渦判據在孔腔渦旋流動拓撲結構分析中的應用

胡子俊，張 楠，姚惠之，楊子軒

（1中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082；2清華大學工程力學系，北京 100084）

1 引 言

渦是流體運動中一種常見的現象，在湍流研究的各個領域都具有重要的研究意義和實用價值，Küchemann[1]稱其為流體運動的肌腱（the sinews and muscles of fluid motions，1965）。 在船舶工程領域，研究渦旋形式及其演化規律具有重要意義，因為阻力、噪聲、空泡等問題都和渦有密切聯系。盡管渦現象隨處可見，但人們對于渦的認識尚處于起步階段，到目前為止仍沒有人能對渦給出一個嚴格的定義。Saffman（1979）[2]認為渦是以勢流或物面為邊界的有限體積的旋轉流體，Lugt（1983）[3]則把渦稱為是一群繞公共中心旋轉的流體質點，Green（1995）[4]則說渦是渦量集中的區域，但是這些說法都是基于人們對渦的直觀認識，沒有嚴格的數學推導和證明，無法得到人們的公認，因而不能作為渦的準確定義，這就給渦的識別帶來了極大的困難。由于缺乏準確的定義，渦的識別只能從渦的性質入手，經過研究人們總結出了渦具備的三條重要的性質：

（1）渦是渦量集中的區域；

（2）渦心處的壓力極小；

（3）流體的變形可以分解為對稱部分（應變率張量）和反對稱部分（渦張量），存在渦的區域反對稱部分的貢獻占優。

基于這些認識，人們提出了各種渦的識別準則，Chong等人（1990）[5]提出了Δ判據作為識別渦的標準，Hunt等人（1988）[6]提出了 Q 判據，Hussain 等人（1993）[7]則提出了 λ2判據，這三種判據均由速度梯度張量的各個不變量組合而成，因而具有廣義的伽利略（Galilean）不變性，這一點也被認為是渦判據的一個重要標準。本文介紹了渦的各種判據及物理意義，給出了這些判據在孔腔等渦旋識別中的實際應用結果。

2 渦的識別方法

前面提到，渦是渦量集中的區域，因此自然想到用渦量的模作為渦的判據，認為渦量極大的地方是渦的中心，但是這個判據具有明顯的局限性，體現在以下兩個方面：第一、渦量極大不等于有渦存在，以層流平板邊界層為例，其渦量最大處位于壁面上，但是很明顯沒有渦存在；第二、也是關鍵的一點，不具有廣義伽利略（Galilean）不變性，其大小和坐標系的選取有關。

2.2 Q判據

其中‖‖表示張量的二范數，若Q>0則有渦存在，反之則沒有。另外Q的大小和坐標系的選取是無關的，原因在于Q可以化簡為：ji

ui,juj,i（逗號表示求空間導數）恰好是速度梯度張量的第二不變量，由于速度梯度張量具有廣義Galilean不變性，因此其第二不變量的值與坐標系的選取無關。

這樣就得到了一個滿足廣義Galilean不變性的渦判據，該判據也是目前人們廣泛使用的一種判據，但該判據也存在缺陷，表現在“渦張量對流體變形的貢獻大于應變率張量的貢獻”為一個模糊的概念，導致Q判據經常將沒有渦的區域識別成有渦的區域，也就是說Q判據是一個偏弱的判據，有時候需要輔以壓力極小的條件來對渦進行識別。

2.3 Δ判據

Chong等人于1990年提出了另一個渦判據，他們指出渦心處的速度梯度張量具有虛數特征值，并以此為依據提出了Δ判據。速度梯度張量的特征方程可以寫成：

其中q，r分別為速度梯度張量的二、三不變量。該判據是由速度梯度張量的不變量組合而成，因此具有廣義Galilean不變性，但其也具有缺陷，最主要體現在該判據雖然指出有渦的區域速度梯度張量具有虛數特征值，卻并沒有提到沒有渦的區域是否所有特征值均為實數，事實上并非如此，因此該判據也是一個偏弱的判據。如果將該判據和Q判據進行比較不難發現，由于q=2Q，因此若Q>0，則有q>0，則必然有Δ>0，所以Δ判據是比判據Q更弱的判據，目前并不常為人們使用。

2.4 λ2判據

Hussain等人于1993年從渦心處壓力極小出發推導了λ2判據。他們從N-S方程出發，

兩邊取 ?/?xj，得到：

將速度梯度張量ui,j寫成其對稱部分Sij和反對稱部分Ωij得到：

該方程的反對稱部分是我們熟悉的渦量輸運方程：

將（7）式和（8）式相減，得到方程（7）的對稱部分：

為簡單起見，忽略（9）式中左端的前兩項，也就是忽略粘性和非定常效應，得到：

方程（10）的右邊是壓力的二階導數，為一個對稱張量，如果局部壓力極小，那么pij至少有兩個正特征值，也就是說方程（10）左邊的張量至少有兩個負特征值，記（10）式左邊為S2+Ω2，并且其特征值為λ1≤λ2≤λ3，如果λ2＜0 則認為有渦存在。

由于λ2是應變率張量和渦張量組合得到的張量的特征值，所以該判據具有廣義的Galilean不變性，因此λ2的值和坐標的選取無關。前面提到的Q判據也可以用張量S2+Ω2的特征值表示如下：

可見這兩種判據有緊密的聯系卻并不等價，事實上這兩種判據各有優劣，目前都被人們廣泛使用，綜合使用能得到更好的結果。

3 渦判據的應用

3.1 二維流動

二維流動是一種流動的簡化情況，只有兩個方向的速度，這樣速度梯度張量可以簡化成一個2×2的張量，需要注意的是在使用λ2判據的時候，仍是考慮3個特征值，只是有一個特征值恒為0，情況比較簡單。下面給出一些流動計算結果的分析。

算例1：算例1是一個開有孔腔的物體的繞流問題，模型幾何與流場計算結果請見參考文獻[8]。圖1為其中縱剖面（x-y剖面）上某一時刻的流線圖，左邊為均勻來流方向，孔腔內能夠明顯的觀察到有渦存在（圖1（b）），圖2是Q=0以及λ2=0的等值線，等值線包圍的區域是渦判據得到的有渦的區域，和圖1比較不難發現，除了確實有渦的區域外，還有大量沒有渦的區域也有等值線存在，前面的分析提到目前所有的渦判據都是偏弱的判據，因此常以Q>δ或λ2＜-δ（δ為一正實數）作為渦存在的判斷標準。圖3取δ=1 000作為判斷標準，可以看到等值線集中在了孔腔的內部，而外部的勢流區域不再被錯誤地識別，為了更好地分析渦判據的識別效果，孔腔區域被放大并顯示在圖4中，該區域中的速度矢量圖也顯示在同一張圖中以便比較。圖中標有A的區域是確實有渦的區域，但是標有B的區域卻不能觀察到渦，并且無論如何增大的δ取值均無法將這些區域上的等值線去掉，這說明盡管這些判據可以識別出有渦的區域，但是也有可能對沒有渦的區域做出錯誤的判斷。評判渦判據好壞的另一個重要標準是其對渦心的識別能力，因此我們將體積最大的一個渦（圖4中虛框部分）放大，根據前面的介紹，理論上離渦心越近Q的值越大而δ的值越小，而圖5（a）中Q=3 000卻并不位于渦心處，因此就該算例而言，Q判據對渦心的識別并不成功，λ2判據的結果則稍好，在渦心附近存在λ2=-3 000的等值線。

圖 2 算例 1渦判據等值線 （a）Q=0；（b） λ2=0Fig.2 Contour lines of vortex identification of case 1(a)Q=0;(b)λ2=0

圖 3 算例 1渦判據等值線 （a）Q=1 000；（b） λ2=-1 000Fig.3 Contour lines of vortex identification of case 1(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

圖4 算例1孔腔內部渦判據等值線 （a）Q=1 000；（b） λ2=-1 000Fig.4 Contour lines of vortex identification of case 1 in cavity(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

圖5 算例1孔腔渦心附近渦判據等值線 （a）判據；（b）λ2判據，具體數值標于圖中，C為實際渦心位置Fig.5 Contour lines of vortex identification of case 1 nearby vortex center(a)Q identification;(b)λ2identification,and the numerical values are shown in the figure

3.2 三維流動

真實的流動均是三維的，因此渦判據最終要用于三維渦的識別。本節中給出了渦判據在三維流場的渦的判斷中的應用。

算例2：本算例為算例1的三維流場，為簡單起見我們只考察孔腔內的流動。圖6顯示的是Q=1 000及λ2=-1 000的等值面。從圖中可以看出，兩種判據的判斷結果基本相同，我們選取幾個特殊的截面，來觀察這些等值面包圍的區域內是否確有渦存在。第一個剖面為y=0.042，如圖7所示，從矢量圖可以看出該截面上有兩個沿y方向的渦，并且這兩個區域均被Q或λ2的等值線標示出，說明這兩種判據均成功地識別了這兩個渦。圖8顯示的是x=0.129截面上的渦判據等值線和速度矢量，兩種判據也都準確地識別了渦的位置。圖9顯示的是z=0.143截面上Q=10以及λ2=-10的等值線（Q=1 000以及λ2=-1 000的等值線不存在），從矢量圖可以看出在該截面上存在一個很大尺度的渦，但是渦判據卻無法識別這個渦，事實上渦判據對大尺度渦的識別確實存在一些困難，前人的研究發現在彎槽和旋轉槽道流動中均有大尺度的流向渦——Taylor渦存在，渦判據也無法很好地識別。

圖 6 算例 2渦判據等值線 （a）Q=1 000；（b） λ2=-1 000Fig.6 Contour lines of vortex identification of case 2(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

圖7 算例2，y=0.042截面上矢量圖及渦判據等值線 （a）Q=1 000；（b）λ2=-1 000Fig.7 The vector diagram and contours of vortex identification of case 2 on section y=0.042(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

圖8 算例2，x=0.129截面上矢量圖及渦判據等值線 （a）Q=1 000；（b）λ2=-1 000Fig.8 The vector diagram and contours of vortex identification of case 2 on section x=0.129(a)Q=1 000;(b)λ2=-1 000

4 結 論

本文主要就湍流中渦的識別進行了研究。盡管人們對渦仍沒有一個嚴格的定義，但是基于實際研究的需要，各種識別渦的判據應運而生，這其中Q判據和λ2判據被人們廣泛使用，本文即使用這兩種判據對一些實際流動問題進行了渦的識別和分析，取得了有意義的結果，主要結論如下：

（1）無論Q判據還是λ2判據，均是一個偏弱的判據，因此我們通常選用Q>δ或λ2＜δ（δ為一正實數），而不是作為渦存在的判斷標準，并且最佳的δ依賴于特征長度和特征時間，具體值的選取依賴于實際流動狀態和研究者的經驗。

（2）λ2判據對渦心的識別能力更強。

（3）某些不能觀察到渦的區域被渦判據識別為有渦的區域，如何改進渦判據將這些區域自動排除是未來一個值得研究的課題。

（4）大尺度的渦的識別是目前流體力學領域的難題，目前的渦判據雖然能夠反映一些特征，但還不夠完善，值得深入研究。

[1]Küchemann D.Report on the IUTAM symposium on concentrated vortex motion in fluids[J].J Fluid Mech,1965,21:1-20.

[2]Saffman P G,Baker G R.Vortex interactions[J].Annu.Rev.Fluid Mech,1979,11:95-122.

[3]Lugt H J.Vortex Flow in Nature and Technology[M].John Wiley&Sons,1983.

[4]Green S I.Fluid Vortices[M].Springer,1995.

[5]Chong M S,Perry A E,Cantwell B J.A general classification of three-dimensional flow fields[J].Phys.Fluids A,1990,2:765-777.

[6]Hunt J C R,Wray A A,Moin P.Eddies,stream,and convergence zones in turbulent flows[R].Center for Turbulence Research Report CTR-S88,1988:193-208.

[7]Melander M V,Hussain F.Coupling between a coherent structure and fine-scale turbulence[J].Phys.Rev.E,1993,48(4):2669-2689.

[8]張 楠.孔腔流動和流激噪聲機理及耦合計算方法研究[D].無錫:中國船舶科學研究中心,2010.

Zhang Nan.Research on mechanism and hybrid computation approach for cavity flow and flow induced noise[D].PHD Thesis,CSSRC,2010.