時標上具有依賴狀態脈沖動力系統的實用穩定性

張忠軍, 陳雁東,2, 楊 軍，3

(1.燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004；2.廣靈縣第一中學校 山西 大同 037500; 3.河北省數學研究中心 河北 石家莊 050000)

0 引言

由于時標上動態系統的理論能將連續和離散理論很好統一起來,已得到了廣泛關注,也取得了一些成果[1-2],但對時標上脈沖動力系統的實用穩定性的研究還非常少見[3].關于時標上具有依賴狀態的脈沖動力系統的實用穩定性至今還沒有相關文獻.本文在文獻[4-6]的基礎上,考慮時標上具有依賴狀態脈沖的動力系統關于兩個測度的實用穩定性,將測度函數與Lyapunov函數的特征結合起來,直接利用兩個測度函數h0和h本身的特性,僅對兩個測度函數中的一個適當加條件,而無需另外構造Lyapunov函數,就得到了判定(h0,h)-實用穩定性的充分條件.

1 預備知識

考慮具有依賴狀態脈沖動力系統

(1)

其中，T為時標(具有標準順序和拓撲結構的實數R的任意非空閉子集)，xΔ(t)表示x(t)在t處的Δ導數，且滿足下列條件:

(i)f∈CrdT×Rn,Rn,在τk,τk+1上右稠密連續,且

(iii)Ik∈CrdRn,Rn,k=1,2,…,且(1)式的任意解撞擊給定的脈沖面Sk：t=τk(x)僅一次;

(iv)f(t,0)≡0,Ik(0)=0.

為以后敘述方便,假定τ0(x)≡t0,且給出如下記號:

K={u∈Crd[R+,R+]:u(0)=0且u嚴格單調遞增}，

CK={u∈Crd[T×R+,R+],?t∈T,u(t,·)∈K},

Γ= {h:Crd[T×Rn,R+],h在所有集合Gk上連續且對

S(h,ρ)={(t,x)∈T×Rn:h(t,x)<ρ,ρ>0,h∈Γ}.

定義1設h0,h∈Γ,稱脈沖動力系統(1)為

(i)(h0,h)-實用穩定,如果給定(λ,A),0<λ

h(t,x(t))

(ii)(h0,h)-一致實用穩定,如果對所有t0∈T,(i)都成立.

定義2設h∈Γ,(t,x)∈G0,定義

易知,若h(t,x)關于x滿足局部Lipschitz條件,當T=R時,有

其中,x(t)=x(t,t0,x0)為脈沖動力系統(1)的任意解.

2 主要結果

定理1假設

(i)h0,h∈Γ,且存在0<λ0,φ∈CK,且當h0(t,x)<λ時,

h(t,x)≤φ(t,h0(t,x)),(t,x)∈T×S(h0,λ0);

(ii)當(t,x)∈G0時,h(t,x)關于x滿足局部Lipschitz條件,且

D+hΔ(t,x)≤0,(t,x)∈G∩S(h0,ρ);

(iii)h(t+0,x+Ik(x))≤h(t,x),(t,x)∈Sk∩S(h,ρ);

(iv)存在ρ0∈(0,ρ)使得當(t,x)∈Sk∩S(h,ρ0)時有h(t+0,x+Ik(x))≤ρ,則脈沖動力系統(1)為(h0,h)-實用穩定的.

證明任給A∈(0,ρ),t0∈T,由φ∈CK知存在λ∈(0,λ0)使得φ(t0,λ)

h(t0,x0)<φ(t0,h0(t0,x0))≤φ(t0,λ)

下證對系統(1)的滿足h0(t0,x0)<λ的任意解x(t)有

h(t,x(t))

(2)

h(t*,x(t*))≥A且h(t,x(t))

A≤h(t0,x(t0))<ρ且h(t,x(t))<ρ,t∈[t0,t0].

因此由條件(ii)和條件(iii)知,t∈[t0,t0]時h(t0,x(t))為非增的,故

h(t,x(t))≤h(t0,x0),t∈[t0,t0].

因此有h(t0,x(t0))≤h(t0,x0)

定理2在定理1的基礎上,將條件(i)加強為

(i*)h0,h∈Γ,且存在λ0>0,φ∈K,使得

h(t,x)≤φ(h0(t,x)),(t,x)∈S(h0,λ0),

則脈沖動力系統(1)為(h0,h)-一致實用穩定的.

證明任意A∈(0,ρ0),t0∈T,由φ∈K知存在λ∈(0,λ0),使得φ(λ)

參考文獻：

[1] Hilger S. Analysis on measure chains: a unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Res Math, 1990,18(1):18-56.

[2] Agarwal R P, Bohner M, Oregan D, et al. Dynamic equation on time scales: a survery[J]. Comput Appl Math, 2002, 141(1/2): 1-26.

[3] 武萌,趙新生,賈培佩.時間尺度上脈沖動力系統的實用穩定性[J].數學的實踐與認識，2007, 37(19):1-3.

[4] 杜靜,傅希林.時標上非線性脈沖動態系統的穩定性[J].山東師范大學學報：自然科學版, 2007,23(1):1-3.

[5] Wang Peiguang, Liu Xia.Practical stability of impulsive hybrid differential systems in terms of two measures on time scales[J].Nonlinear Analysis,2006,65(11):2035-2042.

[6] Wang Peiguang,Liu Xia. New comparison principle and stability criteria for impulsive hybrid systems on time scales[J].Nonlinear Analysis: Real World Application,2006,7(5): 1096-1103.