行人激勵作用下室內旋轉鋼樓梯振動分析

周 彬，任曉崧，呂西林

(同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

室內旋轉鋼樓梯具有優美的外觀，可豐富建筑形態，故其被廣泛應用于各類建筑中。為了滿足建筑要求該類樓梯經常使用輕型材料并采用新穎的結構體系。該類樓梯一般屬于空間受力體系(圖1)，人行走過程中易造成振動，這類振動小則引起人員的不舒適感，大則引起結構共振，影響安全使用，我國現行的相關設計規范對該類結構僅規定進行強度和變形兩方面的驗算，未考慮行人在行走過程中引起的振動影響。

圖1 某建筑內室內旋轉鋼樓梯Fig.1 Example of indoor spiral steel stair

1 振動分析

1.1 單人激勵荷載模型

與人在平地上的行走過程不同，上樓梯時行人的走動過程首先是腳掌先接觸臺階，當再次抬起時腳跟短暫的著地，并利用腳尖推動向上，而跑動過程基本只有腳掌著地。下樓梯時行人在走動過程首先是腳掌接觸臺階，在再次利用腳尖抬起向前之前腳跟短暫著地。而跑動過程基本只有腳掌著地。

人員在平地上行走與在樓梯上行走的作用力時程曲線是不同的，根據國外研究資料［1］，行人在樓梯上運動的典型落足曲線見圖2、圖3;典型的步頻值見表1;典型的諧波幅值分布見圖4。

表1 行人在上下樓梯中運動狀態的步頻值Tab.1 The footfall rate of ascending or descending a staircase

圖2 人上樓梯時典型落足曲線(豎向)Fig.2 Typical footfall trace for ascending(vertical)

圖3 人下樓梯時典型落足曲線(豎向)Fig.3 Typical footfall trace for descending(vertical)

圖4 行人樓梯上運動典型諧波幅值Fig.4 Typical harmonic value of different movement on a staircase

參考人在平地上步行激勵力的傅里葉級數表達式［2－3］，本文建議樓梯上運動的單人激勵荷載模型的傅里葉級數表達如下:

式中:Fw(t)為行人在樓梯上走動激勵，Fr(t)為行人在樓梯上跑動激勵。G為人的體重，t為時間，fw和fr為行走和跑動的步頻，αwi，αri分別為走動和跑動的第i階動載因子，為諧波幅值與人體重之比，φwi，φri分別為走動與跑動的第i階諧波相位角。對于跑動的動載因子，由于一階諧波動載因子最大，而高階諧波的動載因子迅速減少，故在室內旋轉鋼樓梯的振動分析中，建議只需考慮跑動中的一階諧波的動載因子，αr1=0.9。而走動過程中前三階諧波動載因子均占有一定比例，故建議考慮走動過程中的前三階諧波的動載因子，αw1=0.5，αw2=0.2，αw2=0.1。

1.2 人群激勵荷載模型

人群在樓梯上行走時，由于每個人的步頻、行走方式、起步相位和位置等條件不同，對結構的激勵力有相互抵消作用，本文認為人群激勵作用可以分解為若干相互獨立的單人激勵作用。

單人激勵作用對一特定結構的影響主要取決于如下一些因素:人在結構上所處的位置;人的行走步頻;起步的相位;步幅長度;行人的體重等。這些都是滿足一定概率分布的隨機變量，其中人所處的位置、起步相位是符合均勻分布的隨機變量;步頻、行人體重等是符合正態分布的隨機變量。可以按照這些因素各自滿足的分布規律，隨機生成這些變量，就可以構造出若干單人激勵作用從而形成人群激勵。對于一有n個人的人群，可以根據該辦法，隨機生成n個單人激勵作用。利用該人群激勵作用，對結構進行時程響應分析。

單人激勵的隨機變量的概率分布規律如下:

(1)人在結構上所處的位置

對一跨度為L的結構，一般情況下人在其上所處的位置是均勻等概率的，因此在計算中取人所處的初始位置為在區間［0，L］上符合均勻分布的隨機變量。

(2)行走步頻

人的行走步頻可以認為是近似符合正態分布的［2－3］，本文認為行人在樓梯上行走的步頻平均值為2.0 Hz，方差為0.2 Hz;行人在樓梯上跑動的步頻平均值為 4.0 Hz，方差為 0.5 Hz;

(3)起步相位

人在結構上行走時，起步的時刻沒有一個共同的約定，可以取起步相位為［0，π］上的均勻分布隨機變量。

(4)步幅長度

樓梯上人行走的步幅與平地行走不同。在樓梯運動中，走動的步幅一般為1階臺階長，跑動的步幅一般為1－3階臺階長。

(5)人體重量

人的體重與性別，身高等具有相關性，本文中單人的體重均值取為700 N，方差為20 N。

1.3 振動分析工況

針對該類樓梯，振動分析的主要目的是了解該樓梯在人行過程中的振動特點及人群作用下的振動情況。故本文提出三個分析工況，見表2。

人群密度的選擇本文參考人行天橋相關資料［4］，并考慮樓梯的實際情況，即樓梯為存在一定傾斜角度的結構，人員密度較人行天橋小，故本文提出的室內旋轉鋼樓梯的人群分布密度水平，見表3。分析工況3(人群激勵作用下的結構響應)中可根據樓梯的面積及表3的人群密度水平確定人群人數。

表2 振動分析工況表Tab.2 Different condition of vibration analysis

表3 樓梯人群分布情況Tab.3 Distribution of pedestrians on a staircase

1.4 人群激勵作用下的振動分析

由于旋轉樓梯屬于空間結構體系，故對其振動分析需要建立三維空間模型。主要振動分析過程為:

(1)建立三維空間模型;

(2)根據表3人群分布密度確定人群人數N，同時根據人群密度水平確定該人群在樓梯上行動的模式;

(3)根據步頻、相位等概率分布特點構造N個單人激勵作用;

(4)將構造的N個單人激勵作用荷載隨機分布在模型上。單個上下踏步時間為Tp，計算時間步長為Δt=0.1Tp，Tp=1/fp，T=T+ Δt

(5)當T=nTP時，根據初始確定的行動特點，即上或下樓梯，重新對N個單人激勵作用進行位置分布，再進行計算。流程見圖5。

圖5 振動分析流程圖Fig.5 The flow chart of vibration analysis

2 實例分析

某室內360°橢圓形鋼旋轉樓梯為了美觀要求，出挑長度大(橢圓長軸達13.16 m，短軸為4.22 m)。該樓梯的主要受力構件為一根通長的鋼箱梁，梯梁、踏板及欄桿等都安裝于鋼箱梁上，見圖6。該樓梯安裝完成后，在使用過程中易發生振動而引起人員的不舒適，已影響樓梯的正常使用。本文對該樓梯進行強度及變形的驗算，同時進行了模擬單人及人群激勵作用下的振動數值分析及現場振動測試。

圖6 某室內旋轉鋼樓梯示意圖Fig.6 Diagram of the indoor spiral steel stair

采用ANSYS軟件根據本文提出的分析流程編寫分析程序。鋼梁采用梁單元模擬，彈性模量取2.0×106N/mm2，密度取7800kg/m3。鋼樓梯的阻尼采用Rayleigh阻尼，考慮到樓梯玻璃欄桿及玻璃踏板的影響，結構總阻尼比取為3%。采用完全積分法進行數值分析。現場振動測試采用美國 KINEMETRICS公司ALTUS K2強震儀，測點A，B，C分別布置在樓梯的三個休息平臺中軸線上，見圖6。

該旋轉樓梯的踏板采用磨砂鋼化夾膠玻璃，考慮欄桿等，恒載取2.5 kN/m2(不包括自重)。根據文獻［7］樓梯活載取為2.5 kN/m2。強度及變形計算的荷載組合為1.2(恒載+構件自重)+1.4活載。通過計算分析，鋼構件均在彈性范圍中，鋼箱梁最大Von Mises應力為85.6 MPa，位置為上部節點處。樓梯最大變形量為23.7 mm，位置為標高6.2 m的休息平臺處。故該樓梯的強度及變形均滿足我國相關規范要求。

表4 振動數值模擬與現場實測分析工況Tab.4 Condition of site test and numerical analysis

振動分析根據前文提出的人群分布情況表，確定表4的振動分析工況。現場測試的示意圖見圖7，限于篇幅，此處僅列出典型數值分析及現場實測加速度時程曲線及其頻譜曲線，見圖8～圖13。各工況加速度峰值對比見圖14，其中KA，KB，KC分別為測點A，測點B，測點 C。

圖7 現場測試示意圖Fig.7 Diagram of site test

圖8 工況1W測點B豎直方向加速度時程曲線Fig.8 Acceleration-time time-history curve of point B in vertical direction under condition 1 W

圖9 工況1 W下測B點豎直方向FFT頻譜曲線Fig.9 FFT curve of point B in vertical direction under condition 1 W

圖10 工況1R測點B豎直方向加速度時程曲線Fig.10 Acceleration-time time-history curve of point B in vertical direction under condition 1R

由圖8及圖14可以發現，單人或人群激勵作用下行人跑動時的振動幅值遠大于走動時的振動幅值，由表5可發現該樓梯其自振頻率與人跑動步頻接近，這說明當行人的步頻接近結構自振頻率時，結構振動較大。

另外，由圖8及圖10可以發現，對于測點B加速度時程曲線的峰值的位置不同。實測數據中，當行人行至標高4.4 m休息平臺位置，即測點B位置時，加速度達到峰值。而數值計算中當行人行至標高2.6m與6.2m休息平臺時測點B出現峰值。這主要是由于數值計算中認定樓梯踏板是一個剛體，而實際工程中，玻璃踏板并非一個剛體，且與樓梯連接并非完全剛性，這造成當行人行至測點位置時樓梯踏板放大了行人對該區域的振動。

根據分析，該樓梯在使用過程中要嚴格控制通行人數，禁止人員在樓梯上跑、跳等劇烈活動。并考慮可以設置TMD等減振措施。

圖11 工況1R下測點B豎直方向FFT頻譜曲線Fig.11 FFT curve of point B in vertical direction under condition 1R

圖12 工況14 W測點B豎直方向加速度時程曲線Fig.12 Acceleration-time time-history curve of point B in vertical direction under condition 14 W

圖13 工況14 W下測點B豎直方向FFT頻譜曲線Fig.13 FFT curve of point B in vertical direction under condition 14W

圖14 各工況豎向加速度峰值對比Fig.14 Comparison of peak acceleration of different condition in vertical direction

表5 自振頻率與行人步頻對比/HzTab.5 Comparison of natural frequency and the footfall rate/Hz

3 結論

本文認為針對室內旋轉鋼樓梯這類空間結構，除了要對其進行強度、變形兩方面的驗算外，對結構進行振動分析是必要的。針對樓梯上人行走的特點本文提出樓梯振動分析中人行激勵的荷載模型，并提出了振動分析的工況及人群隨機作用下的振動數值分析方法。通過對一實際工程進行振動現場實測。驗證了本文提出的行人激勵荷載模型及振動分析方法。

［1］Kerr S，Bishop N. Human induced loading on flexible staircases［J］.Engineering Structures，2001，23(1):37 － 45.

［2］Bachmann H，Pretlove A，Rainer H.Vibration problems in structures［M］.Basel:Birkhauser Verlag，1995.

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［4］廖順庠.人行天橋的設計與施工［M］.上海:同濟大學出版社，1995:28－30.

［5］Griffin M J.Handbook of human vibration［M］.London:Academic Press，1994.

［6］Hauksson F.Dynamic behavior of footbridges subjected to pedestrian-induced vibrations［D］. Lund University，Sweden，2005.

［7］中華人民共和國國歌建設部.建筑結構荷載規范(GB50009－20012008年修訂)［S］.北京:建筑工業出版社，2001.

［8］中華人民共和國國歌建設部.鋼結構設計規范(GB50017－2003)［S］.北京:建筑工業出版社，2003.