機械功率對電力系統穩定性的影響

邵明珠 羅詩裕

(東莞理工學院 電子工程學院，廣東東莞 523808)

機械功率對電力系統穩定性的影響

邵明珠 羅詩裕

(東莞理工學院 電子工程學院，廣東東莞 523808)

從擺方程出發，借助能量法和相平面分析方法對電力系統的穩定性進行討論。結果表明，當機械功率比較小的時候，系統的穩定性不受影響;當機械功率比較大時系統的不穩定性開始凸現，機械功率越大系統越不穩定。當機械功率等于電磁功率時，系統處于臨界狀態。系統的臨界狀態與系統參數有關，只需適當調節這些參數就可以保證系統是穩定的。

電力系統;穩定性;擺方程;能量法;相平面分析法

電力系統是一個典型的動力學系統，它的動態行為包含了復雜的非線性。電力系統的混沌振蕩、頻率崩潰和電壓崩潰是導致電網事故的三大主要原因。1966年，美國西北、西南兩大電網互聯后不久，就曾發生過1分鐘內出現6次“從未見過的”振蕩現象，導致兩系統解列。1996年，我國華北電網也曾發生過1分44秒內的嚴重振蕩現象，導致入京電網與地方電網解列，造成了嚴重的“5.28”華北電網事故。可見，電力系統的穩定性問題是工程和技術十分關注的問題。

系統動力學理論指出，對于弱周期擾動情形，可建立二維Poincare映射。如果一個平面映射存在Smale馬蹄，這個映射就具有反映混沌屬性的不變集，系統就會出現Smale馬蹄變換意義下的混沌行為，而Melnikov方法則是判定這類系統是否具有Smale馬蹄變換的一種解析方法。如果系統還存在一族周期軌道，則Melnikov方法還可以用來判斷次諧分叉軌道是否存在及其軌道的穩定性。文獻 ［1－5］就用Melnikov方法分析了系統的分叉與Smale馬蹄混沌行為。

電磁功率對系統穩定性影響問題是一個值得關注的問題，以前的工作大都是將它作為系統參數之一進行討論。這種分析的特點是從全局出發對系統的穩定性進行分析。換句話說，這種分析是將系統參數做為“整體”(集合)，并從系統穩定性出發，對這些參數的相對大小進行估計。本文企圖從局部出發，把機械功率從參數集合中抽出來單獨進行分析，特別是對系統穩定性的影響進行分析。也許，只有當人們從“整體”和“個別”出發對系統的穩定性進行分析后才可能對動力學系統有一個全面認識。

基于簡單互聯的電力系統模型，人們已把電力系統運行的工程技術問題轉化為具有阻尼項、受迫項和固定力矩的“擺動”問題。在本文中，我們暫不考慮系統的阻尼項和受迫項，只討論機械功率對系統穩定運行的影響。這時，描述系統的動力學方程退化為具有外力矩的擺方程，機械功率對電力系統的影響就等效于外力矩對擺動影響。本文就從這個具有外力矩的擺方程出發，借助能量法和相平面分析方法對電力系統的穩定性進行討論。結果表明，當機械功率比較小的時候，系統的基本特征由無擾動系統決定，小的機械功率只導致相平面特征的微小變化，系統的穩定性不受影響;當機械功率比較大時系統的不穩定性開始凸現，機械功率越大系統越不穩定。當機械功率等于電磁功率時，系統處于臨界狀態。系統的臨界狀態與系統參數有關，只需適當調節這些參數就可以保證系統是穩定的。

1 運動方程

涉及電力系統的一個重要問題就是它的物理模型問題。人們在不同的近似下提出了不同的物理模型對它進行了描述，其中簡單互聯的電力系統模型是一個用得最多、最廣泛的物理模型。從這個模型出

發，可導出相角ξ滿足的動力學方程

其中

而

Pm是發電機的機械功率，Ps是發電機的電磁功率，H是發電機等效轉動慣量，δ0是平衡相位。其他參數的意義見文獻 ［6－7］。如果不考慮系統的阻尼項和受迫項影響，方程 (1)可化為

系統 (4)的Hamiltonian由公式 (5)給出

其中ξs=arcsin σ。下面分別對σ=0和σ≠0兩種情況進行討論。

2 無擾動系統的相平面特征

對于無擾動 (σ=0)系統，方程 (4)化為

或等價系統

系統 (7)有一個穩定固定點(ξ，ζ)SEP=(0，0)和兩個不穩定固定點(ξ，ζ)UFP=(±π，0)，且存在如下形式的運動積分

根據h的大小，相平面上的軌道可分為三類。

1)h=2。h=2的軌道是異宿軌道，且可將它表示為

其中±號分別對應上、下相平面的兩條異宿軌道，這兩條軌道把相平面分為內外兩個區域。系統沿這條軌道運動的周期Ts為無窮。

2)0＜h＜2。當0＜h＜2時，軌道是周期的，描寫的是系統圍繞平衡位置的周期運動，相應的解可表示為

其中k=h/2是橢園函數的模，k∈(0，1)，snτ和cnτ是Jacobian橢園函數。系統沿這條軌道的運動周期

K(κ)是第一類橢園積分。當h單調增加時，系統的周期T0從2π增加到無窮。

3)h＞2。當h＞2時，軌道也是周期的，描寫了系統圍繞不穩定平衡位置的周期運動，且可用Jacobian橢園函數表示為

式中κ'是橢園函數的補模，dnτ為Jacobian橢園函數。振動周期由

給出，當h單調減少時，周期Tr由零增加到無窮。

3 系統的穩定性

3.1 能量法

如果σ是一個小量，系統的穩定性可以用能量法進行分析。由于σ是一小量，系統的相平面特征與無擾動系統基本一樣。考慮到擾動效應，系統的解可近似地表示為

其中O(σ)表示與σ同階的小量。從物理上考慮，擾動結果相當于外力矩作用使系統能量增加所作的功。而外力矩作功可以表示為

積分上下限表示外力矩作用區域。將式 (9)，(10)和 (11)代入上式，完成積分可分別得到

可以看出，由于外力矩作用，系統的能量增加了Wi(i=1，2，3)。于是，系統的能量積分 (8)發生了相應變化，由式 (14)，(15)，(16)還可具體表示為

比較式 (17)和 (8)可以看出，由于外力矩作用，系統的相平面特征發生了變化。方程 (17)描寫的是相柱面上哪類軌道決定于h+W2和h+W3的值。當h+W2＜2+W3時，系統仍然是穩定的。

根據劉維定理，對于保守系統，相面積保持不變。由于外力矩的作用，系統的相面積將發生變化。力矩引起的相面積變化可表示為

其中s0是外力矩為零時系統的相面積，s是外力矩不為零時系統的相面積。假設粒子的相空間密度是均勻的，穩定系數可定義為

對于振蕩型周期軌道 (10)，相面積大小由異宿軌道 (9)包含的相面積決定，且可具體表示為

其中E(κ，φ)和F(κ，φ)分別是第二類和第一類橢圓函數，而

對式 (20)微分，并代入式 (19)，可得系統的穩定系數

其中Δh=W2由式 (15)給出。

3.2 相平面分析方法

如果σ不是小量，系統的穩定性可借助相平面分析方法進行討論。假設相平面上相點的分布是均勻的，系統的穩定性則由相面積決定，面積越大系統越穩定。為此，需首先求出σ=0對性σ≠0情況下系統的相面積。引入作用量

將式 (10)代入，并完成積分，可得

當σ≠0時，系統 (6)有一個穩定固定點(ξ，ζ)SFP=(ξs，0)和一個不穩定固定點(ξ，ζ)UFP=(π－ξs，0)。分支線 (同宿軌道)的Hamiltonian值為

而分支線的相軌跡可表示為H=Hsx或

分支線有兩個零點ξu和π－ξs，其中ξu由方程 (28)給出。

圖1給出了σ=0;0．2;0．4;0．6;0．8;1等情況下的分支軌道。對應于σ=0的分支軌道是異宿軌道。

圖1 從外到內σ=0;0.2;0.4;0.6;0.8;1時系統的相平面特征

對應于σ≠0的分支軌道是同宿軌道。同宿軌道包圍的面積 (如圖1所示α－形區域)由公式 (29)給出

其中α(ξs)是ξs≠0和ξs=0時分支線包圍的面積比α(ξs)=Aα/Ao，并可表示為下列積分

且可近似由公式 (31)給出。

式 (25)和 (29)分別給出了異宿軌道和同宿軌道包圍的面積，而系統的穩定性正好由公式 (31)決定。

分析表明，當σ=1時，系統處于臨界狀態。由式 (2)可知σ=Pm/Ps，臨界條件σ=1給出了

上面的分析表明，當機械功率比較大時系統的不穩定性開始凸現，機械功率越大系統越不穩定。當機械功率等于電磁功率時，系統處于臨界狀態。

4 結論

機械功率對系統穩定性影響問題是一個值得關注的問題，以前的工作大都是將它作為系統參數之一進行討論，本文把它從參數集合中抽出來單獨進行分析。描述電力系統的動力學方程是一個包含了阻尼項、受迫項和固定力矩的廣義擺方程。本文討論了機械功率 (固定力矩)對系統穩定運行的影響。描述系統的動力學方程是一個為具有外力矩的擺方程，機械功率對電力系統的影響就等效于外力矩對擺動系統的影響。利用能量法和相平面分析方法對電力系統的穩定性進行了討論。結果表明，當機械功率比較小的時候，系統的基本特征由無擾動系統決定，小的機械功率只導致相平面特征的微小變化，系統的穩定性不受影響;當機械功率比較大時系統的不穩定性開始凸現，機械功率越大系統越不穩定。當機械功率等于電磁功率時，系統處于臨界狀態。系統的臨界狀態與系統參數有關，只需適當調節這些參數就可以保證系統是穩定的。

［1］王寶華，楊成梧，張強．電力系統分叉與混沌研究綜述［J］．電工技術學報，2005，20(7)：1－10．

［2］張強．電力系統非線性振蕩研究［J］．電力自動化設備，2002，22(5)：17－19．

［3］羅曉華．簡單互聯電力系統的相平面特征與混沌振蕩［J］．東莞理工學院學報，2008，15(1)：35－37．

［4］張衛東，張偉年．電力系統混沌振蕩的參數分析［J］．電網技術，2000，24(12)：17－20．

［5］羅詩裕，邵明珠，劉曾榮，等．彎晶溝道的混沌行為［J］．物理學報，1988，37(8)：1394－1399．

［6］邵明珠，羅詩裕．簡單互聯電力系統的全局分叉與混沌行為［J］．東莞理工學院學報，2009，16(5)：17－22．

［7］邵明珠，羅詩裕．二階非線性對簡單互聯電力系統穩定性的影響［J］．東莞理工學院學報，2011，18(1)：51－54．

The Impact of Mechanical Power on Power System Stability

SHAO Ming-zhu LUO Shi-yu
(College of Electronic Engineering，Dongguan University of Technology，Dongguan 523808，China)

The paper discussed the stability of power systems by using the energy method and phase plane analysis method from the pendulum equation．The results show that when the mechanical power is relatively small，the stability of the system is not affected;when mechanical power is large，the instability of the system has become distinct，and the larger mechanical power is，the more instability．When mechanical power is equal to the electromagnetic power，the system is in critical condition．The critical condition of the systems is related to system parameters，just adjusting appropriately these parameters so as to ensure stabilities of the system．

power system;stability;pendulum equantion;energy method;analyseis method of phase plane

TM 712;O415.5

A

1009－0312(2012)01－0039－05

2011－04－26

邵明珠 (1942—)，女，浙江寧波人，教授，主要從事電粒子與物質相互作用研究。