濾正則序列與局部上同調

張英龍, 李思澤，2

(1.北京交通大學 理學院 北京 100044; 2.北京交通大學 軌道交通控制與安全國家重點實驗室 北京 100044)

0 引言

深度(depth)在交換代數中是一個基本而又重要的概念，給出它的刻畫具有十分重要的意義.文獻[1]詳細給出了深度的刻畫和一些重要性質.其中,深度定義為極大正則序列的長度,由文獻[1]知,不同的極大正則序列有相同的長度.

1 預備知識

文中R表示諾特環，M，N表示有限生成R模,I表示R的理想,p,q表示R的素理想,Z?Spec(R)是閉集.由于作者所使用的技術手段主要是局部化,所以有必要把如下的一個關于局部化的基本結果敘述出來.

事實上,本引理是文獻[3]性質Ⅲ.6.8的直接推論.

2 濾正則序列的定義和刻畫

定義1稱x1,…,xn∈R為關于Z的長為n的M濾正則序列，如果

?i∈[1,…,n],Supp(0:M/(x1,…,xi-1)Mxi)?Z.

注1(1)x1,…,xn∈R是關于Z的M濾正則序列當且僅當存在1≤i≤n，使得x1,…,xi-1是關于Z的M濾正則序列，且xi,…,xn是關于Z的M/(x1,…,xi-1)M濾正則序列；

證明現證明其逆否命題，即

?若x∈q,q=ann(m)∈AssR(M){Z}，則m∈0:Mx,因此m/1∈(0:Mx)q.由ann(m)=q知m/1在Mq中非零，所以(0:Mx)q≠0且q∈Spec(R){Z}.

現有如下兩個斷言:

(1)對任意的z∈R{p},都有zm≠0,ann(zm)?q;

(2)S={ann(zm)|z∈R{p}}中的極大元為R中的素理想.

關于斷言(2),用反證法.假設c∈R{p}使得ann(cm)為S中極大元,并假設ann(cm)不是素理想,則存在a,b∈R使得a?ann(cm),b?ann(cm),ab∈ann(cm).所以ann(acm)ann(cm),ann(bcm)ann(cm),故知ann(acm),ann(bcm)?S.于是ac∈p,bc∈p,再由c∈R{p}知a,b∈p.

注2根據引理2,I中存在關于Z在的M濾正則元當且僅當I因此,由于M是諾特環R的有限生成模,由交換代數知識知AssR(M)是有限集,所以I中不包含關于Z在的M濾正則元當且僅當存在p∈AssR(M){Z},使得I?p.

顯然，L是關于Z的R模的擬正合序列當且僅當?p∈Spec(R){Z},L是Rp模正合序列.

定理1設R是諾特環,M是有限生成R模,則下列條件等價：

(d)I中存在長度為n的關于Z的M濾正則序列.

證明(a)?(b)?(c)顯然.

(c)?(d) 對n進行歸納證明.

(1)n=1.反證法.設I中不存在關于Z的M濾正則元,則由引理2知,存在p∈AssR(M){Z}，使得I?p.由R模正合列0→R/p→M可得,HomRp(k(p),Mp)≠0.另一方面,由p∈V(I)=Supp(N)可知,Np≠0由Nakayama引理知,Np/pRpNp是域k(p)上的非零向量空間.于是Homk(p)(Np/pRpNp,k(p))≠0.考慮合成同態Np→Np/pRpNp→k(p)→Mp.由R諾特,N有限生成知,(HomR(N,M))p?HomRp(Np,Mp)≠0矛盾.故I中存在關于Z的M濾正則元.

3 深度的定義和刻畫

定義3定義M關于Z的相對I濾深度為包含在理想I中的關于Z的極大M濾正則序列的長度,記作depthZ(I,M).

(3)對于depthZ(I,M)是否無限及是否為零有如下的刻畫：

(a)Supp(M)∩V(I)?Z?depthZ(I,M)=∞;

(b)AssR(M)∩V(I)Z?depthZ(I,M)=0.

?設depthZ(I,M)=∞,則任取p∈Supp(M)∩V(I){Z}.由于I?p,故依定義可知，I中關于Z的M濾正則序列都是Rp模Mp正則序列，由文獻[1]知，這個長度≤depthRp(Mp)≤height(p)<∞.因此，必有Supp(M)∩V(I){Z}=?,即Supp(M)∩V(I)?Z.

(b)由注(2)立得.

事實上,對于depthZ(I,M),還有

證明只需要對任意的正整數r證明下面兩個結論的等價性即可.

(1)I中存在關于Z的長度為r的M濾正則序列;

(2)?(1) 對r進行歸納證明:

參考文獻：

[1] Matsumura H. Commutative Algebra[M]. 2nd Ed. New York: The Benjamin/Cummings Publishing Company, 1980:95-114.

[2] Lü Rencai, Tang Zhongming. The f-depth of an ideal on a module[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 2001, 130(7): 1905-1912.

[3] Hartshorne R. Algebraic Geometry[M]. New York: Springer-Verlag, 1977: 235-236.

[4] Huneke C. Lectures on Local Cohomology[M]. Rhode Island: American Mathematical Society, 2008: 8-9.

[5] Weibel C A. An Introduction to Homological Algebra[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1994: 104-119.