非光滑廣義Dini-凸多目標(biāo)規(guī)劃解的充分性與對(duì)偶性

康瑞瑞， 張慶祥， 姜艷， 張文靜

(1.北京交通大學(xué) 理學(xué)院 北京100044; 2.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 陜西 延安 716000)

0 引言

眾所周知,凸性和廣義凸性在數(shù)學(xué)規(guī)劃的很多方面都起著重要的作用,特別是在最優(yōu)性充分條件和對(duì)偶理論方面更是如此.這主要是因?yàn)橥购瘮?shù)在非線性規(guī)劃中有一些很好的性質(zhì)，比如凸函數(shù)在凸集上的局部極小值一定是全局極小值.因此各種廣義凸性的探索一直是凸分析的重要課題[1-10].Ben-Tal引入了廣義加法、數(shù)乘和內(nèi)積運(yùn)算,Avriel在[3]中結(jié)合這些廣義運(yùn)算給出了一類非常重要的廣義凸函數(shù),即(h,φ)凸函數(shù)的概念.Ben-Tal[4]又進(jìn)一步討論了(h,φ)凸函數(shù)的一些基本性質(zhì).張慶祥[5-6]推廣了這些廣義凸函數(shù)，提出了若干類廣義(h,φ)-凸函數(shù)的概念.另外，劉三陽(yáng)[7]從Dini右上方向?qū)?shù)的角度,定義了幾類廣義不變凸函數(shù),并研究了非光滑非凸規(guī)劃解的充分條件.后來(lái)黃建明等[8]在張玉忠[9]的(h,φ)-Lipschitz基礎(chǔ)上提出了弱(h,φ)-Lipschitz條件的概念.

基于以上研究，作者利用Ben-Tal廣義代數(shù)運(yùn)算,研究了非光滑廣義Dini-凸多目標(biāo)規(guī)劃解的充分性與對(duì)偶性.

1 預(yù)備知識(shí)

先引進(jìn)Ben-Tal廣義代數(shù)運(yùn)算，文中記Rn為n維歐氏空間，R為全體實(shí)數(shù).h為定義在H?Rn上的n維實(shí)值向量連續(xù)函數(shù),它具有反函數(shù)h-1,φ是定義在Φ?R上的連續(xù)實(shí)值函數(shù),它具有定義在R上的單值反函數(shù)φ-1.

1)對(duì)于x，y∈H,定義h-向量加法為

x⊕y=h-1(h(x)+h(y));

2)對(duì)于x∈H和λ∈R,定義h-數(shù)乘為

λ?x=h-1[λh(x)]；

3)對(duì)α，β∈Φ的φ-加法定義為

α[+]β=φ-1(φ(α)+φ(β));

4)對(duì)于數(shù)α∈Φ和λ∈R,φ-數(shù)乘定義為

λ[·]α=φ-1(λφ(α));

5)對(duì)于x,y∈H的內(nèi)積定義為

(xTy)h,φ=φ-1(h(x)Th(y))(假定右邊有意義)；

6)h-向量減法和φ-減法分別表述為

xΘy=x⊕((-1)?y)=h-1(h(x)-h(y)),x，y∈H；

α[-]β=α[+]((-1)[·]β)=φ-1(φ(α)-φ(β)),α,β∈Φ.

記

Rk為全體k維實(shí)體向量集

對(duì)于Ben-Tal廣義代數(shù)運(yùn)算,可以得到下面兩個(gè)引理.

引理1若φ是Φ上的嚴(yán)格遞增函數(shù),則

1)若λ≥0,λ,α,β∈Φ且α≥β,則λ[·]α≥λ[·]β；

2)若λ>0,λ,α,β∈Φ且α>β,則λ[·]α>λ[·]β；

5)若φ是R上的嚴(yán)格單調(diào)一對(duì)一函數(shù),且φ(0)=0,α,β∈R,則α<β當(dāng)且僅當(dāng)α[-]β<0.

引理2[10]1)若λ，α，β∈R,則λ[·](α[-]β)=λ[·]α[-]λ[·]β;

3)令若φ是R上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),λ<0,λ，α，β∈R且α≤β,則λ[·]α≥λ[·]β.

上述極限可以為無(wú)窮，因此廣義Dini右上方向?qū)?shù)總是存在的.f在x處的廣義Dini-梯度定義為

特別地，當(dāng)φf(shuō)h-1可微時(shí)，*f(x)=h-1(φf(shuō)h-1(t)|t=h(x)).

證明設(shè)f:C→R在C上是廣義Dini不變凸的,則由定義4, 對(duì)?x∈C,有

故f在C上是廣義Dini不變凸的.

2 最優(yōu)性充分條件

考慮下列多目標(biāo)規(guī)劃

記(VP)的可行集為

X={x∈Rn|gj(x)≤0,j=1,2,…,m;rk(x)=0,k=1,2,…,l}，

以下總假設(shè):φ是嚴(yán)格遞增函數(shù),h-1(0)=0,φ(0)=0.

定義8設(shè)x*∈X,如果對(duì)任意的x∈X,均有

fi(x*)≤fi(x),

即對(duì)一切i=1,2,…,p,均有fi(x*)≤fi(x),則稱x*是(VP)的絕對(duì)最優(yōu)解.

定義9設(shè)x*∈X,如果不存在x∈X,使得

fi(x*)≥fi(x),(fi(x*)>fi(x)),i=1,2,…,p，

則稱x*是(VP)的有效解(弱有效解).

(1)

(2)

(3)

結(jié)合(3)式得

(4)

另一方面，對(duì)?x∈X,有

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

再由引理1中的3),得

(11)

由(4),(11)和引理1中的4),得

(12)

證明對(duì)?x∈X,有

(13)

(14)

又因?yàn)閷?duì)?x∈X,總有

(15)

聯(lián)合(14)與(15),對(duì)?x∈X,得

(16)

由(1),引理2和引理1中的3),得

(17)

證明證明與定理3的證明類似.

(18)

(19)

證明定理4,5和推論2的證明依次與定理2,3和推論1的證明類似.

3 對(duì)偶性

下面考慮多目標(biāo)規(guī)劃(VP)的Mond-Weir型對(duì)偶問(wèn)題

將上述式子兩端相加,并由引理1中的3),得

(20)

(21)

參考文獻(xiàn)：

[1] Clarke F H.Optimization Conditions and Nonsmooth Analysis[M]. New York: Wiley-Interscience, 1983： 20-116.

[2] Hanson M A.On sufficiency of the Kuhn-Tucker conditions[J]. J Math Anal & Appl, 1981, 80: 545-550.

[3] Avriel M.Nonlinear Programming: Analysis and Method[M]. New Jersey:Printice-Hall, 1976：50-389.

[4] Ben-Tal A. On generalized means and generalized convex functions[J]. J Optim Theory Appl, 1977, 21: 1-13.

[5] 張慶祥.一類(h,φ)-意義下半無(wú)限規(guī)劃的最優(yōu)性充分條件[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 1991, 11(4): 367-370.

[6] 張慶祥.非光滑(h,φ)-半無(wú)限規(guī)劃解的充分性和對(duì)偶性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 24(1): 129-138.

[7] 劉三陽(yáng).非光滑非凸規(guī)劃解的充分條件[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1991, 4(1): 58-63 .

[8] 黃建明,云蓮英. (h,φ)-方向?qū)?shù)與(h,φ)-次梯度[J].麗水學(xué)院學(xué)報(bào), 2008, 30(2):13-17.

[9] 張玉忠. 弱Lipschtiz函數(shù),它的廣義次梯度及其在最優(yōu)化中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展, 1992, 21(4): 439-444.

[10] 徐義紅，劉三陽(yáng).(h,φ)-不變廣義凸函數(shù)的若干性質(zhì)與(h,φ)-不變廣義凸多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性及對(duì)偶性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003，26(4)：726-736.