含有極大值的二階差分方程的有界振動性和非振動性

劉雪飛， 鐘曉珠， 許紅葉， 王寅琮， 趙 芬

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

0 引言

由于差分方程的廣泛應(yīng)用，對它的研究也隨之越來越多，特別是對差分方程解的振動性的充要條件的研究有了較多的研究成果[1-3].文獻(xiàn)[4-6]對含有極大值的一階差分方程進(jìn)行了研究，但是對含有極大值的二階差分方程的研究卻很少.作者研究了含有極大值的二階差分方程

(1)

其中，[n-l,n]={n-l,n-l+1,…,n}，l,k為正整數(shù)，{qn},{rn}為非負(fù)實數(shù)列，{pn}為實數(shù)列.

方程(1)的解{xn}如果既不最終為正，也不最終為負(fù)，就稱為振動的，否則，就稱為非振動的.如果方程(1)的所有解都是振動的，方程(1)就稱為振動的.

定義

zn=xn-pnxn-k，

(2)

則由(1)可得

(3)

1 引理

引理1(Ⅰ) 若pn≤-1且{xn}為(1)的正有界解，則{zn}非減且zn>0；

(Ⅱ) 若pn≤-1且{xn}為(1)的負(fù)有界解，則{zn}非增且zn<0.

證明(Ⅰ)因為{xn}為(1)的正有界解，由(3)可得

(4)

所以{Δzn}為非增的.

因為zn=xn-pnxn-k，且{xn}為(1)的正有界解，pn≤-1，所以zn>0且{zn}有界.下面證明當(dāng)n≥n0時，Δzn≤0.

否則?n1，使得n1≥n0，當(dāng)n≥n1時有Δzn>0，由(4)可知Δzn≤Δzn1.從n1加到n-1，得zn-zn1≤(n-n1)Δzn1，當(dāng)n→時，則zn→+與{zn}有界矛盾，所以Δzn≤0，則{Δzn}為非增的，(Ⅰ)得證.

(Ⅱ)因為(2)成立，且{xn}為(1)的負(fù)有界解，pn≤-1 ，所以zn<0且{zn}有界.下面證明Δzn≥0.

當(dāng)n≥n0時，證明方法同(Ⅰ)，當(dāng)n→時，則zn→-與{zn}有界矛盾，所以 Δzn≥0，則{Δzn}為非減的，(Ⅱ)得證.

引理2若

(H1)

成立，當(dāng)0≤pn≤1，{xn}為(1)的正解時，則{zn}單增且zn>0.

根據(jù)(4)可知

(5)

將(5)式從n0加到i,得

(6)

將(6)式從n0加到n-2,得

由(H1)可知，當(dāng)n→時，zn→-與{zn}有界矛盾，則zn>0.下面證{zn}單增.

當(dāng)n≥n4時，Δzn>0.否則?n5，使得n5≥n4，當(dāng)n≥n5時，Δzn≤0，由(4)知，當(dāng)n≥n5時,

Δzn≤Δzn5

，

(7)

將(7)式從n5加到n-1,得

zn-zn5≤(n-n5)Δzn5,

當(dāng)n→時，有zn→-，與zn為正矛盾，則Δzn>0，{zn}單增得證.

2 定理

因為{xn}為(1)的正解, 且pn≤-1，則zn=xn-pnxn-k>0.由引理1知{zn}非增且zn>0.?T=

例如：教師在給學(xué)生講解地理相關(guān)的地形地貌的時候，可以為學(xué)生搜集相關(guān)的圖像，讓學(xué)生能夠?qū)ξ覀儑覐?fù)雜的地貌有一個具體的了解，這樣學(xué)生就會在接下來的學(xué)習(xí)過程中更加的積極主動，能夠把自己的注意力集中到學(xué)生地理知識上來，提高教師課堂的教學(xué)效果。

(8)

將(8)式從n0加到i，得

(9)

將(9)式從n0加到n-2，得

由(H1)可知，當(dāng)n→時，zn→-與zn=xn-pnxn-k>0產(chǎn)生矛盾，得證.

證明假設(shè){xn}為方程(1)的最終正解，根據(jù)已知條件和引理2知，Δzn>0且zn>0.

由(2)知xn≥zn，同理可得出xs≥zs，則根據(jù)(3)得

(10)

將(10)式從n加到n+k-l-2，且zn>0，有

證明(ⅰ)首先證明zn<0.

假設(shè)zn≥0，設(shè)xn為方程(1)的一個最終正解，根據(jù)(2)且pn≥1，則xn≥pnxn-k≥xn-k，所以{xn}有下界，?M>0,當(dāng)n≥n0時，xn≥M.

由(3)知

(11)

將(11)式從n0加到i-1,得

(12)

將(12)式從n0加到n-1，得

因為(H1)成立，當(dāng)n→時，有zn→-,與假設(shè)中zn≥0矛盾，則zn<0得證.

(ⅱ) 再證Δzn<0.

假設(shè)Δzn≥0，由(3)可知，Δzn是非增的，當(dāng)n≥n1時，則Δzn1≥Δzn.從n1加到n得zn-zn1≤(n-n0+1)Δzn1，當(dāng)n→時，則zn→+與(ⅰ)矛盾，(ⅱ)得證.

(ⅲ)由zn=xn-pnxn-k<0知,xn=zn+pnxn-k>0，則有zn>-pnxn-k.

由(ⅱ)和(3)得

(13)

將(13)式從n加到n+k-l-2，得

由Δzn<0知

同理，當(dāng)xn為方程(1)的一個最終負(fù)解時，可得出矛盾，所以方程(1)的所有解振動.

參考文獻(xiàn)：

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