語義真值在謂詞邏輯中的運用

2012-04-29 00:00:00唐曉陽蔡愛國

群文天地 2012年6期

摘要：討論了謂詞邏輯的語義真值情況，闡明了邏輯學(xué)中數(shù)學(xué)函數(shù)概念的引入，探討了量詞二次函數(shù)概念的產(chǎn)生，得到了三條定理：謂詞表達(dá)的語義真值是函數(shù)；函數(shù)具有延展性，如果函數(shù)f和函數(shù)g有著相同的延展，那么f=g；謂詞表達(dá)是一次函數(shù)，自變量為物體輸出真值；真值連接函數(shù)為一次函數(shù)，自變量為真值輸出真值；量詞為二次函數(shù)，自變量為真值函數(shù)輸出真值。

關(guān)鍵詞：語義真值；謂詞邏輯；函數(shù)

語義真值在謂詞邏輯中的運用是弗雷格的一個重大發(fā)現(xiàn)，他成功的把數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念引入到邏輯中，從而使得許多問題迎刃而解。本文就數(shù)學(xué)函數(shù)是如何引入到邏輯學(xué)中的，以及如何形成真值連接函數(shù)等問題進(jìn)行了探討，并研究了與其相關(guān)的定理。

1．純數(shù)學(xué)角度的函數(shù)（function）

試舉一個簡單的函數(shù)“y=3x”，那么這里y就是x的函數(shù)。當(dāng)x取不同的自然數(shù)時候，我們也會得到不同的y。這里的x我們就稱之為函數(shù)的自變量。所以自變量是1，得到3；自變量是2，得到6；自變量是3，得到9......我們可以把這個函數(shù)表達(dá)成下面這種形式：

{（0，0），（1，3），（2，6）（3，9），（4，12），（5，15）.......}

我們把這種形式稱之為函數(shù)的延展。y=x可以稱之為“一個自變量的函數(shù)”，當(dāng)然也可以有“兩個自變量的函數(shù)”，如：z=x+y。這里有兩個自變量，要得到函數(shù)的結(jié)果就必須同時給x，y分別一個自然數(shù)，運用上面的形式可以表達(dá)成

{（0，0，0），（1，0，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，4）.....}

回顧一下函數(shù)的整個運作過程，例如“y=3x”，那么當(dāng)我們?nèi)為1的時候，1*3=3，所以y=3.當(dāng)我們?nèi)為2的時候，2*3=6，所以y=6.依次類推3*3（y=9），4*3（y=12）。我們可以看出這種表達(dá)實際上就是“y=3（）”，然后我們把一個個自然數(shù)添入到（）里面去。這就是未知數(shù)x的本質(zhì)意義，x可以代表任何自然數(shù)，相當(dāng)于一個（），而為了方便數(shù)學(xué)運算，我們引入了x這個符號代表這一意義。這樣，當(dāng)我們不給x取值的時候，整個函數(shù)就沒有辦法輸出結(jié)果。而當(dāng)寫下“y=3x”的時候，本質(zhì)上還是“y=3（）”。這里x沒有任何的輸入，所以在弗雷格的觀點中，函數(shù)是不飽和或者不完整。與此相對的，特有名詞和陳述句子是飽和的。這里我們就解釋了弗雷格眼中的數(shù)學(xué)函數(shù)概念，下面解釋如何用這一觀點來看連接詞。

2．連接詞（connective）

考慮下面一個陳述連接詞，否定“-”，如果給這個陳述連接詞加上一個“p”，變成“-p”那么當(dāng)“p”為真的時候“-p”就為假，“p”為假的時候，“-p”就為真。那么我們可以把此表達(dá)成：

- {（T，F(xiàn)），（F，T）}

這樣就變成了一個擁有有限延展的函數(shù)，自變量是真值，輸出結(jié)果也是真值。像這種輸出和輸入結(jié)果都是真值的函數(shù)我們稱之為真值連接函數(shù)，同理利用邏輯真值知識，我們可以寫出其余陳述表達(dá)詞的函數(shù)延展。

{（F，F(xiàn)，F(xiàn)），(F，T，F(xiàn))，(T，F(xiàn)，F(xiàn))，(T，T，T)}

V {(F，F(xiàn)，F(xiàn))，(F，T，T)，(T，F(xiàn)，T)，(T，T，T)}

P→Q {(F，F(xiàn)，T)，(F，T，T)，(T，F(xiàn)，F(xiàn))，(T，T，T)}

P?Q {（F，F(xiàn)，T），(F，T，F(xiàn))，(T，F(xiàn)，F(xiàn))，(T，T，T)}

這里討論了用函數(shù)的觀點來看連接詞，下面討論謂詞的語義真值和函數(shù)在其中發(fā)揮的作用。

3．謂詞和量詞（predicate and quantifier）

首先讓我們考慮下面一個表達(dá)：

① .....是偶數(shù)

通過上面數(shù)學(xué)函數(shù)的知識，我們發(fā)現(xiàn)這個表達(dá)不飽和，有一個空缺的地方等待數(shù)值的添入，我們隨意填進(jìn)去幾個數(shù)字

② 2是偶數(shù)

③ 3 是偶數(shù)

④ 4 是偶數(shù)

很明顯，“2是偶數(shù)”和“4是偶數(shù)”是正確的，也就是說語義真值為真。“3是偶數(shù)”是錯誤的，也就是說語義真值為假。那么順著這個思路，我們用函數(shù)延展形式來表達(dá)①

{（0，T），(1，F(xiàn))，（2，T），（3，F(xiàn)），(4，T)，(5，T)......}

所以①可以看成是一個函數(shù)，自變量是自然數(shù)，得出的結(jié)果是真值。

同樣的我們可以再舉一個例子

⑤ .......是圓的

那么用同樣的表述方式可以將此寫成：

{（網(wǎng)球，T），（足球，T），（籃球，T），（保齡球，T），（書桌，F(xiàn)）}

那么我們可以看出，⑤也是一個函數(shù)，自變量是生活中物體，輸出結(jié)果是真值。一般來說謂詞邏輯總是一個自變量為物體，輸出結(jié)果為真值的函數(shù)。弗雷格把函數(shù)的輸出結(jié)果總是真值的函數(shù)稱之為真值函數(shù)（concept）。

這里，我們發(fā)現(xiàn)一個謂詞表達(dá)中起到?jīng)Q定真值決定作用的是函數(shù)，那么得到定理1:

定理1：謂詞表達(dá)的語義真值是函數(shù)

又因為我們知道函數(shù)是延展性的，并且結(jié)合陳述邏輯中的定理“替換一個復(fù)雜表達(dá)其中一部分表達(dá)成另外一個具有相同語義真值的表達(dá)，該復(fù)雜表達(dá)的語義真值保持不變”.我們可以得出定理2:

定理2：函數(shù)具有延展性：如果函數(shù)f和函數(shù)g有著相同的延展，那么f=g

這樣我們就得到了謂詞邏輯的兩條公式。下面讓我們看謂詞邏輯中比較特殊的量詞。首先讓我們看一個全稱量詞的情況。首先確定全稱量詞的范圍.

{李白，杜甫，老子，孔子}

然后是謂詞表達(dá):

⑥ 所有人都是中國人

用函數(shù)語言來表達(dá)就是： x：所有人；Gx:.....是中國人。所以⑥就表達(dá)成（ x）Gx。這里就出現(xiàn)了兩個函數(shù)，先選一個人物帶入其中試試看。取值“x=李白”，很明顯李白是中國人，所以Gx語義真值為T。到了這一步?jīng)]有辦法進(jìn)行下去，因為 x是所有的人，而這里只討論了李白的情況，所以接下來把全稱量詞范圍中剩余人名寫出來，很明顯其余情況Gx也是T。那么所有的x得到的Gx都是真， x的語義真值也是真。讓我們把 x用函數(shù)延展表達(dá)出來：{（TTTT，T）}，這里的函數(shù)是多對一的情況。

上述過程可以看出，全稱量詞表達(dá)也是一個函數(shù)，但是它是第二步計算的函數(shù)。必須把其它函數(shù)的真值全部算出來才能考慮全稱量詞的函數(shù)。同理，一個存在量詞表達(dá)也是第二步計算的函數(shù)。弗雷格把量詞表達(dá)稱之為二次函數(shù)，二次函數(shù)的自變量為真值函數(shù)（concept）。現(xiàn)在回過頭來看（ x）Gx這個函數(shù)，我們可以先列出高等級的二次函數(shù)形式，把一次函數(shù)看成自變量。于是得到：

（ x）（）

那么如果 x要為真，那么 x的所有自變量都必須要為真。而我們又知道 x的自變量是真值函數(shù)Gx，列出Gx的函數(shù)延展形式：

{（李白，T），（杜甫，T），（老子，T），（孔子，T）}

那么這里Gx中所有自變量輸出值都是T，因此 x的所有自變量都是T。因為 x的所有自變量都是T，所以 x為T。這樣就利用了二次函數(shù)的概念，重新解釋了一下該命題。下面讓我們把命題做一個小小改動，來看一下存在量詞。

存在量詞取值范圍：{李白，杜甫，孔子，愛迪生}，表達(dá)如下：

⑦ 有些人是中國人。

同樣我們可以表達(dá)成（ x）Gx。那么（ x）（）為真的條件就是存在自變量為真的情況。下面列出Gx的函數(shù)延展。

{（李白，T），（杜甫，T），（老子，T），（愛迪生，F(xiàn)）}

盡管Gx的輸出結(jié)果有一個F，但是它滿足了 x的自變量至少有一個為真的情況，所以 x的語義真值為真。

通過學(xué)習(xí)這些最基本的函數(shù)在邏輯中的運用。便可歸納成定理3：

定理3：謂詞表達(dá)是一次函數(shù)，自變量為物體輸出真值；真值連接函數(shù)為一次函數(shù)，自變量為真值輸出真值；量詞為二次函數(shù)，自變量為真值函數(shù)輸出真值。

了解了語義真值在謂詞邏輯中的運用，如能結(jié)合語義真值在陳述邏輯中的運用，便可對語義真值這一概念有一個較為全面的認(rèn)識。