平板及立板式防波堤附加質量與阻尼系數研究

王 科，賀大川，張志強

（大連理工大學 工業裝備與結構分析國家重點實驗室，工程力學系，遼寧 大連116024）

1 引 言

透空式防波堤的基本設計理念是部分衰減入射波浪能量。在近海和海岸地帶設置透空式防波堤可以用于海岸侵蝕區域防護，海水養殖場區保護，同時由于該種防波堤可以允許海水自由交換，因此不會影響沿岸水質和海洋生態。這種設計理念也可以推廣應用到深海鉆井平臺的外海波浪防護中，通過在鉆井平臺外圍安裝透空式防波堤，從而避免巨大的波浪力直接作用在重要的海工結構物上，以達到節省工程造價的目的。

在深海環境下，一般水深都超過200 m，采用何種方式安裝板式防波堤并采用何種優化型式，既能達到滿意的消波效果，又能保證使用的安全性和可靠性是需要考慮的重要課題之一?？梢悦鞔_的是在深海情況下，防波堤的安置方式肯定不能采用固定方式，應采用自身動態平衡或者錨泊的方式。平板和立板型式防波堤是透空式防波堤的最基本型式，從這兩種防波堤入手可以獲得透空式結構的重要水動力響應特征參數，從而為進一步研究由平板和立板組成的復雜結構打下良好基礎。在建立透空式防波堤的水動力響應運動方程中，附加質量和阻尼系數是兩個很重要的特征參數，通過研究板式結構相對板長、潛深與附加質量和阻尼系數的相互關系，對于明確板式結構的安裝方式具有重要意義。

采用固定安裝方式的透空型式防波堤的水動力特性研究，前人已做了大量的數學推導和實驗工作（嚴以新，鄭金海，曾小川[1]；王國玉，王永學，李廣偉[2]； 王巨輪，朱承[3]；McIver[4]；Parson 和 Martin[5]；Neelamani和Reddy[6]；Yu和Chwang[7]；Usha和Gayathri[8]和王科[9]）。主要研究內容為板式結構的透射和繞射系數，波浪力等，采用的方法主要有實驗方法，解析方法，有限元法，特征值展開法等，上述方法實際上不能求解板式結構的運動問題。

附加質量和阻尼力主要是由于物體做輻射運動引起的（Newman[10]；陳宏彬，李遠林[11]；朱仁傳，郭海強，繆國平，余建偉[12]）。本文應用無限水深格林函數方法研究平板和立板的輻射問題，該方法可計算任意形狀物體的運動響應，有很高的計算精度和應用范圍。文中第二節闡述了無限水深情況下計算平板和立板的附加質量和阻尼系數的基本公式與計算方法，第三節給出了計算結果及分析，第四節對平板和立板在不同工況下的附加質量和阻尼系數進行了總結，提出了參考意見。

2 數學公式

2.1 波浪與平板相互作用的基本理論公式

如圖1所示，長為B，厚為TT的剛性薄板位于自由水面以下Hs處，波浪由右向左傳播。定義笛卡爾坐標系oxy的原點位于無擾動的自由水面，規定水平向左為x軸的正方向，垂直向上為y軸的正方向。

圖1 平板或立板計算示意圖Fig.1 Calculation sketch of horizontal or vertical plate

假設流體為無粘性、不可壓縮并且運動無旋的理想流體，物體在波浪作用下作周期性簡諧振蕩運動，則波浪與結構物相互作用問題存在速度勢Φ滿足拉普拉斯方程：

應用攝動展開法，取一階近似，當入射波為規則波時，速度勢Φ可以寫成分離出時間變量的形式，即：

φ （x,y）仍然滿足拉普拉斯方程，且同時滿足如下邊界條件：

自由表面邊界條件：

物面不可滲透條件：

水底不可滲透條件：

其中：g為重力加速度，n為物面法線方向，Vn為物體沿n方向的運動速度。

基于線性假定，空間復速度勢可以分解為三個部分：

式中：φI為入射勢，φD為繞射勢，φR為輻射勢。繞射勢和輻射勢滿足的邊界條件為：

在研究波浪與結構物相互作用的輻射問題時，若只計入流體動壓力，則場內的流體動壓力可記為如下形式：

將一階流體動壓力沿物體平均濕表面積分，即可得到物體所受的水動力，即：

式中：j=1，2，3，表示相應的運動模態，Fj為j模態運動時物體所受到的流體作用力或力矩。

基于線性假定，輻射速度勢φR可以分解為如下形式：

由公式（8）、（11），公式（10）可進一步寫為：

引入公式

則ajk為附加質量，bjk為阻尼系數。

2.2 邊界積分方程的建立及求解

對控制方程（拉普拉斯方程）應用格林公式和邊界單元方法可得到關于速度勢φ的邊界積分方程如下：

其中：φ（P）=φi，P（ x,y）為域點，Q（ ξ,η）為源點，G（ P,Q）為格林函數，C為空間角。

格林函數G（ P,Q）可取如下形式：

其中：Q′為Q點關于 x軸的對稱點，r為點P、Q（或Q′）之間的距離,μ*為波動項。

為了對邊界積分方程（14）進行求解，將模型邊界離散為一系列線性單元，即假定各物理量在單元間為線性分布，則方程（14）可寫成以下形式：

其中：[H]和[K]為系數矩陣，并且僅與計算域的邊界形狀有關。

對于公式（19）和（20）中的logr項，可以用如下方法計算（參見文獻[13]）：

其中：i表示域點P；M代表總節點個數；j1，j2代表邊界第j個單元上的局部第一個節點和第二個節點。公式（21）中的其他參數由下式確定：

如圖2所示，pi代表邊界上第i個節點；qj1和qj2代表邊界上第j個單元的局部第一節點和第二節點，ηi為局部坐標系下 pi點坐標；ξj1和 ξj2分別為 qj1和qj2點坐標。

含波動項μ*的計算參考王科、許旺[14]中的方法。

圖2 j號單元局部坐標系Fig.2 Local coordinate system of the jth boundary element

3 附加質量、阻尼系數結果分析

3.1 水面平板計算結果

在本文的圖表中：M代表106；G代表 109；k代表 103；m 代表 10-3；u 代表 10-6；n 代表 10-9。

圖3 水面平板附加質量和阻尼系數Fig.3 Added mass and damping of surface horizontal plate

3.2 水下平板計算結果

由圖4可知，對于板式防波堤而言，為保證其計算精度足夠精確，板的厚度應盡可能薄，為此在討論圖4潛深變化對板式防波堤附加質量和阻尼系數的影響時，板厚均取TT=0.005m。 由上圖可見，水下平板垂蕩附加質量和阻尼系數在K=0時沒有奇異性，而a11在K=0時趨于常值，b11=0。隨著平板逐漸接近水面附加質量和阻尼系數逐漸增大，當Hs=0.05時，附加質量在KB/2=0.2，阻尼系數在KB/2=0.3附近有極值a11=0.35，b11=0.30。在Hs=0.25時，附加質量和阻尼系數的極值逐漸減小。KB/2＞1.0時，a11→0.1，而K→∞時，b11→0。一個值得注意的現象是在平板接近自由表面時，即在Hs=0.03，Hs=0.01時，隨著KB/2的逐漸增大，垂蕩附加質量出現負值，這一現象在橫搖運動Hs=0.05，KB/2＞1.1時也能發現，這是近自由表面物體附加質量變化的重要特征。

圖4 水下平板附加質量和阻尼系數隨潛深變化Fig.4 Added mass and damping of submerged horizontal plate with submergence

3.3 板厚對平板附加質量和阻尼系數的影響

圖5為水下平板附加質量和阻尼系數隨板厚變化計算結果。由于板潛在水下，與水面平板相比水下平板上部的logr奇異性和板下部的奇異性相互抵消，在K=0時，垂蕩附加質量和阻尼系數均不含有奇異性，且附加質量在K=0時趨于0.20，阻尼系數為0。板厚在TT≤0.025 m時對垂蕩影響不大，橫蕩附加質量和阻尼系數的變化趨勢與水面平板相似，但水下平板的值較大，且阻尼系數有極值存在。橫搖附加質量和阻尼系數與水面平板相比也有極值存在，且在KB/2≥1.0時均為0，由圖5還可發現一個重要現象，橫蕩、橫搖附加質量出現負值。

圖5 水下平板附加質量和阻尼系數隨板厚變化Fig.5 Added mass and damping of submerged horizontal plate with plate thickness

3.4 水面立板計算結果

由于形狀上的差異，水面立板的附加質量和阻尼系數以橫蕩方向影響為主，橫蕩時附加質量在K=0時趨于有限值a11=0.06，在KB/2=0.4附近有極值出現。阻尼系數在K=0時為0，在KB/2=0.8附近有極值b11=0.072。圖6為隨著相對板厚增大，附加質量和阻尼系數逐漸減小，同時板厚對橫蕩運動影響有限。由于立板和水面接觸面積較小，在K=0時，垂蕩附加質量和阻尼系數均較小，TT≤0.025 m時，板厚對垂蕩運動基本沒有影響。橫搖附加質量和阻尼系數均為0。在單板的幾何形狀完全相同的情況下，由于擺放方式的不同，附加質量和阻尼系數呈現出不同的變化。

圖6 水面立板附加質量和阻尼系數隨板厚變化Fig.6 Added mass and damping of surface vertical plate with plate thickness

3.5 水下立板計算結果

由于水下立板的橫截面積與水下平板完全不同，因此水下立板的附加質量和阻尼系數在橫蕩方向變化顯著，且在不同潛深時（參見圖7），a11在KB/2=0.2附近有極值，而在KB/2=0.8前后出現相反分布，在KB/2＜0.8時，立板越接近自由表面，附加質量越大，而在KB/2>0.8時，立板越接近自由表面，附加質量越小。但與水下平板不同的是立板垂蕩附加質量未出現負值，而且在KB/2→∞時逐漸趨于定值。橫蕩阻尼系數在K=0時，b11=0，立板越接近自由表面，阻尼系數越大，對Hs=0.05而言，在KB/2=0.6時有極值0.042，而當KB/2→∞時，阻尼系數趨于0。

圖7 水下立板附加質量和阻尼系數隨潛深變化Fig.7 Added mass and damping of surface vertical plate with submergence

3.6 板厚對立板附加質量和阻尼系數的影響

與水下平板的變化類似，水下立板的垂蕩附加質量和阻尼系數在K=0時趨于定值，而橫蕩為水下立板控制運動，附加質量和阻尼系數的變化趨勢與水面立板相似，但量值較大顯示水下立板垂蕩運動對流體擾動較大。橫搖附加質量和阻尼系數的變化曲線較平滑，量值在o（10-6）范圍內。

由圖8的結果分析還可以發現，TT≤0.025 m時，附加質量和阻尼系數隨板厚變化不大，可視為定值。因此對板式防波堤這一特殊結構而言，對其水動力特性進行分析的一個重要前提是其厚度必須足夠薄，為方便以后的討論，在潛深變化對板式防波堤的計算中，板的厚度均取為TT=0.005 m。

圖8 水下立板附加質量和阻尼系數隨板厚變化Fig.8 Added mass and damping of submerged vertical plate with plate thickness

4 結論與建議

本文應用格林函數的方法對平板和立板兩種基本型式的透空式防波堤的附加質量和阻尼系數進行了系統分析。研究發現，附加質量在平板和立板無限接近自由表面時有負值出現，同時水面平板和立板在K=0處有奇性。板的厚度對計算結果的一致性影響較大，對于板式結構其計算厚度應盡可能薄，TT=0.005 m是本文計算采用的數值，結果收斂性很好，也驗證了程序有很高的計算精度，完全適用于板這種幾何形狀非常特殊的結構。

由立板和平板的計算結果還可發現，在確保板式防波堤結構消波效能特性的基礎上，其未來可能出現的新概念形式的防波堤結構應為立板和平板的組合結構，其固定方式或者錨泊系統應充分發揮立板和平板的動力響應特征，即對于在KB/2=0.2附近的波浪，應采用水下布置方式。

[1]嚴以新,鄭金海,曾小川.多層擋板樁基透空式防波堤消浪特性試驗研究[J].海洋工程,1998,16(1):67-74.

[2]王國玉,王永學,李廣偉.多層水平板透空式防波堤消浪性能試驗研究[J].大連理工大學學報,2005,45(6):865-870.

[3]王巨輪,朱 承.透空式防波堤在大窯灣工程中的應用[J].水運工程,2000,317(6):13-17.

[4]Mclver M.Diffraction of water waves by a moored,horizontal,flat plate[J].Journal of Engineering Mathematics,1985,19:297-319.

[5]Parson N F,Martin P A.Scattering of water waves by submerged plate using hyper-singular integral equations[J].Applied Ocean Research,1992,14:313-321.

[6]Neelamani S,Reddy M S.Wave transmission and reflection characteristics of a rigid surface and submerged horizontal plate[J].Ocean Eng,1992,19:327-341.

[7]Yu X,Chwang A T.Analysis of wave scattering by submerged circular disk[J].J Engng Mech,1993,119:1804-1817.

[8]Usha R,Gayathri T.Wave motion over a twin-plate breakwater[J].Ocean Engineering,2005,32:1054-1072.

[9]王 科.潛式水平板型防波堤消波效果研究[D].大連:大連理工大學,2001.

[10]Newman J N.Marine Hydrodynamics[M].Cambridge:MIT Press,1977.

[11]陳宏彬,李遠林.用源分布法求解淺水中二維任意剖面在自由表面上垂蕩的附加質量和阻尼系數[J].船舶工程,1997,3:8-11.

[12]朱仁傳,郭海強,繆國平,余建偉.一種基于CFD理論船舶附加質量與阻尼力的計算方法[J].上海交通大學學報,2009,43(2):198-203.

[13]Lu C H,He Y S,Wu G X.Coupled analysis of nonlinear interaction between fluid and structure during impact[J].Journal of Fluids and Structures,2000,14(1):127-146.

[14]王 科,許 旺.平板及立板型式防波堤透射系數及反射系數研究[J].船舶力學,2010,14(5):487-494.

Wang Ke,Xu Wang.Transmissivity and reflectivity for breakwater of horizontal or vertical plate type[J].Journal of Ship Mechanics,2010,14(5):487-494.