欠采樣率下多頻率成分的估計方法

高育兵, 梁紅, 杜金香

?

欠采樣率下多頻率成分的估計方法

高育兵1, 梁紅2, 杜金香2

(1. 海軍裝備部駐西安地區(qū)軍事代表局, 陜西 西安, 710054; 2. 西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院, 陜西 西安, 710072)

針對信號處理和雷達系統(tǒng)中常見的信號頻率大于采樣頻率或采樣頻率小于奈奎斯特情況下信號多個頻率成分的估計問題, 提出了采用一組非互質(zhì)的模數(shù)和相應(yīng)的一組有誤差的余數(shù), 同時重構(gòu)多個任意正實數(shù)的廣義穩(wěn)健中國剩余定理(GRCRT), 定理1首先給出了余數(shù)與重構(gòu)的正實數(shù)的一一對應(yīng)所需要滿足的條件, 定理2 給出了重構(gòu)正實數(shù)有唯一解的條件。將該定理用于欠采樣下多個信號頻率估計, 仿真實例驗證了余數(shù)估計有誤差時同時估計多個正實數(shù)算法的穩(wěn)健性和實際工程應(yīng)用前景。

廣義穩(wěn)健中國剩余定理; 欠采樣; 多頻率估計

0 引言

信號的頻率估計在許多工程領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。眾所周知, 當信號的采樣頻率大于奈奎斯特采樣頻率的時候, 可以唯一地確定信號頻率, 最簡單的就是采用快速傅立葉變換(fast Fourier transform, FFT)方法。但是當信號的采樣頻率小于奈奎斯特采樣頻率時, 就不可能從采樣樣本中唯一地獲得信號頻率的估計。采樣中國剩余定理(Chinese remainder theorem, CRT)可以解決這一問題。近幾十年來中國剩余定理在數(shù)字信號處理、編碼、密碼學(xué)及計算機等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[1-3]。傳統(tǒng)的CRT利用一組兩兩互質(zhì)的模和余數(shù)來估計一個整數(shù), 但是只有重構(gòu)的整數(shù)小于這組模的最小公倍數(shù)時, 才能唯一確定該整數(shù)。文獻[4]從相位解卷積的角度出發(fā), 提出了穩(wěn)健的CRT(robust Chinese remainder theorem, RCRT)重構(gòu)算法, 但是采用該算法重構(gòu)的整數(shù)局限于與模相關(guān)的離散點, 限制了在工程中的應(yīng)用。文獻[5]提出的廣義RCRT(generalized RCRT, GRCRT)重構(gòu)算法, 給出了余數(shù)有誤差時重構(gòu)一個任意正整數(shù)的方法。文獻[6]在文獻[5]的基礎(chǔ)上給出了余數(shù)有誤差時重構(gòu)一個任意實數(shù)的方法, 有效地解決了欠采樣情況下單個單頻信號的頻率估計及陣元間距大于半波長時相位解模糊的問題, 但是都沒有涉及多個數(shù)同時估計的問題。文獻[7]雖然給出了多個數(shù)同時估計的算法, 但是該方法不能解決所有被估計數(shù)的余數(shù)都存在誤差時如何重構(gòu)多個數(shù)的問題, 這一點限制了它在許多領(lǐng)域的應(yīng)用。例如, 在數(shù)字信號處理中信號中可能包含多個單頻成分, 可以采用幾次欠采樣(欠采樣頻率對應(yīng)CRT中模數(shù))獲得的樣本估計頻率(CRT中的一組余數(shù)), 如果每次欠采樣下頻率估計有很小的誤差(在低信噪比下), 則如何利用CRT估計多個信號真實頻率就成為急需解決的問題。

本文在文獻[5]的基礎(chǔ)上, 提出了采用一組非互質(zhì)的模數(shù)和相應(yīng)的有誤差的余數(shù)同時估計多個任意正實數(shù)的廣義穩(wěn)健中國剩余定理, 很好地解決了欠采樣頻率下多個頻率成分信號的估計問題, 仿真算例驗證了算法的穩(wěn)健性及工程實用性。

1 問題的提出

2 同時估計多個正實數(shù)的廣義穩(wěn)健中國剩余定理

定義

根據(jù)上述定義及文獻[5]~[7]的啟發(fā), 可以得到以下定理。

定理2的證明可參見文獻[6]。文獻[8]和[9]給出了定理2中重構(gòu)實數(shù)的快速算法。

估計的誤差上限為

3 欠采樣下利用GRCRT估計多個單頻信號頻率

在實際應(yīng)用中, 有些情況下獲得的樣本是不滿足Nyquist采樣定理要求的, 即欠采樣樣本。例如信號頻率非常高時, 由于實時處理的需要, 采樣頻率不能太高, 或硬件采樣頻率達不到要求。此時如果利用欠采樣的樣本進行信號的參數(shù)估計就不能獲得準確的估值。如果需要估計的頻率成分只有1個, 文獻[6]給出了重構(gòu)單個實數(shù)的方法。而信號處理中很多情況下信號包含的頻率成分較多, 此時可以采用本文提出的同時估計多個正數(shù)的GRCRT 算法, 對欠采樣下多個頻率成分進行估計。文中對含有2個單頻成分的信號頻率進行估計, 并給出仿真結(jié)果。

仿真中復(fù)信號為

圖1 M變化信號頻率為f1時信噪比與檢測概率之間的關(guān)系曲線

圖2 M變化信號頻率為f2時信噪比與檢測概率之間的關(guān)系曲線

圖3 M變化信號頻率為f1時信噪比與估計的均方誤差之間的關(guān)系曲線

4 結(jié)束語

本文提出了解余數(shù)有誤差時同時估計多個正實數(shù)的廣義穩(wěn)健中國剩余定理, 得出算法估計的誤差僅與余數(shù)估計的誤差有關(guān), 克服了傳統(tǒng)CRT算法極小的余數(shù)誤差帶來相當大整數(shù)估計誤差的局限。用信號處理中的仿真實驗驗證了所提GRCRT算法的有效性和穩(wěn)健性。算法適用于估計的所有余數(shù)有誤差時重構(gòu)多個正實數(shù)的場合, 可以應(yīng)用于數(shù)字信號處理中的雷達、聲納及生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。

[1] Krishna B, Krishna H C, Lin K Y. Computational Number Theory and Digital Signal Processing: Fast Algorithms and Error Control Techniques[M]. CRC Press, Boca Raton, FL, USA, 1994: 1-5.

[2] Grossschadl J. The Chinese Remainder Theorem and its App- lication in a High-speed RSA Crypto Chip[C]//16th Annual Conference on Computer Security Applications, New Orleans, USA, 2000: 384-393.

[3] Ding C, Pei D, Salomaa A. Chinese Remainder Theorem: Applications in Computing, Coding, Cryptography[M]. Sin- gapore: World Scientific, 1996: 2-10.

[4] Xia X G , Wang G. Phase Unwrapping and A Robust Chinese Remainder heorem[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2007, 14(4): 247-250.

[5] Li X W, Liang H, Xia X G. A Robust Chinese Remainder Theorem with its Applications in Frequency Estimation from Undersampled Waveforms[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(11): 4314-4322.

[6] 梁紅, 張琦. 廣義穩(wěn)健的中國剩余定理及其在欠采樣率下頻率估計中的應(yīng)用[J]. 電子與信息學(xué)報, 2010, 32(8): 1802-1805. Liang Hong, Zhang Qi.A Generalized Robust Chinese Re- mainder Theorem and Its Application to Frequency Esti- mation with Undersampling[J]. Journal of Electronics & In- formation Technology, 2010, 32(8): 1802-1805.

[7] Zhou G C, Xia X G. Multiple Frequency Detection in Un- dersampled Complex-valued Waveforms with Close Multiple Frequencies[J]. Electronics Letters, 1997, 33(15): 1294-1295.

[8] Li G, Xu J, Peng Y N, et al. An Efficient Implementation of Robust Phase Unwrapping Algorithm[J], IEEE Signal Proce- ssing Letters, 2007, 14(6): 393-396.

[9] Li X, Xia X G. A Fast Robust Chinese Remainder Theorem Based Phased Unwrapping Algorithm[J]. IEEE Signal Proce- ssing Letters, 2008, 15(10): 665-668.

Multiple-Frequency Estimation Method with Undersampled Waveform

GAO Yu-bing1, LIANG Hong2, DU Jin-xiang2

(1. XI′an Representative Bureau, Naval Armament Department, Xi′an 710054, China; 2. College of Marine Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

In some applications, such as signal processing and radar systems, it is preferred that the range of the frequencies is as large as possible for a given sampling rate and the sampling rate is below the Nyquist rate. In both cases, frequencies estimation from undersampled waveforms is necessary. In this paper, a generalized robust Chinese remainder theorem (GRCRT) for reconstructing multiple positive real numbers is presented, where modules are not pair-wisely co-prime and the remainders with errors. In theorem 1, the sufficient condition for the multiple real numbers to satisfy is given, where all remainders have errors and we can determine which one in the remainder set is the remainder of any real number. And an approach to determine unique solution of multiple real numbers from the remainder set with errors is proposed in theorem 2. Simulation results show that the present method is efficient for estimating multiple frequencies from multiple undersampled waveforms with sampling rate below the Nyquist rate, and it can be applied to such areas as digital signal processing.

generalized robust Chinese remainder theorem(GRCRT); undersample; multiple-frequency estimation

TJ630.34；TN911.7

A

1673-1948(2012)01-0019-05

2011-04-11;

2011-06-10.

國家自然科學(xué)基金(60702067).

高育兵(1964-), 男, 高級工程師, 研究方向為水聲信號處理.

(責(zé)任編輯: 楊力軍)