過程性：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的應(yīng)然之道

宋煜陽

如何有效積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀抗P者以為，不論是經(jīng)驗(yàn)的生成還是積累的進(jìn)化，都需要以“過程性”為保障。這里所說的“過程性”，有兩層含義：一是周期性，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累需要一定的時(shí)間為周期，并非一兩節(jié)課或一兩次活動(dòng)就可以積聚；二是階段性，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也應(yīng)像知識(shí)體系學(xué)習(xí)般螺旋上升，需要構(gòu)建活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)序列加以統(tǒng)領(lǐng)。筆者結(jié)合“等積變形”問題的分析，就如何從過程性的視角來積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)談?wù)勛约旱拇譁\認(rèn)識(shí)。

一、問題現(xiàn)象

在“長方體和正方體”單元學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生會(huì)被“在一個(gè)長50厘米、寬40厘米、高30厘米的長方體玻璃缸中，水深20厘米，如果把一塊棱長為10厘米的正方體鐵塊浸沒于玻璃缸中，現(xiàn)在玻璃缸內(nèi)水深多少厘米？”之類等積變形的問題所糾結(jié)。

多數(shù)學(xué)生第一次面對(duì)這類問題，存有很大困難。這時(shí)，教師通常組織分析講解，主要采用兩種方式：一種是回憶描述講解，組織學(xué)生回憶“烏鴉喝水”故事（該素材在人教版教材中是作為“體積”概念教學(xué)引入），然后組織學(xué)生討論“正方體鐵塊放下去，水面為什么會(huì)升高？”揭示“水面升高部分的體積就是正方體鐵塊的體積”；另一種是直觀演示講解，提供玻璃缸實(shí)物結(jié)合題意進(jìn)行直觀演示，討論講解揭示“水面升高部分的體積就是正方體鐵塊的體積”。實(shí)際教學(xué)顯示，第二種講解方式效果略好于第一種，但仍有不少學(xué)生無法真正理解“等積變形”。

二、分析改進(jìn)

這表明，等積變形的問題不是靠教師“講”清楚就能解決，更有賴于學(xué)生內(nèi)化的經(jīng)驗(yàn)“悟”明白。在上述兩種講解方式中，第二種直觀演示講解能夠幫助學(xué)生獲得經(jīng)驗(yàn)，不過此時(shí)獲得的是一種替代性經(jīng)驗(yàn)，不是直接經(jīng)驗(yàn)。在實(shí)際教學(xué)中，由于教學(xué)時(shí)間所限，設(shè)計(jì)具有意義的活動(dòng)讓學(xué)生獲得替代性經(jīng)驗(yàn)是非常必要的，也是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)常見的方法。值得我們思考的是，為什么教師直觀演示、思考討論、講解點(diǎn)撥都具備了，學(xué)生還不能真正理解、有效建立起經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀窟@需要沿著“學(xué)習(xí)困難—學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)—學(xué)習(xí)活動(dòng)”的路徑進(jìn)行分析，即需要分析“學(xué)生學(xué)習(xí)的真正困難是什么，是什么經(jīng)驗(yàn)的缺失產(chǎn)生了學(xué)習(xí)困難，要積累此項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)需要開展怎樣的活動(dòng)，活動(dòng)的內(nèi)容、時(shí)機(jī)、頻次、方式有什么要求”等一系列問題。

回到“等積變形”具體問題，筆者在訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主要疑點(diǎn)集中于兩個(gè)問題：①10×10×10=1000（立方厘米）是正方體的體積，怎么可以用它去除以50×40這個(gè)長方體的底面積呢？②鐵塊是固態(tài)的，怎么變成了液態(tài)的水呢？

學(xué)生產(chǎn)生這兩個(gè)疑惑很正常。因?yàn)樵谙惹绑w積學(xué)習(xí)中，只有長方體體積除以長方體的底面積才是高（水深），現(xiàn)在怎么可以用另一個(gè)物體（正方體鐵塊）的體積來除以長方體的底面積呢？這就產(chǎn)生了第一個(gè)疑點(diǎn)。第二個(gè)疑點(diǎn)，指向了較為復(fù)雜的替換，涉及了“正方體體積替換為等體積的長方體（水升高所形成的長方體部分）”“物體的固態(tài)（鐵塊）向液態(tài)（水）進(jìn)行替換”兩個(gè)跨度的替換；而要理解這些替換，需要從固態(tài)、液態(tài)同一性質(zhì)材料相互替換（如長方體鐵塊鍛造為正方體，長方體容器內(nèi)的水倒入正方體容器）為基礎(chǔ)，積累“體積不變，形狀（表面積）變了”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

問題在于，在這個(gè)替換的經(jīng)驗(yàn)積累進(jìn)程中，教師又安排了哪些跟進(jìn)的活動(dòng)呢？據(jù)筆者了解，在本單元教學(xué)中，多數(shù)教師只在“體積”概念教學(xué)中安排了一次演示活動(dòng)（實(shí)物演示或課件演示），有的甚至連課件演示也沒有安排。在“體積”概念中，學(xué)生對(duì)“空間”一詞是很難理解的，實(shí)際教學(xué)確實(shí)如此。在“烏鴉喝水”演示活動(dòng)中，學(xué)生能夠體會(huì)到（也有一些學(xué)生積累了相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)）“水”被“石子”壓擠上來的空間，但僅憑此時(shí)的直觀演示學(xué)生是無法建立起“壓擠上來的空間等同于石子的體積”的經(jīng)驗(yàn)。另外，從“所擠占的空間”的外延來看，可以是用石子擠占，也可以是等體積的其他形態(tài)材料（如液態(tài)的水，固態(tài)的沙子）進(jìn)行擠占，只有當(dāng)學(xué)生悟到“不管什么材料、什么形態(tài)，只要是等體積，就可以擠占同樣大小的空間”，才有助于等積變形的本質(zhì)理解。從這個(gè)角度分析，一兩次的直觀演示活動(dòng)，是無法支撐起相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)的。

實(shí)踐表明，關(guān)于等積變形問題要關(guān)注以下兩個(gè)時(shí)機(jī)的活動(dòng)開展（見附表）。

三、衍生思考

在數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累中，教師們更為關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與開展。但就過程性經(jīng)驗(yàn)積累而言，筆者更愿強(qiáng)調(diào)一種整體架構(gòu)的視野。如果不能從單元、學(xué)段統(tǒng)領(lǐng)的視角來規(guī)劃、建立數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)序列，數(shù)學(xué)活動(dòng)就有可能是零星的、斷層的，就會(huì)產(chǎn)生因基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積淀不到位而造成學(xué)習(xí)困難。

例如，“最少用（）個(gè)小正方體可以拼搭成一個(gè)較大的正方體”是學(xué)生在一年級(jí)下冊(cè)“立體圖形拼組”單元學(xué)習(xí)中遭遇的，到了五年級(jí)長正方體體積學(xué)習(xí)后再次面對(duì)同樣的問題，仍然有部分學(xué)生犯一年級(jí)時(shí)的低級(jí)錯(cuò)誤。這個(gè)現(xiàn)象至少表明一部分學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)并沒有隨著年級(jí)的升高而得到積累。為什么沒有得到積累呢？就是因?yàn)樵陂L達(dá)四年跨度的學(xué)習(xí)期間，除了一年級(jí)下冊(cè)開展過操作拼搭活動(dòng)外就不曾碰過類似的活動(dòng)，整體架構(gòu)的意識(shí)缺乏整整耽誤了學(xué)生四年的積累時(shí)間。

因此，在數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，教師要練就一雙慧眼，善于根據(jù)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)瞻前顧后、追本溯源編制活動(dòng)序列。例如正反比例概念教學(xué)中的數(shù)據(jù)觀察經(jīng)驗(yàn)可以追溯到中年級(jí)積、商的變化規(guī)律，甚至追溯到低年級(jí)的乘法口訣學(xué)習(xí)觀察。

（作者單位：浙江省奉化市教師進(jìn)修學(xué)校 責(zé)任編輯：王彬）