高等數學中一些重要概念間關系的辨析*

任 峰

(蘇州工業職業技術學院, 江蘇 蘇州 215104)

高等數學是一門理論性、邏輯性較強的公共基礎課，故高數中的概念具有嚴密、精確、高度概括、抽象的特點，往往使學生難以掌握[1]。而且高數擁有一個完整的知識體系，知識點的安排由淺入深、層層深入，新概念是對已有概念的繼承、發展和完善。很多學生由于前繼知識掌握不牢固，后繼知識的學習更是難上加難，概念學的越多思維就越紊亂。即使有的概念學生在學習的時候掌握較好，但在學了相關聯的新概念后，會對已掌握的知識造成一種干擾，對知識的掌握形成負效應，這種現象在教學中屢見不鮮。因此教師在教學中既要注重概念教學，更要向學生強調如何辨析相關概念之間的關系，這樣不僅有助于學生學習高數概念，而且能讓學生將高數作為一個知識體系前后聯系起來，提高學習效率。

1 連續與間斷

圖1 函數連續性

從以上兩個函數圖像可以看出f(x)圖像只不過在x0處發生了間斷，就像從一條連續曲線上挖掉了一個點，補上一點即是一條完整的連續曲線，故這兩種情形x0被稱為可去間斷點。

以上分析過程環環相扣，在函數間斷點的概念教學時串聯了極限、連續的概念，在學習間斷概念的同時，更加深了對連續的理解。通過數形結合的方法能讓學生對間斷點的分類有直觀的印象，達到很好的教學效果。

2 連續與一致連續

一致連續是微積分教學中的一個難點，學生往往不理解其與連續之間的區別。

定義2 ?ε>0，?x0∈I,?δ>0,當|x-x0|<δ，有|f(x)-f(x0)|<ε，則f(x)在I上連續。

定義3 ?ε>0,?δ>0,?x′,x″∈I,當|x′-x″|<δ，有|f(x′)-f(x″)|<ε，則f(x)在I上一致連續。

從定義的字面描述可以看出，連續是針對區間I上某一個x0而言的，而一致連續是針對整個區間的。事實上連續定義中的δ與ε和x0都有關系，故可記成δ=δ(ε,x0)，只要x∈I，且|x-x0|<δ，就有|f(x)-f(x0)|<ε。那進一步是否能做到δ只和ε有關而和x0無關，即存在I上所有點的公共的δ，若存在則f(x)在I上一致連續[3]。所以連續是局部性質，一致連續是整體性質。f(x)在I上一致連續可推出f(x)在I上連續，反之不一定成立。但如果函數在閉區間上連續則一定一致連續。

例1 考察f(x)=x2在(0,+∞)上的連續性和一致連續性。

3 連續與可導

對于一元函數f(x)在x0可導，則在x0連續。因為f(x)在x0可導，則在x0成立有限增量公式：Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)，令Δx→0，則Δy→0，即f(x)在x0連續。但可導是連續的充分條件并非必要條件。

對于二元函數f(x,y)在(x0,y0)連續與在該處偏導數存在與否無關。

4 可導與可微

對于二元函數可微的條件比可導強。即f(x,y)在(x0,y0)可微則該處的兩個偏導數存在，反之不成立。加強條件，若fx與fy在(x0,y0)連續則函數在該點可微。

證：易知：fx(0,0)=fy(0,0)=0，說明函數在原點可導。

若f(x,y)在(0,0)可微，則

5 結 語

現代認知心理學研究表明，學生的知識、概念如不經整理、區分，雜亂地放在腦子里是很難被掌握的[4]。因此，在注重概念教學的同時更要注重相關聯概念間的辨析教學，這樣能讓知識點的前后串聯起來，使學生對數學概念的理解更加深刻。在概念教學中，數形結合和反例法是很好的教學手段，其能彌補高數概念過于抽象的不足，從而將抽象的數學概念教活，達到事半功倍之效。

參考文獻：

[1] 楊雨慧.談高等數學中的概念教學[J].南京工業職業技術學院學報,2003(04):79-80.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育教育出版社,1997:89-90.

[3] 姚玉平,馬仲海.數學分析中幾個“一致”的概念淺析[J].西北民族學院學報(自然科學版),1997(02):53-56.

[4] 王 靜.高職數學概念教學初探[J].福建高教研究,2010(03):86-88.