具有流體動力阻尼項的波動方程解的漸近行為

王宏偉, 郭紅霞

(1.新鄉學院 數學系 河南 新鄉 453003； 2.西安交通大學 理學院 陜西 西安 710049； 3.鄭州大學 數學系 河南 鄭州 450001)

0 引言

研究如下一類具有流體動力阻尼項的波動方程的Cauchy問題

utt-uxxt-uxx-H(uxxx)+uxxxx=f(u)xx,

(1)

u(0)=φ(x),ut(0)=ψ(x).

(2)

這類方程的研究與Boussinesq方程

utt-uxx+uxxxx=f(u)xx

(3)

有密切的聯系. 方程(3)已有很多研究成果. Liu[2]討論了方程(3)小初值整體解的漸近性質; Cho等[3]討論了(3)在高維空間中小初值整體解的存在性; Linares在文獻[4-5]中也研究了這類方程的整體解的長時間行為. 至于初值問題(1),(2), 尚未見到相關結果.

作者將研究問題(1)，(2) 整體解的長時間行為. 通過對方程(1)的線性方程解的衰減估計, 利用壓縮映射原理, 得出了整體解在小初值條件下的漸近性質.

1 線性方程的估計

考慮線性方程

utt-uxxt-uxx-H(uxxx)+uxxxx=gxx,

(4)

u(0)=φ(x),ut(0)=ψ(x).

(5)

由Fourier變換和Duhamel原理, (4)和(5)的解由下式給出

引理1如果k≥0,p∈[2,],q∈[1,2],r∈[1,2],γ≥0，則對有下列衰減估計

(6)

證明把λ±(ξ)代入M(ξ,t)的表達式, 有

應用Hausdorff-Young不等式, 有

=I1+I2.

I1的估計是

I2的估計是

合并I1和I2的估計, 有(6)式成立.

引理2如果k≥0,p∈[2,],q∈[1,2],r∈[1,2],(當r=p=2時,m≥0),γ≥0， 則對有下列衰減估計

(7)

與引理1的證明類似, 可以得到(7).

引理3如果k≥0,p∈[2,],q∈[1,2],r∈[1,2],(當r=p=2時,m≥0)，

(8)

利用(6)，(7)和(8)三式, 得到如下線性方程(4),(5)解的存在唯一性定理.

定理1如果k≥0,p∈[2,],q∈[1,2],r∈[1,2],(當r=p=2時,m≥0),γ≥0，那么對則方程(4),(5)存在唯一解且下列衰減估計成立

2 整體解的漸近性質

(9)

那么問題(1),(2)存在唯一解u(x,t)∈C([0,);且滿足下列衰減性質

(10)

其中，ρ是一個依賴于f和δ的充分小的正數.

證明定義度量空間

在定理1中取k=0,p=,q=1,r=2,m=s，則

因為α+2θ-2≥α+θ-1≥1, 利用文獻[6]的引理4.1, 有

(11)

在定理1中取k=s,p=2,q=1,r=2,m=0, 則

根據θ的定義, 有

(12)

由(11)和(12)兩式, 得到‖Γ(u)‖X<ρ, 即Γ是X到X上的映射.

對u,v∈X, 由Γ(u)的表達式, 有

利用(11)和(12)兩式的方法, 有

‖Γ(u)-Γ(v)‖X≤C(‖u‖X+‖v‖X)α-1‖u-v‖X≤Cρα-1‖u-v‖X.

即對充分小的ρ,Γ是壓縮映射. 根據壓縮映射原理,Γ(u)在X上有唯一的不動點u(x,t), 它是問題(1)和(2)的解, 且滿足(10).

參考文獻：

[1] Mingaleev S F, Gaididei Y B. Solitons in anharmonic chains with power-law long-range interactions[J]. Physical Review E, 1998, 58(3): 3833-3842.

[2] Liu Yue. Decay and scattering of small solutions of a generalized Boussinesq equation[J]. J Funct Anal, 1997, 147(1): 51-68.

[3] Cho Y, Ozawa T. On small amplitude solutions to the generalized Boussinesq equations[J]. Discrete Contin Dyn Syst, 2007, 17(4): 691-711.

[4] Linares F. Global existence of small solutions for a generalized Boussinesq equation [J]. Journal of Differential Equations, 1993, 106(2): 257-293.

[5] Linares F, Scialom M. Asymptotic behavior of solutions of a generalized Boussinesq equation[J]. Nonlinear Analysis TMA, 1995, 25(11): 1147-1158.

[6] Chen Guowang, Wang Shubin. Existence and nonexistence of global solutions for the generalized IMBq equation[J]. Nonlinear Anal, 1999, 36(8): 961-980.