用計算機做數學作業實踐

景德鎮高等專科學校 葉藝林

用計算機做數學作業實踐

景德鎮高等專科學校 葉藝林

文章以應用Mathematica 8做數學作業的形式，介紹了符號計算系統發展前沿的應用狀況，期望引起我國數學工作者的重視。一方面盡快在我國的數學教育中充分的反映這些內容，另一方面在數學應用方面，尤其是數學模型技術應用方面，符號計算系統應該像計算器一樣走進千家萬戶。

符號計算系統；計算機代數系統；Mathematica；Maple

一、引言

我們已經步入信息時代，這是一個以計算機技術、網絡通信技術、多媒體技術等為核心的信息技術高度應用的時代。可以說當今信息技術已經滲透到人類社會的一切領域，正改變著我們的生活方式和工作方式。掌握信息技術是現代人的基本素質，特別是在科學發展和技術創新前沿，誰掌握了最先進的信息技術誰就能勝出一籌。

我國信息技術發展很快，使用PC機、智能手機、平板電腦等上網交流、獲取和發布信息已經是百姓生活的一部分，人們用計算機搜集資料，閱讀書、刊、報，寫作，創作，設計，制作教學課件等等。不過在輔助學習方面，信息技術應用目前還是有很多地方或方面是處女地，還大有用武之地。比如很少有人用PC機做作業，尤其是用PC機做數學作業。作為拋磚引玉，本文就是想讓大家都知道，用計算機也可以做數學作業，而且用計算機做數學作業的操作是非常簡單的，期望能夠得到普及。

二、符號計算系統簡介

符號計算系統或計算機代數系統常指進行符號計算的計算機軟件系統。目前流行的符號計算系統很多（參見教材[3]第3頁或教材[4]第1頁），可分為專用和通用兩類。通用符號計算系統，是一個集成化的表示數學知識和數學工具的計算機軟件系統，其處理對象從初等數學到高等數學，幾乎涉及所有數學學科。Mathematica 8和Maple 15就是兩款很好的通用符號計算系統。

Mathematica 8作為一款強大的計算工具，能夠支持任意精度的數值計算、符號式運算以及可視化功能，詳見網站http://www.wolfram.com/mathematica/features/，本文就選用Mathematica 8這個軟件來介紹怎樣用計算機做數學作業。

三、用計算機做數學作業實踐

1.解析幾何作業

圖1

例2，求作二次曲線6xy+8y2—12x—26y十11＝0的圖形。（參見教材[1]第124頁例題一）

解：我們只要輸入一條指令就可得到所要求作的圖形，它是一條雙曲線，見圖2。

圖2

注意：首先這是一個隱函數作圖；其次根據圖形分布情況，我們可以非常方便地調整圖形顯示范圍，實現最佳作圖效果。

圖3

例3：畫出曲面3x2-2y2-z2=6的簡圖：（參見教材[1]第85頁第13題的8）小題）

解：輸入一條命令即可，見圖3，圖形是雙頁雙曲面。

例4：求二次曲面S：2xy+2yz+2xz+9=0的標準方程（參見教材[2]第218頁例一）

解：首先，把曲面S所對應的系數矩陣賦值給w；再用函數Eigensystem[]獲得w的特征值和特征向量；然后用函數Orthogonalixe[]由特征向量組得正交基q；最后驗算q.w.qT是一對角矩陣，得該曲面的標準方程為：9x2+2y2-z2=1。具體做法見圖4。

圖4

2.高等代數作業

例5：設A=（aij）sn，B=(bjk)nm，證明：秩（AB）≧秩（A）+秩（B）-n。參見教材[7]第209頁第10題）

圖5

證明：只對s=5，n=8，m=6的情形證明，首先，用Table[]函數任意構造一個s×n矩陣和一個n×m矩陣并分別賦值給a，b；然后用MatrixRank[]函數構建要證明的不等式；最后根據計算結果為真，可見命題對s=5，n=8，m=6的情形是正確的。具體做法見圖5。

例6：證明：

（參見教材[6]第41備注2）

證明：將等式左邊行列式的值賦給c，將等式右邊表達式的值賦給d，化簡c-d得零。具體做法見圖6。

圖6

解：首先將矩陣賦值給m；然后用約當分解命令JordanDecomposi-tion[m]得到矩陣s和j，具體做法見圖7。

圖7

圖8

例8：解線性方程組（參見教材[7]第152頁第1題1）小題）

解：將方程組作為Solve[]函數的參數輸入，即可得到通解為x1=-t/2，x2=-1-t/2，x3=0，x4=-1-t/2，x5=t。具體做法見圖8。

例9：求A-1，

（參見教材[7]第205頁第20題6）小題）

解：把矩陣A賦值給a，用Inver-se[a]指令求得

并賦值給b，驗證a.b=b.a=I。具體做法見圖9。

圖9

3.數學分析作業

解：在函數Integrate[]中輸入被積函數和積分變量，即得原函數。具體做法見圖10。

圖10

例11：計算定積分

（參見教材[9]第81頁例9）

解：只要輸入一條命令就得到這個定積分的值為2-6/?2。具體做法見圖11。

圖11

（參見教材[9]第19頁例18）

圖12

解：只要輸入一條命令就得到這個極限的值為12。具體做法見圖12。

例13：證明：

解：只要輸入一條命令就得到左邊這個極限的值為2π。具體做法見圖13。

圖13

注意：原題是“假設f(x)在[-1，1]上連續，證明：

（參見教材[5]第211頁第6題）例14：設

（參見教材[9]第15頁例12）

圖14

解：只要輸入一條命令就可。具體做法見圖14。

例15.求極限

（參見教材[9]第18頁例17）

解：只要輸入一條命令就可。具體做法見圖15。

圖15

例16：所謂基本不等式是說：n個非負數的幾何平均值不大于算術平均值。即設x1，x2，…，xn是n個非負數，則有

其中等式僅在x1=x2=…=xn時成立。試對n=10驗證基本不等式（見教材8第120頁13和第121頁15題）

證明：我們通過求表達式x1+x2+…+xn在限制條件x1≥0，x2≥0，…，xn≥0，x1x2…xn=1下的最小值來證明：基本不等式的等價形式：x1+x2+…+xn＞=n其中x1≥0，x2≥0，…，xn≥0，x1x2…xn=1。具體做法見圖16。

圖16

四、小結

用計算機做數學作業有如下的特點：

1.作業中的對象必須是具體的。因此，像“假設f(x)在[-1，1]上連續”這樣的抽象函數f(x)，計算機是不能處理的，計算機只能處理給定的具體函數。盡管如此，由于我們在實際工作中所遇到的數學問題是都是具體的，所以掌握用計算機做數學作業這門技術，對于我們來說依然是十分重要的。

2.用計算機做數學作業的過程一般是人機交互的會話過程，并不需要我們編寫程序。我們所要做的只是根據作業題目的內容向計算機發出一條條要求計算機執行計算的指令。也就是說，在用計算機做數學作業的過程中，我們必須要做兩件事情：一件是列出做一個具體題目的計算步驟；另一件是根據這些計算步驟依次向計算機發出一條條計算指令，叫計算機去完成每一步具體的計算任務，直到問題得到解決。

3.計算指令一般是以調用函數的形式出現的，并且某條計算指令就是該具體計算的英文名稱或者是其縮寫。例如，“行列式”的英文名稱是Determinant，要計算行列式A，就輸入指令Det[A]。不熟悉計算指令的初學者，建議選用Mathemati-ca 8，它有完整的中文幫助。在虛擬全書中，直接輸入需要的計算名稱就可以查找到需要的計算指令。例如，通過輸入“特征值”，可以找到計算“特征值”的指令。

4.雖然計算機的計算能力非常強，但它也不是百分之百的計算都做得出來，而且有的計算結果也會不正確。這一點我們一定要有充分的認識。例如，Mathematica 8不能求出下列級數的極限，見圖17。

圖17

但是，Maple 15卻可以求出這些極限。見圖18。

又如，

但是Mathematica 8卻會出錯，見圖19，

可見，不僅不同的計算機代數系統，其計算能力有所不同，而且其計算質量也不差別。上面結果表明Maple 15比Mathematica 8求極限能力要強些，出錯也要少些。

圖18

5.由于篇幅所限，以上筆者僅介紹了用計算機做解析幾何、高等代數和數學分析三門數學課程的作業，大家千萬不要誤會，以為用計算機只能夠做這三門數學課程的作業。實際上我們用計算機幾乎可以做從初等數學到高等數學的全部作業。不過由于數學具有抽象性的特點，而抽象對象計算機又不能處理，因此，對數學作業中大量包含有抽象對象的習題是不能用計算機來做的。例如，我們不能用計算機證明數學分析中的“微分中值定理”。針對這種情況的廣泛性，筆者建議大家采用具體的對象代替抽象的對象，再用計算機來處理，以驗證這些數學結論。就像上面的例5、例13和例16那樣。

[1]吳光磊,田疇.解析幾何簡明教程[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]宋衛東.解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]張韻華.符號計算系統Mathematica教程[M].北京:科學出版社,2001.

[4]張韻華,王新茂.符號計算系統Maple教程[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2007.

[5]吉林大學數學系.數學分析(上冊)[M].北京:人民教育出版社,1979.

[6]朱德祥.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,1988.

[7]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].北京:高等教育出版社,1989.

[8]徐利治,王興華.數學分析的方法及例題選講[M].北京:高等教育出版社,1983.

[9]鄭步南.數學分析典型題選講[M].桂林:廣西師范大學出版社,2003.

葉藝林（1961—），男，江西樂平人，景德鎮高等專科學校數學與信息工程系教授，從事教學工作，主編有教材《文獻信息檢索教程》，發表論文20余篇，研究方向：數學應用。