一個可積非線性演化方程的達布變換及其精確解

馬云苓， 曾 昕， 耿獻國

(1.商丘師范學院 數學系 河南 商丘 476000； 2.鄭州大學 數學系 河南 鄭州 450001)

0 引言

非線性演化方程在很多領域中都有重要應用，例如非線性光學、深水波理論和等離子物理中的許多問題都可以歸結為非線性演化方程.因此，非線性演化方程的求解具有重要意義.在求解非線性演化方程的諸多方法中，達布變換[1-4]是一種非常有效的方法，它從非線性演化方程的一個平凡解出發能夠求出一系列精確解[5-6].作者研究一個新的非線性演化方程

(1)

基于其Lax對和譜問題的規范變換，構造出該方程的一個達布變換，進而利用此達布變換，得到該方程的精確解，包括有理解、孤子解與周期解.

1 達布變換

構造出方程(1)的一個達布變換，考慮(1)的Lax對，即譜問題以及輔助問題

Lψ=λψ,ψt=Bψ,

(2)

式中，

L=?4+4q?2+(4qx+2r)?+2qxx+4q2+qt+p,B=?2+2q,

(3)

其中，q,r,p是3個位勢，λ是1個常值譜參數.若ψ滿足Lax對(2)，那么由Lax方程Lt=[B,L]，可得

qt=rx,rt=px,pt=-rxxx-8qrx-4rqx.

(4)

由Lax對(2)的相容性條件，可得方程(4)等價于方程(1).

定理1設λ=λ0,f滿足Lax對(2)，A=-(lnf)x，定義規范變換

(5)

并且定義

(6)

(7)

其中，

(8)

證明通過直接計算可得

(9)

把(9)帶入Lf=λ0f,得

(10)

對(10)關于x微分，可得

(11)

其中，

(12)

利用(5)及(2)的第一個表達式，得到

(13)

(14)

(15)

其中，

Q=4qx+2r.

(16)

2 精確解

下面利用達布變換(6)給出方程(4)的精確解.從(4)的一個平凡解(a,b,c)開始，其中，a,b,c是常數.把q=a,r=b,p=c和λ=λ0代入Lax對(2)中，可得

(17)

Ⅰ.當a=b=c=0，且λ0=0時，(17)有一個多項式解

f=c1x2+c2x+2c1t+c0,

(18)

其中，c0,c1,c2是任意常數.利用達布變換(6)，得到(4)的一個有理解

(19)

(20)

(20)有解

(21)

(22)

f=c1+c2exp(-εx+ε2t)+c3exp[-(β1+ε)x-γ2t]+c4exp[-(β2+ε)x-γ1t],

(23)

(24)

(25)

Ⅳ.當b=0,a,λ0,c都是實數，且λ0≥c時，方程(17)約化為

(26)

(27)

其中，ci(i=1,2,3,4)是任意常數.利用達布變換(6)，可得(4)的孤子解

(28)

(29)

Ⅴ.當b=0,a>0,c=16a2,且λ0=4a2時，方程(17)有一個解

(30)

其中，ci(i=1,2,3,4)是任意常數.利用達布變換(6)，可得(4)的周期解

(31)

(32)

參考文獻：

[1] Levi D.On a new Darboux transformation for the construction of exact solutions of the Schr?dinger equation[J].Inverse Problems,1988,4(1):165-172.

[2] Gu Chaohao, Zhou Zixiang.On Darboux transformations for soliton equations in high-dimensional spacetime[J].Lett Math Phys,1994,32(1):1-10.

[3] Li Yishen.The reductions of the Darboux transformation and some solutions of the soliton equations[J].J Phys A: Math Gen,1996,29(14):4187-4195.

[4] Geng Xianguo.Darboux transformation of the discrete Ablowitz-Ladik eigenvalue problem[J].Acta Math Sci,1989,9(1):21-26.

[5] 李雪梅，楊運平.高階耦合非線性Schr?dinger方程的單孤子解[J].鄭州大學學報：理學版，2002，34(3)：13-15.

[6] 杜殿樓.駐定CG方程解的參數表示[J].鄭州大學學報：自然科學版，1998，30(1)：12-17.