求解帶尖角區(qū)域聲波散射問題的三種數(shù)值處理方法

彭增軍

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西 西安 710127)

求解帶尖角區(qū)域聲波散射問題的三種數(shù)值處理方法

彭增軍

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西 西安 710127)

通過單雙層位勢在尖角處的跳躍關(guān)系建立了形式較為簡單的邊界積分方程,然后再分別利用指數(shù)變換、周期變換和K ress變換三種方法對帶尖角的區(qū)域進(jìn)行處理,并通過數(shù)值算例對這幾種方法的求解結(jié)果進(jìn)行了分析比較,最后得出周期變換效果最佳.

聲波散射;帶尖角區(qū)域;指數(shù)變換;周期變換;K ress變換

1 引言

聲波散射問題一直以來是數(shù)學(xué)物理問題的一個研究熱點,國內(nèi)外許多學(xué)者對此問題進(jìn)行了一系列的研究,特別是K ress教授在文獻(xiàn)[1]中利用單雙層位勢的組合對這類問題做了大量的研究并且取得了很好的結(jié)果.對于帶尖角區(qū)域的聲波散射問題,在應(yīng)用邊界元方法進(jìn)行數(shù)值求解時,由于雙層位勢在尖角處不連續(xù),這樣就導(dǎo)致計算結(jié)果出現(xiàn)較大的誤差,因此引入適當(dāng)?shù)淖儞Q,使得在新的變量下雙層位勢在尖角處連續(xù),從而保證數(shù)值解的精確性.文獻(xiàn)[2-4]各給出了一種求解尖角區(qū)域的聲波散射問題的方法,但在其邊界積分方程中都涉及到Laplace方程的基本解,相對比較繁瑣.本文受文獻(xiàn)[5-6]的啟發(fā),利用單雙層位勢在尖角處的跳躍關(guān)系得到一種形式較為簡單的邊界積分方程,從而便于數(shù)值求解.然后再分別采用指數(shù)變換、周期變換和K ress變換對尖角區(qū)域進(jìn)行處理,使雙層位勢在尖角處連續(xù).最后求解帶尖角區(qū)域聲波散射問題的數(shù)值算例,對三種變換下的求解結(jié)果和收斂速度進(jìn)行了比較分析,總結(jié)出在相同精度下周期變換在處理該問題時的收斂速度最快.

2 帶尖角區(qū)域聲波散射問題的邊界積分方程

不妨考慮在均勻介質(zhì)中傳播的聲波碰到一個無限長的柱體,設(shè)柱體截面D?R2,母線平行于z軸.設(shè)入射波是平面波

其中波數(shù) k＞0,d為一單位向量,i表示虛數(shù)符號.入射波碰到柱體發(fā)生散射,記總體場為u=ui(x)+us(x),us(x)表示散射場,則散射問題歸結(jié)為求u(x)∈C2(R2ˉD)∩C(R2D),使其滿足Helmholtz方程:

及其Dirichlet邊界條件:

其中散射波us(x)滿足Sommerfeld散射條件:

對于以上邊值問題,不妨選取如下的單雙層位勢的混合形式來表示散射波us(x):

其中φ∈L2(?D),η為常數(shù),ν表示?D的單位外法線方向,Φ(x,y)為Helmholtz方程的二維基本解,其形式為:

考慮散射域邊界?D上有一個尖點,不妨假設(shè)尖點在x=x0處,除尖點外?D{x0}為C2類逐段光滑的,尖點處的內(nèi)角記為γ0(0＜γ0＜2π).設(shè)由(4)式設(shè)定的散射波us(x)滿足邊界條件(2)式,再根據(jù)區(qū)域包含尖點時單雙層位勢的跳躍關(guān)系定理[4],有如下的邊界積分方程:

以及α(x)=γ(x)/π,γ(x)為區(qū)域邊界在x點的內(nèi)角.從而,在尖點x=x0處,α(x)=γ0/π;在其余點x?=x0時,α(x)=1.

由Hankel函數(shù)的漸進(jìn)性可得到由(4)式定義的散射波us(x)對應(yīng)的遠(yuǎn)場模式為:

從邊界積分方程中求出函數(shù)φ后,再代入(6)式計算出遠(yuǎn)場模式

3 三種變換

對于求解帶尖角區(qū)域的聲波散射問題,在其邊界積分方程(5)之中,單層勢的核函數(shù)在尖角處是連續(xù)的,雙層勢的核函數(shù)為基本解的方向?qū)?shù),具體表示為如下形式:

顯然,在尖角左右兩端的邊界外法向量ν(y)是不連續(xù)的,從而導(dǎo)致了雙層位勢的核函數(shù)在尖角處不連續(xù).假設(shè)區(qū)域邊界表示為:

不妨采用參變量替換的方法,令τ=w(s),將現(xiàn)有變量τ替換為新參變量s,從而

如果w(s)的選取能使得在尖角處w′(s)=0,這樣就使得雙層位勢的核函數(shù)在尖角處連續(xù)且值為零.為此,有以下幾種變換方法:

(1)指數(shù)變換:

4 離散化及奇異性處理

5 數(shù)值算例

例1 求解雨滴型區(qū)域的聲波散射問題,其邊界的參數(shù)表達(dá)式為:

區(qū)域的圖形如圖1所示.

不妨取入射方向d=(1,0),波數(shù)為k=1.文獻(xiàn)[4]中對該數(shù)值算例進(jìn)行了求解,但是其處理方法和本文中的方法是不同的.以下給出本文應(yīng)用指數(shù)變換、周期變換、K ress變換結(jié)合邊界積分方程求解出的遠(yuǎn)場模式的計算結(jié)果.具體見表1-表5.

圖1 雨滴型散射區(qū)域

表1 用指數(shù)變換求得的遠(yuǎn)場模式數(shù)值解

表2 用周期變換求得的遠(yuǎn)場模式數(shù)值解(p=2)

表3 用周期變換求得的遠(yuǎn)場模式數(shù)值解(p=8)

表4 用K ress變換求得的遠(yuǎn)場模式數(shù)值解(p=2)

從計算結(jié)果可以看出,用這三種變換方法來處理尖點區(qū)域聲波散射問題都是可行的.其次,從收斂速度上來說,周期變換和K ress變換在p取值較大時,求解結(jié)果的收斂速度較快,因此可以通過調(diào)節(jié)p的值來調(diào)節(jié)算法的收斂速度.就求解結(jié)果前5位有效數(shù)字的收斂情況來看,在p都取2的情況下,周期變換在n=32時已經(jīng)收斂,而K ress變換在n=128時還沒有收斂,在p都取8的情況下,周期變換在n=16時已經(jīng)收斂,K ress變換在n=32時才收斂.因此,在p取相同值時,周期變換的收斂速度更快.指數(shù)變換是固定的,其收斂速度和周期變換在p=2時基本相同,但該變換是無法調(diào)節(jié)收斂速度的.綜上所述,周期變換的收斂速度可以調(diào)整,而且在幾種變換中的收斂速度最快,因此周期變換是解決尖角區(qū)域的聲波散射問題的最佳方法.該結(jié)果和文獻(xiàn)[4]的結(jié)果相同,從而驗證了該方法的有效性和可行性,但和文獻(xiàn)[4]使用的方法相比本文建立的邊界積分方程更加簡單.

表5 用K ress變換求得的遠(yuǎn)場模式數(shù)值解(p=8)

[1]Colton D,K ress R.Integeral Equation M ethods in Scattering Theroy[M].New York:W iley-Interscience Publication,1983.

[2]K ress R.Linner Intergral Equation[M].New York:Springer-Verlag,1989.

[3]張梅東,王連堂.帶尖角的障礙聲波散射區(qū)域的反演[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,25(3):610-616.

[4]王桃正,王連堂.基于周期變換求解帶尖角區(qū)域的聲波散射問題[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(6):814-818.

[5]Colton D,K ress R.Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theroy[M].New York:Springer-Verlag, 1992.

[6]K ress R.A Nystrom method for boundary integral equations in domains with corners[J].Numer.Math., 1990,58:145-161.

Three num ericalm ethods based on solv ing the acoustic scattering p rob lem with a corner

Peng Zengjun

(Departm ent of M athem atics,Northwest University,X i′an 710127,China)

Using single and double-layer potentials′the jum p relation at sharp corner build a sim p le boundary integral equation.Three kinds ofm ethods which are exponential transform ation,periodic transform ation and K ress transform ation are used to process the sharp region.Num erical exam p le is given and the resu lts show that periodic transformation is best.

acoustic scattering,dom ains with corners,exponential transform ation,period transform ation, K ress transform ation

O178

A

1008-5513(2012)06-0819-07

2012-04-18.

陜西省教育廳基金(09JK 771).

彭增軍(1987-),碩士生,研究方向:數(shù)學(xué)物理反問題.

2010 M SC:35A 40