“數(shù)學(xué)應(yīng)用”教學(xué)中若干問(wèn)題探究

沙丹

[摘要]本文主要就大學(xué)本科應(yīng)用類(lèi)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)提出了自己的一些想法。文章首先指出了應(yīng)用數(shù)學(xué)和“數(shù)學(xué)應(yīng)用”兩者之間的區(qū)別，強(qiáng)調(diào)了大部分非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的應(yīng)用數(shù)學(xué)類(lèi)課程要關(guān)注的是數(shù)學(xué)如何應(yīng)用。其次，指出對(duì)于各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題的判斷是學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的關(guān)鍵，從而引出如何加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力的問(wèn)題。最后，文章闡述了要達(dá)到該目的應(yīng)該在教學(xué)中注意的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

[關(guān)鍵詞]應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué) 教學(xué)法 數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

本文受到上海市教委《運(yùn)籌學(xué)》重點(diǎn)課程建設(shè)項(xiàng)目資助。

數(shù)學(xué)課程教學(xué)的兩個(gè)核心問(wèn)題

在整個(gè)大學(xué)本科教育中，數(shù)學(xué)的教育是不可或缺的。不論是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)還是非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)，數(shù)學(xué)的邏輯思維能力的訓(xùn)練對(duì)學(xué)生來(lái)講都至關(guān)重要。但作為一名數(shù)學(xué)教師，經(jīng)常會(huì)遇到有學(xué)生問(wèn)這樣的問(wèn)題：老師，我們的數(shù)學(xué)學(xué)了有什么用？甚至畢業(yè)了的學(xué)生也會(huì)說(shuō):大學(xué)里學(xué)了那么多數(shù)學(xué)，根本不知道怎么用！面對(duì)這樣的問(wèn)題，如果單純地以“培養(yǎng)數(shù)學(xué)的素養(yǎng)”來(lái)回答，多少顯得有些蒼白。尤其是對(duì)于像上海對(duì)外貿(mào)易學(xué)院這樣的以應(yīng)用型人才為培養(yǎng)目標(biāo)的高校，如果所教授的內(nèi)容，不能很好地與實(shí)際相結(jié)合，會(huì)使同學(xué)失去學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力，導(dǎo)致“培養(yǎng)數(shù)學(xué)的素養(yǎng)”的目標(biāo)也落空。因此，當(dāng)遇到這樣提問(wèn)的學(xué)生越來(lái)越多時(shí)，作為一名數(shù)學(xué)教師，是需要認(rèn)真地思考一下：在我們的教學(xué)過(guò)程中，是不是哪里出了問(wèn)題？經(jīng)過(guò)仔細(xì)的檢討，我認(rèn)為問(wèn)題的核心大致可以歸結(jié)為兩個(gè)方面：

1.在教學(xué)過(guò)程中混淆了應(yīng)用數(shù)學(xué)和“數(shù)學(xué)應(yīng)用”的界限。大學(xué)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（特別是商科專(zhuān)業(yè)）本科課程設(shè)置中所開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)課程，如統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、博弈論和模糊數(shù)學(xué)等，若從學(xué)科分類(lèi)角度來(lái)說(shuō)，都應(yīng)該歸為應(yīng)用數(shù)學(xué)范疇。應(yīng)用數(shù)學(xué)是利用數(shù)學(xué)來(lái)發(fā)展經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的學(xué)科。它始于經(jīng)驗(yàn)性事實(shí)，止于對(duì)經(jīng)驗(yàn)性事實(shí)進(jìn)行規(guī)律性預(yù)測(cè)，這些規(guī)律性預(yù)測(cè)還必須被其他的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所證實(shí)。應(yīng)用數(shù)學(xué)的主體是建立科學(xué)概念、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型和公式，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)理論，并作科學(xué)上的預(yù)測(cè)。它強(qiáng)調(diào)的還是對(duì)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論的拓展。而后者則是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法在實(shí)踐中的應(yīng)用，它強(qiáng)調(diào)的是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的判斷，要求能在眾多的數(shù)學(xué)方法中，正確選擇合適的方法（或略微加以改造）來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。下面的示意圖可以用來(lái)描述兩者的區(qū)別。

應(yīng)用數(shù)學(xué)：實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)模型→數(shù)學(xué)理論和方法→預(yù)測(cè)和決策

數(shù)學(xué)應(yīng)用：實(shí)際問(wèn)題→判斷→方法選擇→解決問(wèn)題

圖1. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的區(qū)別

作為數(shù)學(xué)教師，在課堂教學(xué)中，我們常常自覺(jué)或不自覺(jué)地沉醉于數(shù)學(xué)本身的完美體系之中，過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯，或注重?cái)?shù)學(xué)方法細(xì)節(jié)的描述，強(qiáng)調(diào)對(duì)于數(shù)學(xué)方法的掌握而忽略了方法的應(yīng)用。事實(shí)上，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)（尤其是商科學(xué)生），更重要的是數(shù)學(xué)的應(yīng)用。因?yàn)橹挥袑W(xué)以致用，才能提高學(xué)生對(duì)學(xué)科的興趣。對(duì)于這個(gè)本質(zhì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)不清晰，是導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生困惑的原因之一。

2.在教學(xué)過(guò)程中模糊了對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)要求。有的應(yīng)用數(shù)學(xué)類(lèi)課程教學(xué)大綱中，都會(huì)強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)于理論和方法的掌握。個(gè)別課程如有應(yīng)用軟件的，還會(huì)提供上機(jī)機(jī)會(huì)。但是，在具體實(shí)施教學(xué)時(shí)，往往會(huì)專(zhuān)注于要求學(xué)生掌握方法本身，而忽略對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本素質(zhì)培養(yǎng)。例如，面對(duì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，許多學(xué)生都不能把它用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述出來(lái)，更談不上如何選擇合適的方法來(lái)解決問(wèn)題了。

數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本素養(yǎng)

哪些是學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握的數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本素養(yǎng)呢？粗略可以歸結(jié)為下列幾點(diǎn)：

1.會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言將問(wèn)題描述出來(lái)。是數(shù)學(xué)應(yīng)用的最基本能力。如果不能將問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)，也就無(wú)法用數(shù)學(xué)的方法將它解決。此外，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用，也是進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。注意，這里所說(shuō)的僅僅是“描述”，它可以是不嚴(yán)密的，不連貫的，不完整的，有別于數(shù)學(xué)模型的嚴(yán)密和完整。

2.會(huì)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)型作出判斷。里所說(shuō)的問(wèn)題的類(lèi)型，涉及到兩個(gè)層次。第一個(gè)層次是對(duì)問(wèn)題大類(lèi)的判斷，即問(wèn)題屬于確定性的、隨機(jī)性的、模糊的，還是混合性的。學(xué)會(huì)這樣的判斷一般不難，這只要判斷問(wèn)題所包含的變量的類(lèi)型就行了。第二個(gè)層次的判斷就比較困難，它要求對(duì)問(wèn)題所涉及的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支進(jìn)行判斷，進(jìn)而決定采用什么數(shù)學(xué)方法。

3.會(huì)整理歸納已學(xué)的數(shù)學(xué)方法。這里要求學(xué)生將所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納整理，使之系統(tǒng)化。借用計(jì)算機(jī)科學(xué)的語(yǔ)言，就是要建立一個(gè)關(guān)于方法的數(shù)據(jù)庫(kù)，將各種方法的特點(diǎn)，適用場(chǎng)合作為關(guān)鍵字儲(chǔ)存起來(lái)，以便實(shí)際應(yīng)用使快速檢索。而這一種能力的提高，反過(guò)來(lái)也是對(duì)第二種能力的促進(jìn)。

上述三種能力的培養(yǎng)，需要我們貫徹在每一門(mén)課程的教學(xué)之中。余下的問(wèn)題就是，我們應(yīng)當(dāng)如何在課堂教學(xué)中來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的這些能力呢？

如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的素養(yǎng)

對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)的培養(yǎng)，我想是否可以從以下幾個(gè)方面來(lái)著手：

1.經(jīng)常強(qiáng)調(diào)要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。這是一項(xiàng)長(zhǎng)期的工作，可以在每一門(mén)數(shù)學(xué)課中進(jìn)行。開(kāi)始時(shí)，可以反過(guò)來(lái)進(jìn)行，即在介紹一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言（包括數(shù)學(xué)符號(hào)）時(shí)，同時(shí)指出它在現(xiàn)實(shí)生活中代表或可以代表何種現(xiàn)象。等到學(xué)生熟悉了這種方式后，再啟發(fā)學(xué)生自己來(lái)表述。

例如，在介紹圖或網(wǎng)絡(luò)時(shí)，先說(shuō)明它可以表示一個(gè)城市的交通網(wǎng)絡(luò)。其中，網(wǎng)絡(luò)的邊表示一段街道，邊上所附的權(quán)表示該段街道的長(zhǎng)度。求從某出發(fā)點(diǎn)到目的地的最短路就等價(jià)于在一個(gè)賦權(quán)的網(wǎng)絡(luò)中尋找連接這兩點(diǎn)的所有路中權(quán)和最小的那條。當(dāng)同學(xué)熟悉了基本概念后，提出下列問(wèn)題：某公司要制訂一項(xiàng)5年內(nèi)更新設(shè)備的計(jì)劃。已知該設(shè)備在不同年份購(gòu)置的價(jià)格及設(shè)備連續(xù)使用時(shí)每年的維護(hù)費(fèi)用，并假設(shè)公司現(xiàn)有的設(shè)備已經(jīng)連續(xù)使用了兩年。應(yīng)如何選擇更新時(shí)機(jī)使總費(fèi)用最低？啟發(fā)學(xué)生把問(wèn)題用網(wǎng)絡(luò)的語(yǔ)言表示出來(lái)。又如在介紹了線性規(guī)劃模型后，提示同學(xué)，規(guī)劃中的變量可以是連續(xù)的，也可以是離散的。然后給出問(wèn)題：已知某籃球隊(duì)有8名球員，并且知道他們各自的身高和擅長(zhǎng)的位置。現(xiàn)要參加一場(chǎng)籃球賽，需從8名隊(duì)員中選擇一個(gè)平均身高最高的出場(chǎng)陣容。啟發(fā)同學(xué)用0-1變量來(lái)表示該名隊(duì)員上場(chǎng)與否，進(jìn)而表示成一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題。

2.強(qiáng)調(diào)解題的規(guī)范。講解例題及對(duì)學(xué)生解題都嚴(yán)格要求具備三要素，即判斷、方法應(yīng)用和結(jié)論解讀。“判斷”是指對(duì)問(wèn)題類(lèi)型的判斷，其中蘊(yùn)含著對(duì)適用方法的判斷。要求學(xué)生具體寫(xiě)出顯式的條件和隱式的條件。決不能因?yàn)橛X(jué)得太簡(jiǎn)單而忽略這一步驟。“方法應(yīng)用”則是選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解題。“結(jié)論解讀”是將數(shù)學(xué)計(jì)算的結(jié)果還原到實(shí)際背景中去的過(guò)程，即要求學(xué)生明白，數(shù)學(xué)上的解在實(shí)際中的意義。

在上述解題三要素中，判斷是整個(gè)解題的基礎(chǔ)，也是最重要的一環(huán)。相對(duì)來(lái)講，第二步方法的應(yīng)用倒是比較容易掌握的。第三步往往是學(xué)生會(huì)忽略的，但這卻也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要步驟。往往會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，同樣的計(jì)算結(jié)果，在現(xiàn)實(shí)生活中可以有不同的解釋。在安排教學(xué)時(shí)間上，應(yīng)該放比較多時(shí)間在問(wèn)題的判斷上，甚至可以集中將一些問(wèn)題放在一起讓同學(xué)判斷而不必具體求解，以鍛煉學(xué)生的判斷能力。尤其是在階段性復(fù)習(xí)時(shí)，更要訓(xùn)練判斷，因?yàn)榇藭r(shí)掌握的方法多了，必須先對(duì)問(wèn)題作出準(zhǔn)確判斷，然后才能確定解決方法。

例如，在解答假設(shè)檢驗(yàn)類(lèi)的題目時(shí)，要求學(xué)生先把諸如樣本容量、顯著性水平、總體參數(shù)等已知條件寫(xiě)一遍。然后根據(jù)這些已知條件進(jìn)行判斷，是單總體還是雙總體，是采用正態(tài)分布還是學(xué)生氏分布。判斷正確了，問(wèn)題就解決了一大半。最后，要將假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果用文字表示出來(lái)，如接受原假設(shè)時(shí)，可以說(shuō)“在給定的顯著性水平下樣本數(shù)據(jù)不足以說(shuō)明原假設(shè)不成立”；當(dāng)拒絕原假設(shè)時(shí)，可以說(shuō)“在給定的顯著性水平下樣本數(shù)據(jù)顯示原假設(shè)不成立”。又如，給出某公司800筆應(yīng)收賬款按金額和賬目到期時(shí)間分列的數(shù)據(jù)表格，問(wèn)抽樣結(jié)果是否顯示應(yīng)收賬款金額與賬目到期時(shí)間著兩個(gè)因素相互之間有影響？讓學(xué)生判斷，是作獨(dú)立性檢驗(yàn)還是作方差分析。適當(dāng)時(shí)候，讓學(xué)生自己總結(jié)這兩種方法的區(qū)別點(diǎn)。

3.及時(shí)幫助學(xué)生歸納整理已學(xué)過(guò)的知識(shí)。一個(gè)階段教學(xué)后，將所學(xué)方法用表格結(jié)構(gòu)、樹(shù)形結(jié)構(gòu)或鉤連表結(jié)構(gòu)進(jìn)行歸納整理，幫助學(xué)生從形式到內(nèi)容梳理知識(shí)，必要時(shí)還應(yīng)將方法之間的邏輯關(guān)系標(biāo)明。在教師作出示范后，就可以要求學(xué)生也照此來(lái)整理。這種方法不僅可以用來(lái)整理應(yīng)用方法，還可以用來(lái)整理數(shù)學(xué)概念。

例如，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，講授了區(qū)間估計(jì)后，可以要求學(xué)生將不同類(lèi)型的區(qū)間估計(jì)計(jì)算公式列出來(lái)。一種可能的方式是：?jiǎn)慰傮w均值或兩個(gè)總體的均值，再分為正態(tài)總體或非正態(tài)總體，再分為大樣本還是小樣本，再分為總體方差已知或未知。在博弈論中，按靜態(tài)還是動(dòng)態(tài)來(lái)分，再按信息完全和不完全來(lái)分，再按信息完美還是不完美來(lái)分，每種類(lèi)型的博弈歸納出幾種典型的模型。在運(yùn)籌學(xué)中，講授了網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃后，讓學(xué)生按邊上的賦權(quán)情況來(lái)分類(lèi)。如一個(gè)權(quán)的，屬于什么類(lèi)型的問(wèn)題，或可以提出哪些類(lèi)型的問(wèn)題；兩個(gè)權(quán)的，又可以提出哪些問(wèn)題，各自又有哪些方法來(lái)解決。

有時(shí)，通過(guò)歸納總結(jié)，還可以引導(dǎo)同學(xué)自己提出新問(wèn)題。例如，在最小費(fèi)用流問(wèn)題中，是滿足容量約束，達(dá)到費(fèi)用最小。可不可以讓費(fèi)用滿足約束，使容量達(dá)到最小？

4.引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)。在每次引入或介紹新方法時(shí)，不要開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，直接說(shuō)出解決的方法。可以要讓學(xué)生和你一起來(lái)思考，以問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)新知識(shí)點(diǎn)的引入。教師備課時(shí)材料要充分，啟發(fā)學(xué)生用類(lèi)比、歸納等方法，找出可能解決問(wèn)題的幾種途徑。當(dāng)新方法介紹后，再要求學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，找出差距。這樣，把新知識(shí)的引入，處理成學(xué)生判斷、發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的過(guò)程，把被動(dòng)接受變?yōu)橹鲃?dòng)發(fā)現(xiàn)，同時(shí)也提供了一次學(xué)生在教師幫助下進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)踐過(guò)程。

例如，在統(tǒng)計(jì)學(xué)課程中講授了擬合優(yōu)度檢驗(yàn)后，指出卡方檢驗(yàn)實(shí)際上就是考察兩個(gè)分布在某些離散點(diǎn)上密度函數(shù)值的加權(quán)離差平方和。當(dāng)這個(gè)值很大時(shí)顯然這兩個(gè)分布的密度函數(shù)曲線擬合很差。接著，在介紹獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，先指出，我們希望能用類(lèi)似擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的方法來(lái)解決。同時(shí)提醒同學(xué)注意，獨(dú)立性檢驗(yàn)所給出的數(shù)據(jù)表，實(shí)際上是一個(gè)兩維的頻數(shù)分布表，它只代表了一個(gè)分布函數(shù)的信息。而擬合優(yōu)度檢驗(yàn)需要比較兩個(gè)分布函數(shù)。那么，另一個(gè)分布函數(shù)（即理論分布函數(shù)）在哪里？

我們看下面的例子：在對(duì)某城市家庭的社會(huì)經(jīng)濟(jì)特征調(diào)查中，調(diào)查者同時(shí)想確定家庭的電話擁有量與汽車(chē)擁有量是否獨(dú)立。該公司對(duì)10000戶家庭組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本進(jìn)行調(diào)查，獲得資料如下表。設(shè)顯著性水平為0.01。

顯然，數(shù)據(jù)只給出一個(gè)樣本的分布情況。那么，理論分布又在哪里呢？

在課堂教學(xué)中，面對(duì)這樣的提問(wèn)，同學(xué)大都會(huì)感到很困惑。而這時(shí)，可以強(qiáng)調(diào)我們?cè)僭O(shè)是“電話擁有量與汽車(chē)擁有量是相互獨(dú)立的”，并進(jìn)而給出提示：假如原假設(shè)成立，那么，數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)哪些現(xiàn)象？讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這樣的結(jié)論，即“電話的擁有量為0，1或2的家庭，其汽車(chē)的擁有量分布應(yīng)該彼此相似”，從而得出理論分布的計(jì)算方法。這樣，獨(dú)立性檢驗(yàn)的問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為一個(gè)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的問(wèn)題，即把一個(gè)新問(wèn)題通過(guò)合適的轉(zhuǎn)換變?yōu)橐粋€(gè)已經(jīng)掌握了的“舊”問(wèn)題。同樣的方式也可以用于博弈論中關(guān)于“海薩尼轉(zhuǎn)換”的教學(xué)。

結(jié)論

如前所述，大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，不光是需要講授數(shù)學(xué)方法，更應(yīng)多一點(diǎn)對(duì)于應(yīng)用能力的培養(yǎng)。而這當(dāng)中，尤以對(duì)問(wèn)題的判斷更顯重要。本文雖然提出了一些應(yīng)予關(guān)注的方面，但還需留待實(shí)踐來(lái)證明。

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作者單位:上海對(duì)外貿(mào)易學(xué)院商務(wù)信息學(xué)院上海