考慮區域性的復雜電力網絡演化模型

楊 蕾，黃小慶，曹麗華，譚玉東，劉 玙

（湖南大學電氣與信息工程學院，長沙410082）

電力系統大停電事故頻繁發生，后果日益嚴重，逐漸引起了人們對電網連鎖故障傳播機理和電力系統脆弱性的關注［1～14］。將復雜網絡理論應用于對電力網絡的脆弱性、魯棒性以及連鎖故障的研究成為一大熱點課題［4～11］。把大電網中的發電廠和變電站等同于復雜網絡中的節點，各輸電線路等同于復雜網絡中的連邊，建立相應的大電網簡化模型，是利用復雜網絡理論研究大電網連鎖故障的基礎［8～10］。同時，電網本身的結構及演化規律具有內在、本質的特性，一旦確定下來，必然對電網的性能產生深刻的影響［6，7］。因此，研究電力網絡的網絡特性及其演化模型具有重要意義。

近年來，國內外學者提出了多種新的網絡模型，并對這些模型所生成網絡的特性進行了研究［2，3，15～16］。小世界模型和無標度模型的提出以及其特性的發現是復雜網絡研究領域里最重要的研究成果［2，3］。小世界網絡介于規則網絡和隨機網絡之間，通過很小的概率切斷規則網絡中原始的邊，并隨機選擇新的節點重新連接，它同時具有較大的聚類系數和較小的特征路徑長度［2］。無標度網絡的度分布在整體上服從冪律分布［3］。小世界特性使得電力網絡中存在少量的節點擁有遠遠大于其他節點的介數，這些節點的缺失會導致大量最短路徑的重新分布，進而引起系統連鎖故障［9］。無標度網絡源于其非同質的拓撲結構，對隨機故障有驚人的魯棒性，但對蓄意攻擊則呈現出固有的脆弱性［14］。

當前經典的復雜網絡模型與實際電力網絡存在較大差異［21］。文獻［15］證實了電力網絡不是隨機網絡，也不是完全的無標度網絡。文獻［6］指出，部分電力網絡不具有小世界特性，而部分電力網絡的度分布不服從冪率分布也不服從指數分布。文獻［22］提出了冪指數在1至3之間變化的網絡模型，文獻［23］提出了冪指數在1至3和2至3之間變化的網絡模型，但文獻［3］指出多數度分布為冪律分布的電力網絡，其冪指數大于3。

本文從電力網絡本身的演化機理入手，結合復雜網絡領域最新的研究成果，提出一種改進的復雜電網鄰域演化模型。通過理論分析給出了改進模型的度分布規律，通過對美國西部電網和中國華東電網的仿真以及與鄰域演化網絡、BA無標度網絡、規則網絡的對比，驗證了該模型可以更好地擬合電力網絡的演化。該模型的提出對于電力系統復雜性研究具有重要意義。

1 復雜網絡模型及其特征參數

1.1 復雜網絡模型簡介

現實世界中的大多數復雜系統可以用網絡的形式來描述。復雜網絡模型研究即研究網絡生成機制及演化模型。復雜網絡的生成機制指的是網絡的形成方式與形成過程，根據生成機制建立的模型稱為復雜網絡的演化模型。

針對現實網絡中普遍存在的局域世界現象，文獻［18］提出了局域世界演化模型，該模型在選取局域世界時使用了隨機策略。而文獻［20］建立的鄰域演化模型，雖是隨機選擇鄰域中心點，但以深度定義“鄰域”，將局域世界的概念更加具體化。本文提出的模型在鄰域演化模型的基礎上考慮節點間距離的影響，重新定義“鄰域”以及新節點接入網絡的優選方式。基本的鄰域演化模型的“鄰域”定義為：假定在一個無權無向網絡G中，標號為i和j的兩個節點之間的距離dij定義為連接這兩個節點的最短路徑上的邊數，即從節點i到節點j所需要經過的最少的邊數。節點i的深度為p的鄰域記為Np（i），則

對于圖1給出的網絡，根據式1可得：N1（1）＝ ｛2，3｝，N2（1）＝ ｛2，3，4，7｝，圖1（b）與圖1（c）分別是節點1的深度為1、2的鄰域示意圖。

圖1 “鄰域”示意圖Fig.1 Neighborhood schematic diagram

1.2 復雜網絡的特征參數

從統計意義上講，網絡的拓撲特征參數包括度分布、特征路徑長度、聚類系數等，其中最能反映網絡拓撲特征的是度分布［7］。

節點i的度ki定義為與該節點連接的其他節點的數目。一個節點的度越大就意味著這個節點在某種意義上越“重要”。網絡中所有節點i的度ki的平均值稱為網絡的平均度，記為＜k＞。度分布p（k）為網絡中節點度數為k的概率。

2 改進的電力網絡演化模型

2.1 電力網絡拓撲建模原則和特征

電力網絡可以抽象成為一個具有N個節點和E條線路的復雜網絡，節點包括發電廠和變電站，而輸電線、變壓器支路是電網拓撲中的邊。

隨著社會經濟的發展和電力需求的增加，不斷有新的發電廠和變電站的投入，本模型使用節點和連接的增加模擬電網的生長。在電力網絡的發展過程中，輸電距離很大程度地影響了電網建設的經濟成本。因此，新建發電廠和變電站一般從鄰近的變電站輸入電力，與以其位置為中心的一定地理范圍內的周邊變電站相連，電網的生長表現出一定的鄰域演化特性。在優選連接方面，為達到一定的經濟效益，新建廠站會與靠近自身的變電站相連，同時，為維持電力系統的穩定運行（N－1原則、暫態穩定等），新建廠站還需要與系統中承擔“重要”輸電作用的變電站相連，這些變電站往往具有較高的容量，與其他廠站的連接也較多。因此，電力網絡的演化模型應該以一定的地理區域作為“鄰域”范圍，在新節點接入“鄰域”時，定義概率q與距離近的節點相連，（1－q）與“鄰域”內度數高的節點相連，達到經濟與穩定運行的持平。

2.2 改進模型的構造算法

改進的網絡演化模型按照如下算法構造。

1）增長：開始于較少的節點數（n0）和連接數（m0），每次新加入一個節點從網絡中隨機選擇節點位置New＿Pos，在二維空間中，New＿Pos可用復數表示。

2）確定鄰域世界：鄰域世界的范圍選取為New＿Pos與網絡中原有nI個節點Init＿Pos之間距離的平均值，其表達式為

式中：Pos（i）為鄰域內部節點的位置坐標；‖Init＿Pos－New＿Pos×‖I為原有節點坐標和新節點坐標向量差值的1－范數。圖2給出N＝200時的鄰域示意圖。

3）連接：新節點連接到m個已存在節點上，即產生m條連邊，給定概率q，新加入的節點以q的概率與鄰域中度數較高的節點相連，以（1－q）的概率與鄰域中距離較近的節點相連。這樣，鄰域中節點i的優選因子?i。

ki是節點i的度數，Di是節點i與新節點間的距離。經過t步，該模型產生一個具有N＝t＋n0個節點網絡。

圖2 新“鄰域”示意圖Fig.2 New Neighborhood schematic diagram

2.3 改進模型的度分布分析

使用平均場方法［24］分析電力網絡改進演化模型的度分布規律。新節點連接到節點i的概率Π（ki）為

式中，Nneighbor為鄰域內部的節點數。

利用微元法，當t很大時，均勻分布相鄰節點間的距離d為

由式（6）得出：

近似求得：

進一步，使用平均度數假設式（9）成立

結合式（4）、（8）、（9）可得新節點連接到節點i的概率為

假設k是連續的，則概率Π（ki）可以看作ki的連續變化率，于是對于節點i有式（11）：

1）q≠0

采用文獻［15］的計算方法，可得到度分布p（k）的表達式為

圖3 改進模型的度冪律分布Fig.3 Power－law degree distribution of the new model

此時，式（12）變為

同理可得p（k）的表達式為

由式（15）可知，此時的度分布為指數分布。圖4給出了N＝5000，m＝2時改進模型的度分布。

圖4 改進模型的度指數分布Fig.4 Exponential degree distribution of the improved model

3 實例驗證

下面給出中美兩大電網的仿真結果以及與幾種典型網絡模型的對比數據。美國西部電網擁有4941個節點和6594條邊。中國華東電網主要由上海、江蘇、浙江、安徽、福建幾省的電網組成，擁有769個節點，1029條邊。改進模型仿真參數為m＝2，仿真結果采用100次運行的平均值。

圖5給出了美國西部電網與不同模型的度分布比較。由圖5（a）可見，美國西部電網的度分布曲線接近于冪律分布，最佳冪律擬合函數為：p（k）＝19×k－3.6，相關系數為0.9234，冪律指數r＝3.6，介于3～∞。

當q＝0，新節點接入電網時，只考慮輸電距離影響，與靠近自身的節點相連（規則網絡）［21］；當q＝1，新節點接入電網時，只考慮系統穩定性因素，與網絡中度數高的節點相連（鄰域演化網絡）［20］；圖5（b）、（c）表明，二者生成的網絡都不能很好地擬合美國西部電網的度分布，說明美國西部電網并非單純的規則網絡或鄰域演化網絡，兩種演化方式都不能很好反映電力網絡的演化規律。從圖5（a）可看出，當q＝0.8時，改進模型的度分布曲線與美國西部電網的實際度分布曲線最相符，證明了改進模型的有效性。同時，這表明電力網絡的演化發展具有自身的特征，新節點接入原系統的方式與度、距離都有關，即新建廠站接入電力網絡需要綜合考慮輸電距離以及系統的穩定性，改進模型能夠很好地反映電力網絡的演化規律。結合圖5（a）、（d）可知，改進模型比BA無標度網絡更接近實際網絡。BA無標度網絡1取參數m＝2；BA無標度網絡2取m＝1。

圖5 美國西部電網與不同模型的度分布比較Fig.5 Degree distribution comparisons between West American power grid and different network models

由圖6（a）可見，中國華東電網的最佳冪律擬合函數為：p（k）＝87×k－4.2，相關系數為0.9017，冪律指數r＝4.2，同樣介于3～∞之間。仿真結果表明，當q＝0.7時，改進模型可以很好地擬合中國華東電網的度分布曲線，華東電網的無標度性小于美國西部電網（q＝0.8），在新節點接入電網時，美國西部電網以更高的概率與系統中節點度數高的節點相連，“富者更富”，網絡節點的度數差異大，網絡呈現出更強的非同質性，當發生隨機故障時，無標度性強的電網通過小規模的線路連鎖開斷，釋放系統壓力，能夠減少大停電概率；對于蓄意攻擊，一旦無標度性強的電網中度數高的節點受損，則很可能導致大面積的停電。因此，中國華東電網承受隨機故障的能力較弱，小規模的停電事故較多，但抵御蓄意故障的能力強，大規模事故的可能性少。圖6（b）、（c）同樣說明了華東電網并非單純的規則網絡（q＝0）或鄰域演化網絡（q＝1）。圖6（a）、（d）表明改進模型比BA無標度網絡（m＝2）更好地反映中國華東電網的演化規律。

圖6 中國華東電網不同模型的度分布比較Fig.6 Degree distribution comparisons between East China power grid and different network models

4 結語

本文在鄰域演化模型的基礎上，結合電力網絡本身的發展機理，提出并研究了一種改進的電力網絡演化模型，利用平均場理論分析了該模型演化為大電網時的度分布，并以中國華東電網和美國西部電網的仿真為例，說明了改進模型的度分布與實際電網的度分布更相符。進一步，通過把該模型與鄰域演化網絡、規則網絡、BA無標度網絡的對比，驗證了實際電網既不是鄰域演化網絡，也不是完全的規則網絡，而改進模型更能反映電力網絡的演化規律。同時，仿真結果表明，中國華東電網的無標度性（q＝0.7）低于美國西部電網（q＝0.8），這意味著中國電網耐受蓄意襲擊的能力強，大規模事故發生的可能性小，但抵御小規模事故的能力弱于美國電網。該模型的提出對于進一步復雜電網的動態特性研究具有重要意義。

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