基于可分解的多目標進化算法的PDN阻抗的優化

趙志超，張 申，張 輝

(1.西安電子科技大學電子工程學院，陜西西安 710071;2.西安電子科技大學天線與微波技術國家重點實驗室，陜西西安 710071)

在高頻時，由于過孔或晶體管切換時電源引腳吸收瞬時電流，而穩壓源VRM由于電源地平面噪聲的影響，無法及時提供恒定電壓，這時就會從電源地平面吸取大量電荷造成壓降，如果壓降超過5%波紋技術規范就會導致電源無法正常工作，造成嚴重的電源完整性問題。因此，如何解決電源噪聲問題為平面提供低阻抗路徑，成為電源分配網絡設計的關鍵。將電源允許的最大電壓波動容限轉化為頻域的一個參數:目標阻抗。現在把問題轉化為如何優化電源分配網絡(PND)，以提供低阻抗，使得它在截止頻率內小于目標阻抗。為優化PDN，最重要的兩個優化目標是去耦電容器的個數和種類的選擇。設計者可以通過迭代改變這些參數來控制PND諧振以減小阻抗峰值[1]。目前，對于系統級的PND的設計是基于一些單目標隨機的算法，例如遺傳算法[2]和模擬退火[3-4]，而應用單目標方法優化多目標問題會造成較大的偏差，無法更加準確地逼近PF。自2003年以來，進化多目標算法前沿的研究呈現出新的特點，對于多目標優化問題本身性質的研究也在深入。文中所應用的基于分解的多目標進化算法(MOEA/D)是近兩年來在進化計算研究領域內的先進成果。它將多目標優化問題轉換為單目標優化問題，該算法將逼近整個Pareto前沿面(PF)的問題分解為一定數量的單目標優化問題，然后用進化算法同時求解這些單目標優化問題。算法維持一個由每個子問題當前最優解組成的種群，子問題之間的近鄰關系定義為子問題權重向量之間的距離，每個子問題的優化過程通過與其近鄰子問題之間的進化操作完成[5]。

1 PDN中的去耦電容

1.1 電源分配網絡的設計

本文采用電源分配網絡(PDN)的集總等效模型。首先是穩壓器模塊(VRM)，如圖1所示，模型可以簡化為一個串聯的電阻和電感。從DC到大約50 kHz的頻率范圍內，VRM的阻抗非常低，可以滿足芯片對瞬態電流的要求。

圖1 PDN拓撲的集總等效模型

設計PDN的第一步是確定目標阻抗，必須分別對電路板上所有芯片的各個電壓軌道進行獨立設計。對于每個電壓軌道，目標阻抗可能會隨頻率而改變，這取決于芯片各自的電流頻譜。當一頻率分量的電流流過給定阻抗曲線的PDN時，在PDN上會產生電壓噪聲并且電壓降低，把電壓的5%規定為PDN中可接受波紋最大壓降，它所對應頻域內最大的阻抗，即目標阻抗。可以得到

由于規定波紋指數是5%，所以式(1)可表示為

其中，Vdd為軌道電壓;Imax為芯片的最大電流。只有當阻抗曲線低于目標阻抗時，PDN符合設計要求，如果PDN阻抗某些峰值超過目標阻抗，這時需要添加去耦電容來抑制這些峰值，使其低于目標阻抗。

1.2 去耦電容網絡的設計

去耦電容器網絡的設計是PDN設計的重點，它決定了PDN的性能。一般PDN中都會包含各式各樣的電容器，對于如何分配去耦電容器及其位置并沒有達成共識。當高頻時VRM不能提供低阻抗，此時，設計PDN阻抗曲線的策略就是選擇合適的容值種類和個數的電容器以保持峰值阻抗低于目標阻抗。

要降低峰值阻抗就是要減小較大電容的串聯等效電感(ESL)或并聯更多電容器。這些電容的容值種類可以相同也可以不同。高頻時電容器的阻抗完全取決于ESL的并聯值，假設它們的ESL值都相同，該條件變為

其中，ESL為單個電容器的等效串聯電感;n為滿足目標阻抗所需并聯電容器的個數;Fmax為板級PDN設計起作用的最高頻率，即截止頻率。

式(3)從理論上確定了為滿足目標阻抗所需并聯電容器的最少個數[6]

在不考慮容值的情況下，為減小所需電容器的個數，必須減小單個電容器的ESL。

PDN的輸入阻抗主要由去耦電容的個數和種類所決定

其中，YVRM是穩壓源VRM的電導;YPL是平面電容的電導;Chrom*Y為所添加的總電容值;ZSPR是分布電感的阻抗;Zvia是過孔電感阻抗。

2 多目標問題及算法

多目標優化問題(MOP)在現實中應用廣泛，一般需要同時優化兩個或兩個以上的目標并且這幾個目標之間相互沖突，一個解對于某個目標可能是可能較好，而對于其他目標可能較差，因此存在一個折衷解的集合，稱為Pareto最優解或非支配解集。對于多目標問題最初的方法就是通過加權等方法把它們轉化為單目標的問題，然后用數學規劃法來求解，但每次只能得到一種權值情況下的最優解，它僅僅是多目標問題的Pareto前沿(PF)的一個解，而傳統的數學規劃方法往往效率很低，且它們對權重值或目標給定的次序較敏感。針對傳統數學方法的局限性，越來越多的研究者試著通過直接的方法去逼近PF。提出了很多先進的多目標算法，一些通過使用數學模型或基于進化算法來逼近PF。其中，一種算法成功地將數學規劃中常用的分解方法引入到進化多目標領域，而且可以直接采用進化算法求解單目標優化問題，文中即采用此算法:基于分解的多目標進化算法(MOEA/D)。

在本文中，使用MOEA/D同時優化去耦電容的種類和個數。文獻[7]分別描述了MOPs和MOEA/D的構架。

2.1 MOPs的描述

目前，許多問題都是多目標優化的問題，單目標問題只是特例。多目標問題可以描述如下

其中，Ω是決策變量空間;C(x)代表問題約束和定義決策空間的可行域。F∶Ω→Rm由m個實值函數組成;Rm為目標函數空間。

為平衡各個目標，定義各個解之間的支配關系。現在令 u=(u1，…，um)，v=(v1，…，vm)∈Rm是兩個向量，對于所有 f(x)的 i=1，…，m，如果有 ui≤vi并且u≠v，則稱u能支配v。如果不存在點x*∈Ω使得支配f(x*)，則稱點x*?Ω是最佳Pareto。所有Pareto最佳點叫作Pareto集合(PS)，與PS對應的所有目標向量叫作Pareto前沿(PF)，其中 PF={F(x)∈Rm/x∈PS}[8]。

2.2 基于分解的MOEA

MOEA/D使用分解方法把一個MOP分解成一系列的單目標優化問題。MOEA/D嘗試去集體和同時優化這些單目標以代替其他進化算法的直接逼近Pareto前沿面(PF)，因為這些SOPs的每一個最優解是給定MOP的一個Pareto最優解。這些最優解的集合就是一個pareto前沿面的逼近。每個子問題在當前解集中都能找到一個局部最優解。用權重響亮的歐氏距離來描述子目標中鄰居之間的遠近程度，而這個權重向量就是m個子目標的聚合系數，通常認為相鄰的子問題的最優解應該非常接近。子問題可以描述為

其中，λ =(λ1，…，λm)是一個權向量的集，對于所有的。

MOEA/D敘述如下:

(1)輸入。1)決定變量。2)N為MOEA/D中考慮的子問題的數目。3)λ1，…，λN為均勻分布的N個權重矢量。4)T為在每個權重矢量鄰居中的權重矢量的數量。5)停止判據。

(2)輸出。1)PS的近似值為 x1，…，xN。2)PF的近似值為F(x1)，…，F(xN)。

3 實驗數據及結果分析

3.1 實驗數據

將去耦電容器的截止頻率 Fmax、等效串聯電感ESL和最大電流Imax作為決定變量，通過改變這些參數來改變電容器的個數。同時將電容器的種類和個數作為需要優化的目標函數。將分解后的每個子問題中的目標阻抗Ztargetj作為每個子問題的參考點Z*，通過調節決定變量來改變輸入阻抗Z0，使得它在截止頻率內不要超過目標阻抗。在本文中取幾種組合作仿真驗證，MOEA/D算法中把參數設為:進化代數60代;種群大小為150;鄰居個數為30個;分解方法為Tchebycheff算法。在 PND 中，ZVRM=0.001 Ω;ZPL=0.003 Ω;RSPR=0.002 Ω;Rvia=0。

選取3組實驗數據并得到實驗結果。第一組選取的目標阻抗Ztarget為0.1 Ω，截止頻率F max為50 MHz，獲得的電容器的方案如表1所示，PDN阻抗曲線如圖2所示。第二組選取的目標阻抗Ztarget為0.2 Ω，截止頻率Fmax為100 MHz，獲得的電容器的方案如表2所示，PDN阻抗曲線如圖3所示。第三組選取的目標阻抗 Ztarget為 0.2 Ω，截止頻率 Fmax為 80 MHz，獲得的電容器的方案如表3所示，PDN阻抗曲線如圖4所示。表1～表3中電容器種類限制均為6種。

表1 3種設計方法的電容器方案(目標阻抗0.1 Ω，截止頻率50 MHz)

圖2 MOEA/D算法的PDN阻抗曲線(目標阻抗0.1 Ω，截止頻率50 MHz)

表2 3種設計方法的電容器方案(目標阻抗0.2 Ω，截止頻率100 MHz)

圖3 MOEA/D算法的PDN阻抗曲線(目標阻抗0.2 Ω，截止頻率100 MHz)

表3 3種設計方法的電容器方案(目標阻抗0.2 Ω，截止頻率80 MHz)

圖4 文中方法的PDN阻抗曲線(目標阻抗0.2 Ω，截止頻率80 MHz)

3.2 實驗結果分析

實驗數據顯示，當頻率為50 MHz時，需要的去耦電容器是24個;頻率為80 MHz時，去耦電容器的個數是58;當頻率為100 MHz時，去耦電容器的個數是104。這表明隨著頻率的升高，所需的去耦電容器也越多。高頻時PND阻抗明顯增大，芯片噪聲嚴重，從圖中我們可以看到，未加去耦電容的PDN曲線在高頻時超過了目標阻抗，并形成尖峰。而添加相應的去耦電容后將PND曲線尖峰壓到目標阻抗之內，有效地抑制了噪聲。可以看到，在截止頻率內PDN阻抗小于目標阻抗，滿足在截止頻率內阻抗設計的要求。

4 結束語

文中使用了基于分解的多目標進化算法(MOEA/D)來優化電源分配網絡(PDN)，去耦電容網絡中的兩個目標函數電容器的種類和個數被MOEA/D分解成兩個單目標，并同時被優化。它們的解是一個折衷的優化解而并非是各自的最優解，實驗證明，它們逼近Pareto Front(PF)。實驗結果給出了優化后電容器的種類和個數，數據顯示，截止頻率越高所需的電容個數越多，才能使PDN阻抗限制在規定的截止頻率內滿足設計需要。

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