利用發電機空載特性曲線的不平衡磁拉力分析方法

徐 永，李朝暉

(華中科技大學水電與數字化工程學院，武漢 430074)

1 引言

對于水電機組軸系整體動力特性而言，不平衡磁拉力作為邊界激勵力作用于發電機轉子。過去的文獻在軸系動力特性分析中常利用單邊磁拉力公式計算不平衡磁拉力，不平衡磁拉力的作用因而被簡化為一個負剛度系數[1-5]。這種處理方式最大的優點是簡潔，在自振特性分析中能較好的反應不平衡磁拉力的影響。但由于未考慮非線性、勵磁強度及飽和效應等因素的影響，在響應分析中仍有較大的局限性[6]。

使用有限元方法求解不平衡磁拉力能考慮更多的影響因素，獲得更好的求解精度[7-10]，是研究不平衡磁拉力特性的最有力工具。然而，由于在軸系響應分析中需要反復計算不平衡磁拉力，利用有限元方法計算不平衡磁拉力因為計算量過大而難以實現。對于以軸系整體動力特性為分析目標的研究而言，采用分析方法計算不平衡磁拉力更為合適，已有許多學者對不平衡磁拉力的分析方法進行了探討。如郭丹等[11]在忽略磁飽和效應影響時，將氣隙磁導展成傅里葉序列，得到任意極對數三相電機的不平衡磁拉力分析表達式。曲鳳波[12]利用有限元方法的求解結果及不平衡磁拉力特點總結了不平衡磁拉力計算的經驗公式。Ohishi等[13]利用鐵磁材料磁化曲線，建立氣隙磁密隨勵磁電流、偏心氣隙變化的關系式，以此求解不平衡磁拉力。Perers等利用磁路計算理論逐段磁路計算求得定轉子圓周上的氣隙磁密，求解不平衡磁拉力。這都是基于電機磁回路中不同鐵磁材料的磁化特性分析不平衡磁拉力，考慮飽和效應影響，但分析過程較復雜。為此，本文提出了利用發電機空載特性曲線及磁路計算相結合的不平衡磁拉力計算方法，從綜合的角度考慮了電機中所有鐵磁材料的磁化特性，簡化了分析過程。同時，該方法能夠考慮非線性、勵磁電流及飽和效應的影響，計算結果更準確；計算時間也完全滿足軸系響應計算中對不平衡磁拉力反復更新計算的需求。

2 不平衡磁拉力的產生原理

2.1 偏心氣隙的影響

在定轉子間的氣隙與鐵磁材料交界面上，單位面積上的磁應力計算公式為

式中：μ0為空氣磁導率；Bδ為氣隙磁密。忽略鐵磁材料磁阻的影響，發電機轉子圓周上氣隙磁密Bδ的分布可表示為

式中：F為發電機氣隙的基波合成磁勢；δ為氣隙厚度。當定轉子中心存在偏心大小e，方位γ時，如圖1所示，氣隙厚度δ為空間角度α的函數，為

式中δ0為均勻氣隙厚度。在轉子圓周上對式（1）積分得不平衡磁拉力的表達式為

圖1 定轉子偏心示意圖

通常情況下，忽略凸極電機轉子主極間氣隙的不均勻，當定轉子同心時，轉子圓周上氣隙厚度處處相等，氣隙磁密相同，不同方向的磁拉力相互平衡，Fump=0；當偏心時，氣隙厚度不再均勻，圓周上氣隙磁密也不再相同，式（4）積分不再為零，于是產生不平衡磁拉力。結合式（2）、式（3）可知，氣隙厚度越小，氣隙磁密越大，從而磁應力越大，由此可判斷不平衡磁拉力的方向與偏心方向一致。

2.2 勵磁電流的影響

根據發電機內部基本電磁關系，負載工況下，氣隙磁場由勵磁電流及負載電流產生的磁場共同組成。已有多篇文獻指出，負載對不平衡磁拉力的影響不大，我們著重討論空載工況。

在空載工況下，電機中只有勵磁電流產生的勵磁磁場。根據全電流定律有[14]

式中：Nr為勵磁繞組每極匝數；If為勵磁電流；Ft為電機磁回路中鐵磁材料的磁位降（磁勢），包括定子齒段、定子軛段、磁極身段、轉子軛與磁極接縫處。由式（5）可知，勵磁電流的變化將導致氣隙磁密的變化，從而改變不平衡磁拉力的大小?？紤]鐵磁材料磁阻的影響時，即考慮飽和效應影響時，式（2）不再成立。受鐵磁材料磁化特性的影響，氣隙磁密Bδ隨勵磁電流If的變化關系曲線呈明顯的非線性，且無法通過分析的方法得到如式（2）的解析表達式。

3 不平衡磁拉力的分析計算方法

由不平衡磁拉力的產生原理可歸納出不平衡磁拉力的求解思路是：首先確定氣隙分布情況；再根據氣隙分布，確定氣隙磁密Bδ；最后利用式（4），在定轉子圓周上計算磁拉力作用，求得不平衡磁拉力。

對于表面光滑的定轉子，確定氣隙分布比較容易。以下主要討論從空載特性曲線出發，求任意勵磁電流及偏心狀態下的氣隙磁密Bδ。

發電機的銘牌參數中一般會給出空載勵磁電流的取值，即發電機空載時，端電壓為額定值時的轉子電流。而空載時，定子繞組的端電壓與感應電勢完全相等。文獻[15]指出，不論電機容量的大小和電壓的高低，標幺值表示的標準空載特性曲線都是極近似的。根據這一特點，結合標幺值表示的標準空載特性（見表1），利用插值的方法可求出該電機的空載特性曲線。

表1 同步電機標準空載特性

根據磁路計算理論，已知相電壓UΦ，可求得所需的每極磁通：

式中：f為電網頻率；Np為定子繞組每相串聯匝數；Kdp為基波繞組系數；KΦ為主極磁場波形系數（通常取1.01–1.04）。則氣隙磁密：

式中：Kλ為極弧磁通系數(通常取 0.89～0.92)；Aδ為氣隙磁通面積。利用式（6）、式（7），可得勵磁電流與氣隙磁密的關系曲線。用一N次多項式擬合此曲線，得到式（5）的多項式表達：

式中：p1，p2，…，pN為擬合多項式系數。

由分析過程可知，勵磁電流與氣隙磁密是一一對應關系，即磁路問題具有唯一解。式（5）可表示為

式中：f(Bδ)為Ft/Nr與氣隙磁密Bδ的函數關系；pg為空載特性曲線氣隙線利用式（6），式（7）轉化后的直線斜率。整理式（8）、式（9）得關于氣隙磁密Bδ的N次多項式方程：

式中的一次項系數可分為兩部分：表征鐵磁材料特性的部分p1—pg和氣隙部分(δ/δ0)pg。氣隙δ和勵磁電流If的改變使多項式方程（10）的一次項系數和常數項系數分別發生變化。求解不同δ和If時的多項式方程，得到相應條件下的氣隙磁密大小。

將整個轉子圓周等分為m段，等分點角度定義為αi= (2i–1)π/m，(i= 1, 2, …,m)。以等分點的氣隙厚度作為該段的平均氣隙厚度，利用式（10）求出相應的氣隙磁密Bδ(αi)，則各分段的磁應力為

累加所有的Pi，可得式（4）的離散計算公式：

利用式（12）可數值計算不平衡磁拉力，選擇的分段數m越大，計算結果越精確。

4 不平衡磁拉力計算實例

以葛洲壩 125MW 水輪發電機為實例，根據發電機銘牌參數，可以得到空載勵磁電流為876A，額定電壓為13800V。結合標幺值表示的標準空載特性曲線，利用插值的方法求出該發電機的空載特性曲線如圖 2所示，圖中的虛線為空載特性曲線的氣隙線。

利用式（6）、式（7）求得勵磁電流與氣隙磁密的關系曲線，如圖3所示。圖中分別標出了作用于氣隙和鐵磁材料的勵磁電流。在勵磁電流較小時，勵磁磁場較弱，此時鐵磁材料的磁導率遠遠大于空氣磁導率μ0，磁位降主要在氣隙上，鐵磁材料的磁阻可以忽略，此為非飽和狀態；隨著勵磁電流增大，勵磁磁場增強，鐵磁材料受外加磁場磁化作用磁阻逐漸增大，作用于磁回路中鐵磁材料部分的磁位降逐漸增加，此即為飽和狀態。

圖2 發電機空載特性曲線

圖3 勵磁電流與氣隙磁密的關系曲線

用多項式擬合Bδ–If，得到多項式方程（10），這里選取N=6。求解多項式方程及式（12），可以求得不同偏心和勵磁狀態下的不平衡磁拉力。圖4給出了不同勵磁電流下，不平衡磁拉力隨定轉子相對偏心量的變化規律。從圖中可看出，不同勵磁電流下，不平衡磁拉力隨定轉子偏心率的關系曲線明顯不同。在非飽和狀態下，不平衡磁拉力隨相對偏心的增加而非線性增大。隨著勵磁電流的增大，鐵磁材料飽和效應逐漸顯著。當勵磁電流過大時，不平衡磁拉力反而有所降低。其主要原因是飽和效應均化了不均勻氣隙之間的氣隙磁密差異，因而降低了不平衡磁拉力。

圖5給出了不同定轉子相對偏心下，不平衡磁拉力隨勵磁電流的變化規律。從圖中可看出，在相同的相對偏心條件下，不平衡磁拉力在非飽和狀態下隨勵磁電流增加而增大。由于飽和效應的影響，在大勵磁電流時，不平衡磁拉力隨勵磁電流的增加反而減小，這個結果與Perers給出的結果相吻合。

圖4 不同勵磁下不平衡磁拉力隨相對偏心的變化

圖5 不同相對偏心下不平衡磁拉力隨勵磁電流的變化

另外，從HOMIS系統的監測數據可以看到，勵磁電流的不同對機組振動擺度具有明顯的影響，如圖 6所示。圖中在100%勵磁下的振動擺度比50%勵磁下的振動擺度明顯偏大。這與圖5的結論吻合，同時也證實了在軸系分析時考慮勵磁電流影響的重要性。

文中算例的計算參數取值見表2。利用本文的分析方法，可以求得發電機在整個運行區域內的不平衡磁拉力。

表2 計算參數取值

5 與其他分析方法的比較

圖6 HOMIS實測勵磁電流對機組振動擺度的影響

圖7 不同勵磁電流時，各種方法計算的不平衡磁拉力隨相對偏心變化的比較

將本文的計算方法與文獻[14]的經典單邊磁拉力估算公式（方法一）及文獻[11]的分析方法（方法二），比較結果如圖7所示?？梢钥吹?，在飽和效應可以忽略時(圖7a，If= 189 A)，方法二的計算結果與本文計算結果符合較好，尤其是在小偏心情況時，計算結果非常一致。此時，方法一的計算結果小于方法二及本文方法的計算結果。在不能忽略飽和效應影響時(圖7b，If= 876 A)，本文計算結果與方法一的計算結果非常相近，只在比較高偏心時本文計算結果因為考慮飽和效應影響而略低，方法二的計算結果則明顯偏大。當勵磁電流很大時（圖7c，If=1286 A），本文計算結果顯著小于其他方法的結果，這是飽和效應均化了不均勻氣隙之間的氣隙磁密差異的結果。

從比較結果發現，在飽和效應可以忽略時，不考慮飽和效應影響的方法二與本文方法的計算結果一致。在額定運行工況下，經典的估算方法一與本文方法的計算結果一致。比較結果說明方法一與方法二在各自的適用范圍內都有比較好的計算精度。

6 結論

本文提出了利用發電機空載特性曲線計算不平衡磁拉力的方法。發電機空載特性曲線實際上是電機磁回路中所有鐵磁材料磁化特性的綜合體現。利用空載特性曲線的方法從綜合的角度考慮了電機中所有鐵磁材料的磁化特性，簡化了分析過程。并與其他不平衡磁拉力分析方法進行了比較，得到如下結論：

（1）隨著勵磁電流增大，飽和效應影響逐漸顯著。使得在不同勵磁電流下，不平衡磁拉力隨定轉子偏心之間的關系曲線形狀具有明顯的不同。當增大到一定程度時，不平衡磁拉力開始不斷減小，此結論與Perers的相同；

（2）通過與其他不平衡磁拉力分析方法的比較，發現本文的分析方法與其他分析方法在其適用范圍內都符合得很好，驗證了本文方法的有效性；

（3）現場實測數據及計算結果都證實了勵磁電流對振動擺度具有明顯的影響。在軸系動力特性分析中，利用本文的分析方法計算不平衡磁拉力，可以得到不平衡磁拉力對軸系動力特性影響的更深入認識。

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