壓差方程的廣義黎曼問(wèn)題格式

王保軍， 楊永舉， 王順欽， 王景泉， 職占江

(1.南陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南 南陽(yáng) 473061；2.河南大學(xué) 數(shù)學(xué)系 河南 開(kāi)封 475001)

0 引言

微分方程的黎曼問(wèn)題是最簡(jiǎn)單、最經(jīng)典的初值問(wèn)題，Riemann、Von Neumann和Courant等著名數(shù)學(xué)家對(duì)此都做了深入研究；張同等利用相平面分析法專注于空氣動(dòng)力學(xué)中的黎曼問(wèn)題[1]．在數(shù)值計(jì)算方面，Godunov構(gòu)造了求解黎曼問(wèn)題的Godunov格式[2]；Ben-Artzi等以Godunov格式為基礎(chǔ)，引入二階Godunov類(lèi)型格式并研究了反應(yīng)流的廣義黎曼問(wèn)題[3]；文獻(xiàn)[4]利用解析的方法對(duì)中心疏散波重解，構(gòu)造了可壓流體方程組的廣義黎曼問(wèn)題(GRP)格式．GRP格式關(guān)于時(shí)間和空間都是二階的，是真正意義上的二階數(shù)值格式．

壓差方程最初是李蔭藩和曹亦明在用流體矢量分裂法[5]對(duì)歐拉方程組做數(shù)值分析時(shí)引入的，是歐拉方程的一種特殊形式[6]．本文研究一維壓差方程的簡(jiǎn)化形式

(1)

其中,U=(u,E)T，F(xiàn)(U)=(p,pu)T,E=p+u2/2，x和t分別為空間變量和時(shí)間變量[7]．

1 符號(hào)說(shuō)明

(2)

其中，

2 簡(jiǎn)單波的重解

2.1 中心疏散波的重解

(3)

圖1 壓差方程廣義黎曼問(wèn)題伴隨黎曼問(wèn)題的波形 Fig.1 Wave pattern of associate Riemann problem for the general Riemann problem of pressure gradient equations(PGE)

故

(4)

因?yàn)棣自讦?曲線方向不發(fā)生變化，所以

(5)

(6)

(7)

利用(5)、(6)和(7)，可得

(8)

另一方面，

(9)

將(4)和(9)代入(8)即得引理1的結(jié)論．

2.2 激波的重解

3 GRP格式的計(jì)算

GRP格式的計(jì)算過(guò)程包括4個(gè)步驟：

1)對(duì)初值進(jìn)行分段線性逼近，求解黎曼問(wèn)題以確定

得到，其中，aL,bL,dL,aR,bR和dR由壓差方程的黎曼解的波形和引理1～4確定．

確定，α為常數(shù)且α∈[0,3)．

4 數(shù)值試驗(yàn)

利用GRP格式計(jì)算一維壓差方程的經(jīng)典黎曼問(wèn)題，部分結(jié)果如圖2和圖3所示．?dāng)?shù)值實(shí)驗(yàn)表明壓差方程的GRP格式有很高的精度，但不能從本質(zhì)上克服Godunov類(lèi)型格式的缺陷[8-9]．文[9]證明了Godunov格式的這個(gè)缺陷來(lái)自它本身，可知Godunov類(lèi)型格式對(duì)壓差方程只包含強(qiáng)簡(jiǎn)單波的黎曼解有很好的性質(zhì)，而對(duì)包含弱簡(jiǎn)單波的黎曼解則是不適用的．

圖2 壓差方程僅含有強(qiáng)簡(jiǎn)單波的黎曼解(實(shí)線)及GRP格式計(jì)算的數(shù)值解(點(diǎn))的比較Fig.2 Comparison of true-solution without weak waves and numerical solution computed by GRP scheme for PGE

圖3 壓差方程含有弱簡(jiǎn)單波的黎曼解(實(shí)線)及GRP格式計(jì)算的數(shù)值解(點(diǎn))的比較Fig.3 Comparison of true-solution containing weak waves and numerical solution computed by GRP scheme for PGE

參考文獻(xiàn)：

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[3] Ben-Artzi M. The generalized Riemann problem for reactive flows[J].J comput Phys,1989,81(1):70-101．

[4] Ben-Artzi M，Li Jiequan， Warnecke G. A direct Eulerian GRP scheme for compressible fluid flows[J].J comput Phys, 2006,218(1):19-43．

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[7] Li Jiequan, Zhang Tong, Yang Shuli. The Two-dimensional Riemann Problem in Gas Dynamics[M]. New York: Longman Scientific & Technical, 1998:157-159．

[8] 王保軍，王景泉．壓差方程的HLL逼近Riemann格式[J]．南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008,7(3):26-28．

[9] 王保軍，張炳俠．壓差方程的Godunov格式[J]．南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008,7(12):10-13．