約束多傳感器線性系統的RMPC容錯控制
2012-04-29 00:00:00高學偉劉曉華
計算技術與自動化 2012年3期
摘要：針對一類約束多傳感器線性故障系統，提出了一種基于魯棒預測控制策略的容錯控制方案.首先為多傳感器線性系統設計了觀測器，然后離線設計不變集列，使得時變的狀態估計誤差存在于相應的不變集列中，利用不變集的理論提出了一種新的故障檢測的方法，最后基于魯棒預測控制策略為故障系統設計了容錯控制器，給出了閉環系統魯棒穩定性的證明.仿真結果證明了方法的可行性。
關鍵詞：傳感器故障；不變集列；故障檢測；魯棒MPC；容錯控制
中圖分類號：TP272 文獻標識碼：A
RMPC Fault Tolerant Control of Constrained Multisensor Linear Systems
GAO Xuewei，LIU Xiaohua
（School of Mathematics and Information， Ludong University， Yantai264025，China）
Abstract：In this paper， for a class of constrained multisensor linear fault system， we propose a faulttolerant control scheme based on robust predictive control strategy.Firstly， the observer is designed for multisensor linear systems，then， invariant set sequences is designed offline， and the timevarying state estimation error exists in the corresponding invariant set sequences. A new fault detection method is proposed based on the invariant set theory. Lastly， we design faulttolerant controller for fault system based on robust predictive control strategy， and the closedloop system robust stability is proved. The simulation results show that the method is feasible.
Key words：sensor fault；Invariant set sequences；fault detection；robust MPC；faulttolerant control
1引言
現代大系統的大規模化、復雜化使得其一旦發生故障就會造成非常大的損失，容錯控制系統的研究日益重要[1].模型不確定性和外界擾動以及具有約束的輸入變量和狀態變量廣泛存在于實際系統中，使得魯棒容錯預測控制的研究更具有實際意義。
基于模型預測控制（MPC）的容錯控制研究在近十年有了一定的發展，1998年，約可夫斯基在文獻[2]中提出預測控制本身的一些容錯特性，標志著基于MPC的容錯控制研究的開始.文獻[3]利用預測控制能夠很好的處理約束的能力，為一類多模型切換系統設計了容錯控制器。文獻[4]利用魯棒預測控制對線性不確定系統進行了容錯控制器的分析與設計文獻[5]針對具有不確定項以及輸入約束的非線性對象，給出了一種魯棒預測控制器的設計方案，并且滿足穩定性.并用這種控制器設計方案對于故障系統設計了容錯控制器.文獻[6]為具有狀態和輸出干擾的約束線性系統提出了一種故障檢測的方法，并且基于輸出反饋預測控制原理實現了容錯控制. 不足在于，此方法需要設計觀測器“足夠長”的時間后設計預測容錯控制器，以保證觀測器誤差存在于事前計算好的不變集里，這就使得容錯控制器的設計與觀測器的設計不能同步。
本文考慮觀測器誤差在時變的情況下，利用文獻[7]設計不變集序列的方法，使得觀測器誤差存在于相應的不變集序列中，提出一種新的故障檢測方法以及容錯控制策略，解決了觀測器設計與容錯控制器設計不能同步的問題。
2問題描述
考慮如下線性離散時不變系統
x+=Ax+Bu+w（1）
其中x∈Rn， u∈Rm分別表示系統的狀態和控制輸入，x+∈Rn為系統的后繼狀態，w∈W是未知的系統干擾，A∈Rn×n，B∈Rn×m為常數矩陣。
考慮如下多傳感器故障模型
yt=∏I（Cix+ηi）+（Ipi—∏i）ηFi，
i=1，2，…，M（2）
其中yi∈Rpi為第i組傳感器的測量輸出，ηi，ηFi為未知的輸出干擾，Ipi為單位矩陣，Ci∈Rpi×n為常數矩陣。ηiηFi滿足
ηi∈
瘙 綃 i，ηFi∈
瘙 綃 i，其中
瘙 綃 i，
瘙 綃 Fi為緊的凸集且滿足下面條件
瘙 綃 iRpi，
瘙 綃 FiRpi對任意i=1，2…M。
故障矩陣如下：
Πi=Ipi 所有傳感器正常
diagπi1，…πipi其他（3）
其中πij∈0，1，對j=1，2…pi，πij<1代表第i組傳感器組中第j個傳感器出現故障，πij=0代表傳感器停止。
本文的控制目標：在滿足約束（x，u）∈X×U的情況下，為系統（1）提出一種故障檢測的方法，并且設計一個有效的主動容錯控制器，使系統具有魯棒穩定性。
假設1：（A，B，Ci）為可穩的，（A，Ci）為可觀的。
定義 1[8]集合A包含原點，并且A為凸集，A為緊集，那么稱集合A為C集。
定義 2[9] 若帶干擾w系統的系統x+=f（x，w）對任意的x∈A，可以得到f∈A，則稱集合A對系統x+=f（x，w）是魯棒不變的。
計算技術與自動化2012年9月
第31卷第3期高學偉等：約束多傳感器線性系統的RMPC容錯控制
3觀測器設計
對應于第i組傳感器，我們給出相應的狀態觀測器如下：
+i=Ai+Bu+Li（yi—Cii）（4）
UPi=i+Giyi—Cii （5）
其中i∈Rn是當前的觀測器狀態，+i∈Rn為后繼觀測器狀態，UPi∈Rn為更新的觀測器狀態，Li按如下規則選取：使得ρ（ALi）<1，其中ALi=A—LiCi.更新增益矩陣Gi∈Rn×pi為實矩陣。
假設第i組傳感器是正常的（Πi=Ipi），利用（2），（4），我們得到狀態估計以及狀態估計誤差如下
+i=Ai+Bu+LiCii+Liηi （6）
+i=ALii+（w—Liηi）（7）
其中狀態估計誤差定義：i=x—i.
為使系統正常運行，傳感器故障發生后，需要運用相應的故障檢測的方法檢測出現故障的傳感器，之后對正常的觀測器狀態進行重構.我們采用文獻[10]中的狀態切換方法以及狀態重構的方法，對經過故障檢測正常的傳感器進行狀態重構如下：
UP*=∑l∈HλlUPi （8）
其中H與λl選取規則如下：H=l∈1，2，…，M：第l組傳感器正常且∑l∈Hλl=In.
為了后面的討論，我們給出“重構的”更新狀態估計誤差
UP*=x—UP*=∑l∈Hλl[（In—GlCl）l—Glηl] （9）
4閉環系統的不變集序列
采用文獻[7]中的方法，首先給出系統（1）的標稱系統如下
+=A+B （10）
其中∈Rn為標稱系統的狀態變量，∈Rm為標稱系統（10）的控制輸入。
設計輸出反饋控制器的方法設計控制器如下：
u=+K（UP*—） （11）
K按如下規則選取：使得ρ（ALk）<1，其中ALk=A+BK.
首先給出系統跟蹤誤差z、狀態跟蹤誤差ei、更新的狀態跟蹤誤差eUPi以及重構的更新狀態跟蹤誤差eUP的定義
z=x— （12）
ei=i— （13）
eUPi=UPi—（14）
eUP=z—UP （15）
4.1估計誤差
對于系統（7），令i=w—Liηi，則原系統可以表示為
+i=ALii+i （16）
其中i存在于一個C—集Δ—i=W（—Li
瘙 綃 i）.
由文獻[7]，存在集列ij，以C—集i0為初始集，收斂于C—集i
SymboleB@ ，ij對于系統（16）魯棒不變的并且滿足下面的條件
j+1i=ALijiΔ—i（17）
∞i=ALijiΔ—i（18）
利用（9），我們可以定義一個C—集序列UP（j）如下，
UP（j）=UH∈PMl∈HλlIn—GlClij
—Gl
瘙 綃 l（19）
其中l（k）∈ki，l∈H，PM={1，2…M}.
4.2系統跟蹤誤差
由（9）～（12），我們可以得到跟蹤誤差系統如下
z+=AKz—BKUP+w （20）
令zδ=—BKUP+w，則系統（20）可以轉換為
z+=AKz+zδ （21）
其中zδ∈Zδ，Zδ為c—集如下
Zδ=（—BK）UP（j）W
由文獻[7]，存在集列Zj，以C—集Z0為初始集，收斂于C—集Z
SymboleB@ ，Zj對于系統（21）魯棒不變的并且滿足下面的條件
Zj+1=AKZj（—BK）UP（j）W（22）
Z
SymboleB@ =AKZ
SymboleB@ （—BK）UP（j）W（23）
4.3傳感器正常條件下的狀態跟蹤誤差
把（11），（12），（15）帶入（6）得到
+i=Ai+B+BK（z—UP*i）+LiCii+Liηi（24）
由（10），（12），（13），（16）可以得到估計跟蹤誤差ei滿足下面的等式
e+i=AKei+（BK+LiCi）i—BKUP*+Liηi （25）
令δi=BK（z—UP*）+LiCii+Liηi，那么系統（25）可以轉換為
e+i=AKei+δi （26）
其中δi∈Δi，Δi為C—集如下
Δi=（BK+LiCi）Sji（—BK）UP（j）Li
瘙 綃 i由文獻[7]，存在集列ji，以C集S0i為初始集，收斂于C集S
SymboleB@ i，Zj對于系統（26）魯棒不變的并且滿足下面的條件
S
SymboleB@ i=AkS
SymboleB@ iΔi（27）
Sj+1i=AkSjiΔi（28）
把（9），（12）帶入（15）我們可以得到
eUP=z—UP （29）
利用（29），我們可以定義一個C—集序列SUP（j）如下
SUP（j）=ZjUP（j） （30）
定理1：假設原系統初始狀態為x（0），標稱系統初始狀態為（0），與第i組傳感器相對應的觀測器狀態為i（0），狀態估計誤差初始狀態為i（0），滿足下面的條件
i（0）=x0—i（0）∈0i
z（0）=x0—（0）∈Z0
ei（0）=i（0）—（0）∈S0i
那么可以得到下面的結果.
（i）UP（k）∈UP（k）
（ii）z（k）∈Zk，x（k）∈（k）Zk
（iii）ei（k）∈Ski，eUP*i（k）∈SUP*（k）
證明：（i）Ski對系統（16）是魯棒不變的，那么，由i（0）∈i0可以得到i（k）∈ik，這樣由UP（k）以及UP（k）的構造方法，易得UP（k）∈UP（k）。
（ii）由（i）的證明得到UP（k）∈UP（k），由Zδ的構造可以得到zδ（k）∈Zδ，而Zk對系統（21）是魯棒不變的，那么由z（0）∈Z0可以得到z（k）∈Zk，而由式子（12）可得x=+z，這樣對k≥0，容易得到x（k）∈（k）Zk。
（iii）由i（k）∈ik、UP（k）∈UP（k）以及Δi的構造，我們容易得到δi∈Δi，而Ski對系統（26）是魯棒不變的，那么由ei（0）∈S0i可以得到ei（k）∈Ski，而由eUP*i（k）以及SUP（k）的構造方法，容易得到eUP*i（k）∈SUP*（k）。
證畢。
5故障檢測方法以及魯棒MPC容錯控制
5.1故障檢測方法
若第i組傳感器正常的情況下，將（2）、（5）帶入（14）得到eUPi=ei+γi，其中γi=GiCii+Giηi，這樣我們可以定義一個集列{SUP（k）i，使得第i組傳感器正常的情況下有eUPi（k）∈SUP（k）i，其中SUP（k）i定義如下
SUP（k）i=SkiGiCikiGi
瘙 綃 i（31）
若第i組傳感器發生故障的情況下，由式子（2）（13）（14）得到“故障模式”下更新的估計跟蹤誤差eUP，Fi如下
eUP，Fi=[In+Gi（∏i—Ipi）Ci]ei+
Gi（∏i—Ipi）+Gi∏iCii+
Gi[∏iηi+（Ipi—∏i）ηFi]（32）
這樣，我們可以利用（32）構造一個集列{SUP，F（k）i}，使得eUP，Fi（k）∈SUP，F（k）i，SUP，F（k）i定義如下
SUP，F（k）i=[In+Gi（∏i—Ipi）Ci]Ski
Gi（∏i—Ipi）Gi∏iCiki
Gi∏i
瘙 綃 iGi（Ipi—∏i）
瘙 綃 Fi
其中的定義在下一部分給出.而Ski，ki，
瘙 綃 i，
瘙 綃 Fi的定義如前述。
假設2 對任何的i，k，SUP（k）i∩SUP，F（k）i為空集。
假設3 第一個故障發生前，系統已經正常運行足夠長時間以保證所有的估計誤差存在于不變集列里。
定理2對任意時刻k以及i∈1，2…M，若eUPi（k）∈SUP（k）i，那么第i組傳感器是正常的，否則，第i組傳感器出現了故障。
5.2魯棒MPC容錯控制
考慮標稱系統（10）在k時刻的優化問題N（，，k）如下
V0N（，，k）=min VN（，）|∈N（，k）
VN（，）=∑N—1k=0ζ（，）+Vf（（N）），
ζ（，）=（1/2）TP+（1/2）TQ，Vf（）
=（1/2）TR
N（，k）=|（k）∈UΘKSUP（k），
（k）∈=XΘZk，（N）∈Xf
其中P，Q，R為正定權矩陣，XfXΘZN為終端約束集。
這樣，N（，，k）的解如下0（，k）=arg min VN（，）|∈N（，k）選取0（0，，k）的第一個標0（0，，k）作為標稱系統的控制輸入。
令（，0）為N（，，k）的最優解，那么由（11），我們可以得到重構后的控制輸入u=0（0，，k）+K（UP*—*）
定理3應用故障檢測方法后，對正常的傳感器進行狀態重構，觀測器系統是魯棒穩定的。
證明：對觀測器系統在k時刻應用故障檢測方法后，把正常的傳感器進行狀態重構后的優化問題P*N（UP*，k）如下
V*N（UP*，k）
=min{V0N（，）|UP*∈SUP*（k）}
=min（，）{VN（，）|UP*∈SUP*（k），
∈N（，k）}
令（x*，u*）（UP*，k）為P*N（UP*，k）的最優解.由文獻[7]我們可以得到：
c1|x*（（UP*，k）|2≤V*N（UP*，k）
≤c2|x*（UP*，k）|2（34）
V*N（UP*，k+1）
≤V*N（UP*，k）—c1|x*（UP*，k）|2（35）
把V*N（UP*，k）=V0N（x*（UP*，k），k）帶入（35）我們可以得到
V0N（x*（UP*+，k+1），k+1）
≤V0N（UP*，k）—c1|x*（UP*，k）|2
由（34）可以得到
—|x*（UP*，k）|2≤—（1/c2）V0N（UP*，k）
帶入上式得
V0N（x2（UP*+，k+1），k+1）
≤（1—c1/c2）V0N（UP*，k）≤V0N（UP*，k）
這樣，我們得到了觀測器系統是魯棒穩定的.
證畢.
6仿真
考慮如下二重積分系統
x+=1101x+11u+w
采樣時間為0.1s，W=w∈R2|w≤0.1，考慮四個傳感器的情況如下
Ci=[1，0]，i=1，2，3，4，
瘙 綃 1=
瘙 綃 F1={η∈R||η|≤0.001}，
瘙 綃 p=
瘙 綃 Fp={η∈R||η≤0.1|}
其中p=2，3，4，狀態以及控制約束集分別為X=x∈R2|xi≤15，i=1，2，U=u∈R|u≤0.4.權矩陣作如下選取如下
Q=I，R=10—5，P=11.51341.05231.05231.1063G1=0.99910.9503，G2=G3=G4=0.68750.6250， Li=AGi，i=1，2，3，4
x（0）=[20；—20]，
u（0）=0.
仿真結果如下：
time/s圖1狀態隨時間的變化曲線
time/s圖2控制輸入
由圖1、圖2可以看出，當出現傳感器故障時，本文基于魯棒MPC的容錯控制算法能夠保證閉環系統穩定運行。
7結論
本文在觀測器誤差為時變情況下，針對一類離散約束多傳感器線性系統，設計了不變集列，使得觀測器誤差存在于相應的不變集序列中，利用設計不變集序列的方法提出了一種新的故障檢測的方法，并且給出了閉環系統魯棒穩定性的證明，仿真結果驗證了方法的可行性。
參考文獻
[1]周東華， Ding X. 容錯控制理論及其應用[J].自動化學報，2000，26（6）：788—797.
[2]JM Maciejowski. The implicit daisyChaining property of constrained predictive control[J].Applied Mathematics and Computer Science，1998，40（8）：695—711.
[3]M Gopinathan， JD Boskovic， A Multiple Model Predictive Scheme for Fault—Tolerant Flight Control Design[C].Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision Control ，Florida ， USA：IEEE，1998：1376—1381.
[4]Chen XueQin， Geng YunHai. Fault—tolerant control of linear uncertain systems using
