概率論與數理統計教學方法探討

牛銀菊

(東莞理工學院 計算機學院，廣東東莞 523808)

概率論與數理統計是研究隨機現象的數量關系與數量規律性的一門學科，是高等院校理、工科及管理學等專業必修的一門重要的基礎課程［1］。隨著我國市場經濟的逐步完善，概率論與數理統計在工農業生產和科學研究中的應用越來越廣泛，特別在經濟學、質量控制、精算數學等方面發揮著重要的作用，凡是有數據需要處理的地方，都離不開概率統計。因此，該課程越來越受到人們的重視，同時也是全國碩士研究生入學數學考試的內容之一。本文針對部分學生數學基礎較差的現狀，結合概率論與數理統計課程的特點和初學者遇到的實際問題，從概念引入、案例教學、規律總結等三個方面進行了探索，并取得了良好的教學效果。

1 課程特點

概率論與數理統計是一門高度抽象的學科，有它獨特的概念和方法。主要特點是:概念和公式繁多，章節的關系松散，應用題比較抽象［1］。對初學者來說，其感覺是:基本概念既多又抽象、難懂;公式多且雜、易混淆;內容抽象復雜、難以理解;知識點太多、遇到實際問題時，思路不清，無從下手;處理問題的方法與其他數學課程有很大的差異，因而不易掌握［2］。

2 學生現狀

學生們在學習概率論與數理統計課程時，通常對古典概率部分興趣較濃，學習尚不覺困難，但從隨機變量內容起，就感到相當難，這是因為他們的基礎課知識 (特別是高等數學知識與概率計算知識的結合環節)薄弱，如概率論中用到的分段函數、非初等函數的圖象、變線積分等內容，均不是高等數學中的重點內容。從我教的管理學院的學生來看，數學基礎比理工科學生更差，且多數學生學習目的不明確，沒有養成課前預習、課后復習的習慣，對所學的知識點不及時梳理，時間長了，連基本的簡單積分計算都忘記了，所以學起來困難更大。

3 方法探討

根據概率論與數理統計課程的特點和學生的現狀，從概念引入、案例教學、規律總結等方面對該課程的教學方法進行了探討。下面對其具體的授課方式作一簡要介紹，以期與同仁商榷。

3.1 概念引入

首先，在概念教學中，要使學生明確為什么要引入這個概念以及這個概念是用來解決什么問題的。只有讓學生明確了這個概念引入的目的，才能調動學生的學習積極性，從而積極地溶入整個教學過程中，使教與學達到有機的統一。例如，我在第一節課介紹概率論與數理統計這門課程時，先將手中拿的書掉在地上，結果是正面朝上。這時，我問學生:“如果我再將手中的書掉在地上，你們猜想，結果是正面朝上還是反面朝上。”學生回答:“可能是正面朝上，也可能是反面朝上。”我又問:“其結果是肯定的，還是隨機的。”學生回答:“結果是隨機的。”我又提出一些問題:“如果你們現在出去乘公交車，等多長時間確定不確定，或者去郵局寄郵件等多長時間確定不確定，等等。”事實上，這樣的不確定事件在我們身邊隨處可見，要把這樣的事情搞清楚，就必須學習研究這些隨機現象的學科，即概率論與數理統計。再如，為了讓學生理解概率論與數理統計所研究的問題與其它學科的不同，我提出這樣的問題:“在一大氣壓下，把水加熱到100攝氏度，有什么現象發生。”學生回答:“水會沸騰。”我又問:“這個結果肯定嗎?”學生回答:“其結果是肯定的。”接著強調我們學過的定理，只要條件成立，其結果是肯定的，像以前學過的高等數學、線性代數等課程就是研究這些必然現象的學科。

其次，根據概念產生的不同背景，應選定最佳的引入路徑，讓學生盡快觸及概念的本質，而不應為了追求形式上的新穎，淡化概念產生的背景，把簡單的問題復雜化。例如，在引入隨機變量的概念時，我是這樣引入的:前面，我們都是用一個字母來表示隨機事件，但是，如果考慮一些更加復雜的情況，用字母表示隨機事件就不太方便;若想用更多的數學知識解決所研究的問題，就必須盡可能的將我們要考慮的問題數量化。在后面的討論中，不是把每一個事件用不同的字母來代替，而是要把它數量化，即用變量的取值來代表隨機事件，它的不同的取值就表示不同的隨機事件，我們就稱這個變量為隨機變量。

3.2 案例教學

《數理統計》的內容之一假設檢驗所解決的問題非常廣泛，涉及的概念、公式較多，解決問題的方法也比較獨特，如果老師不講清它的基本原理，直接將解題過程寫出來，學生就會覺得比較混亂，不理解，遇到實際問題時就會無從下手。

首先，讓學生明白，假設檢驗是基于反正法的思想和小概率原理 (或實際推斷原理)，按照反正法的思想先要提出待檢驗的假設，這一點學生很容易接受 (多數情況題目直接給出)。其次，尋找矛盾，這一點和以前學過的反正法得到的矛盾不同，它是利用小概率原理得到的，即小概率事件在一次試驗中幾乎不會發生，根據這一點，決定拒絕還是接受假設，以此來判斷是否得到矛盾，從而對題目中的問題作出合理的判斷，并得出自己認為的結論。這就需要構造判斷矛盾的小概率事件，其途徑是借助分布已知的統計量，得出小概率事件發生的條件或拒絕域。需要給學生強調的是統計量的確定，依據假設中的參數，即這個統計量只能含有假設中的參數，其它都要成為已知的或者通過樣本可以計算出來的。以此為基礎，老師講解引例學生很容易接受，并能按所學的套路解決現實生活中的各種問題，為學生更加深刻的理解數理統計知識的現實意義打下堅實的理論基礎，下面舉例說明。

例:要求某種燈泡的使用壽命不得低于1000小時，生產者從一批這種燈泡中隨機抽取36個，測得壽命的平均值為980小時，已知該種燈泡壽命服從標準差為100小時的正態分布，判斷這批燈泡是否合格?(取顯著性水平α=0.05)

解:(1)設總體均值為μ，檢驗假設為

以上處理方法得到了學生的認可，調動了他們學習的主動性和積極性，提高了綜合分析和解決實際問題的能力，對假設檢驗的領會更加深刻。但在實際問題的解決中，有部分學生覺得單邊檢驗的拒絕域接受起來仍然比較麻煩。為了讓他們在理解的基礎上掌握并記住單邊檢驗拒絕域的公式，為靈活運用這部分知識解決實際問題奠定基礎。再以“H0:μ≤μ0的拒絕域的推導”為例，說明求解單邊檢驗拒絕域的過程。

3.3 規律總結

大家都知道，學習知識的目的是為了解決我們身邊遇到的各種各樣的問題。解決問題的方法雖然多種多樣，但我們希望找到最簡捷、最易接受的方法，這就需要老師總結規律，使學生有章可循。如，在隨機向量一章中，求聯合密度函數、邊緣密度函數及隨機事件的概率等問題，其關鍵是求積分，而學生感到難的主要問題是確定有效積分區域和積分線，老師只要將這兩個問題講清楚，剩下的就是學生熟悉的《高等數學》中最簡單的積分問題。下面以有效積分區域、積分上下線的確定為例予以說明。

定義有效積分區域，就是概率密度函數非零表達式的區域。然后，規定找積分線的方法:若看作是x型的，就在有效積分區域內畫一條平行于y軸且與y軸同向的有向線，根據先交的是下線，后交的是上線就可以確定積分的上、下線。具體來說，下線就是從函數關系式中求出y等于多少，同樣上線也是從另一個函數表達式中求出y等于多少。若看作是y型的，就在有效積分區域內畫一條平行于x軸且與x軸同向的有向線，根據先交的是下線，后交的是上線就可以確定積分的上、下線。具體來說，下線就是從函數關系式中求出x等于多少，同樣上線也是從另一個函數表達式中求出x等于多少。

定義隨機事件概率的有效積分區域，就是聯合概率密度函數的非零表達式的區域與隨機事件區域的交集部分或公共部分。然后，利用口訣“后積先進線”確定積分時到底先積誰。具體來說，就是先寫x的線，就后積x，先寫y的線，就后積y。盡管學生剛接觸到這一章內容時感到非常難，如果老師能從學生的問題出發，找到要解決的問題與同學們熟悉的知識之間的聯系，歸納、總結出具體的辦法，同學們就可以靈活運用所學知識解決實際問題了。

再如，在講解區間估計時，首先讓學生明確要構造一個區間，使得要估計的參數落在這個區間的可能性比較大。用概率論與數理統計的知識，就是要構造參數落在一個區間的概率比較大，其值可表示為1－α(0＜α＜1)，α通常比較小。這樣做，可以讓學生抓住概念的實質，解決實際問題時就會思路清晰、目的明確。

4 結語

問卷調查表明90%以上的學生對老師的教學給予肯定，大多數學生反映這種教學方法使他們對該門課程有了更深的理解，培養了他們聯系實際、發現規律的能力，增加了應用概率論與數理統計知識解決實際問題的能力，從而為他們后續課的學習奠定了基礎，也為老師繼續探討新的教學思路增加了信心。

［1］張忠志，李伯忍，李紹明.概率論與數理統計［M］.天津:天津大學出版社，2011.

［2］鄧華玲，傅麗芳，孟軍，等.概率論與數理統計課程的改革與實踐［J］.大學數學，2004，20(1):34－37.