方程 (26)的解可表示為

或

將式 (27)、(29)代入方程 (21)，可得二級近似方程

消去久期項，可得

精確到二次近似，一階不穩定區的一條邊界曲線和這條邊界曲線上的解可表示為

同樣，將式 (28)、(30)代入方程 (21)，并用類似的方法，可求得一階不穩定區的另一條邊界曲線和這條邊界曲線上的解為

由式 (33)和 (35)，可求得一階不穩定區的禁帶寬度

4 系統的臨界性質

注意到當諧波數n=1時，由式 (15)可知，同步運動的Betatron頻率可表示為=q/4。微分該式，由式 (37)可將一階不穩定區的禁帶寬度表示為

再注意到粒子穿越禁帶時振幅呈指數增長，設φ0(因而x0)是粒子進入禁帶時的“初始”振幅，穿越禁帶后的振幅φ(因而x)可表示為

其中θ是粒子在禁帶中轉過的角度 (或“停留”的時間)。當φ滿足條件

時，系統處于臨界狀態，其中φu和π－φs是同步運動的兩個不穩定點，φs是系統的同步相位 (在本文中φs=0)。換句話說，當離子穿越禁帶，相位呈指數增長，如果相位的振幅φ＜φu和φ＜π－φs，系統是穩定的，否則系統不穩定。由式 (15)、(16)和 (38)可得束流冷卻的一次諧波振幅臨界值

或

其中ωs是同步粒子振蕩頻率，Tc是同步粒子穿越禁帶的臨界時間。當δ1＜δ1c系統是穩定的，否則系統不穩定。

5 結語

由于冷卻效應，同步運動方程化為了參數激勵的Matheiu方程，由于參數激勵，系統出現了一系列穩定和不穩定區。這就是說，由于束流冷卻，系統的同步運動將在νs=1/2，1，3/2，…，處出現共振。本文從系統的正則方程出發，在經典力學框架內和弱冷卻近似下，把粒子的同步運動方程化為Mathieu方程，利用攝動法導出了一階不穩定區 (νs=1/2)的邊界曲線和禁帶寬度。指出了由于冷卻效應，當粒子穿越禁帶后的相位φ=φ0+Δφ等于不穩定相位時，粒子處于臨界狀態，并由此導出了束流冷卻的一次諧波激勵振幅的臨界值或。當 δ1＜ δ1c時，系統是穩定的，否則系統不穩定。

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