譜函數(shù)的漸近表達(dá)式

崔慶岳

(廣州城建職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，廣州 510925)

譜函數(shù)的漸近表達(dá)式

崔慶岳

(廣州城建職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，廣州 510925)

一端奇異Sturm-Liouville方程在滿足Neumann邊條件下相對應(yīng)的譜函數(shù)的一種漸近表達(dá)形式，其中方程在奇異點(diǎn)屬于極限點(diǎn)型．

Sturm-Liouville方程;譜函數(shù);漸近表達(dá)式;極限點(diǎn)型

1 概述及預(yù)備知識(shí)

考慮當(dāng)λ=u()＞0的微分方程

滿足初始條件

的解φx，()u，其中參變量q∈L0，()∞。由常數(shù)變易法可得方程的解，如下所示

其中u=s2。如文獻(xiàn)［1］所示，當(dāng)q∈L 0，()∞時(shí)，存在函數(shù)()a u和()b u使得

成立。其中()a u和()b u是與變量x線性無關(guān)的函數(shù)，并且當(dāng)x→∞時(shí)，Φ x，()u→0。Coddington在文［2］中證明了譜函數(shù)可以通過函數(shù) ()a u和 ()b u來表示，即

因此，當(dāng)u→∞時(shí)，確定方程(1)的解φ x，()u的漸近形式，近而求出函數(shù)()a u和()b u的表達(dá)式，然后再利用上式求得譜函數(shù)的漸近表達(dá)式。

引理1［3］設(shè)()ρ λ為譜函數(shù)，λ1，λ2為它的任兩個(gè)連續(xù)點(diǎn)，M()λ為對應(yīng)的Weyl函數(shù)，則

2 譜函數(shù)的漸近表達(dá)式

一端奇異Sturm-Liouville方程

滿足初始條件

其中()q x在區(qū)間0，[)∞上為局部可積的實(shí)函數(shù)，α為實(shí)數(shù)。

即為方程 (6)的Neumann邊條件。

主要討論一端奇異Sturm-Liouville方程 (6)在滿足Neumann邊條件下，當(dāng)參變量q滿足一定條件及u→∞時(shí)譜函數(shù)的一種漸近表達(dá)形式，其中方程 (6)在奇異點(diǎn)∞屬于極限點(diǎn)型。

首先，討論當(dāng)u→∞時(shí)函數(shù) ()a u和 ()b u的漸近表達(dá)式，近而推得譜函數(shù)的漸近形式。

為了將上式展開，下面在區(qū)間0，[)∞上引入函數(shù)列Bk()x，設(shè)B1()x=－1，

其中j≥0，當(dāng)j為偶數(shù)時(shí)，δ=0;當(dāng)j為奇數(shù)時(shí)，δ=1。［·］表示取其整數(shù)部分。并且

由 (10)式和 (11)式可得

其中

由(12)式可得

和

都屬于空間L 0，()∞。

由上述引理可知，存在 (17)式和 (18)式的一個(gè)序列

使得當(dāng)x→∞時(shí)，上述函數(shù)列都可以表示成o()1，則 (10)式有下列表示形式

因此，結(jié)合 (11)式和 (14)－(16)式可得

下面的定理將給出方程解φ x，()u的另外一種漸近表達(dá)形式，從而把(4)式和(5)式聯(lián)系起來。

其中

并且當(dāng)0≤x＜∞和s≥s0＞0時(shí)，KN是與參變量x和s線性無關(guān)的常數(shù)。

證明 由(9)式可得

將(22)式代入到(9)式中的積分項(xiàng)，并進(jìn)行整理可得

將(23)式展開，并且由(10)式和(11)式可得

因此，再對 (24)式進(jìn)行重復(fù)迭代N－1次就可得 (20)式。下面重點(diǎn)給出 (21)式的證明。設(shè)SN()x和CN()x分別表示 (20)式中函數(shù)sin sx和cos sx前的函數(shù)項(xiàng)，即

由 (9)式可得，S0()x=0，C0()x=－1，再由Cronwall不等式［1］可得

令

因此，

這就證明了當(dāng)N=0時(shí)的情形。下面假設(shè)N－1次展開式 (20)和不等式 (21)均成立，證明N次展開式和不等式也成立。將N－1次展開的 (20)式代入到 (9)式中的積分項(xiàng)，并進(jìn)行整理可得

首先，對 (29)式的最后一項(xiàng)進(jìn)行漸近估計(jì)可得顯然上式符合 (21)式的估計(jì)形式，并且構(gòu)成KN的一部分。下面考慮 (29)式的第二項(xiàng)，因?yàn)樯鲜降忍?hào)右側(cè)第一項(xiàng)可歸為SN進(jìn)行估計(jì)，對上式等號(hào)右側(cè)的第二項(xiàng)進(jìn)行N－2k次分部積分并取最后一個(gè)積分項(xiàng)，即含s－N( )由此可知，下面不等式成立+1的系數(shù)項(xiàng)，表示如下再根據(jù) (11)式和引理1可得，上式是收斂的。因此可得，其估計(jì)式也符合 (21)式，同樣構(gòu)成KN的一部分。利用相同的方法，可證得包含SN－1的積分項(xiàng)也符合估計(jì)式 (21)。因此可證得，對于所有的x∈0，[)∞和s≥s0≥0都有(21)式成立。

定理3 假設(shè)qN( )－1在區(qū)間0，[)∞是局部絕對連續(xù)的，并且q()v∈L 0，()∞，其中0≤v≤N(N是

正整數(shù))，則當(dāng)u→∞時(shí)，

證明 由于 (4)式和 (20)式是方程 (6)的解的兩種不同表達(dá)形式。因此，對于任意固定的s，令 (4)式和 (20)式相等，即

成立，在此［·］表示取整數(shù)部分。

證明 由定理3可得

對(36)式進(jìn)行整理可得

其中dk是常數(shù)，特別的，由 (19)式和 (37)式可得

其中d'k為常數(shù)，對 (39)式進(jìn)行積分可得

因此證得定理成立。

［1］Titchmarsh E C．Eigenfunctions Expansions Associated With Second Order Diffetential Equations：vol I［M］．2nd ed．London：Oxford Univ Press，1962．

［2］Coddington E A，Levinson N．On the nature of the spectrum of singular，second order linear differential equations［J］．Canad J Math，1951(3)：335－338．

［3］曹之江．常微分算子［M］．上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1987．

［4］Coddington E A，Lvinson N．Theory of Ordinary Differential Equations［M］．New York：McGraw-Hill，1955．

［5］Eastham M S P．The asymptotic nature of spectral functions in Sturm-Liouville problems with continuous spectrum［J］．J Math Analysis Appl 1997，213：573－582．

The Asymptotic Expression of the Spectral Function

CUI Qing-yue
(Guangzhou City Construction College，Guangzhou 510925，China)

The asymptotic expression form of the spectral function correspond to the Sturm-Liouville equation which satisfy Neumann boundary conditions at one singular endpoint．

Sturm-Liouville equations;spectra function;asymptotic expression;limit point

O175.3

A

1009－0312(2012)01－0019－05

2011－04－20

崔慶岳 (1984—)，男，山東濟(jì)寧人，碩士，主要從事微分算子及其譜分析研究。