一類離散多時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和成本控制
2012-04-29 00:00:00李陽
計算技術(shù)與自動化 2012年3期
摘要：給出一類不確定范數(shù)有界離散多時滯系統(tǒng)，采用Lyapunov方法，結(jié)合線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)，論證魯棒穩(wěn)定性的一個判據(jù)，設(shè)計出閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒控制器，進一步給出可保成本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。最后利用matlab軟件求解LMI，仿真案例驗證了該方法的正確性和有效性。
關(guān)鍵詞：離散系統(tǒng)；多時滯；魯棒穩(wěn)定；線性矩陣不等式（LMI）
中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A
Stability Analysis and Guaranteed Cost Control of Discretetime Systems with Multiple Time Delays
LI Yang
（College of Sciences， Liaoning Shihua University， Fushun113001，China）
Abstract：Focusing on a class of normbounded discretetime uncertain systems with multiple delay， by using Lyapunov method and linear matrix inequalities （LMI），this paper presents new sufficient conditions to guarantee the robust stability of the system， and then designs a state feedback robust controller for the closed loop system. This article further proposed the structure of the guaranteed cost .In the end， by using matlab software， a simulation case is provided to illustrate the correctness and the effectiveness of the proposed theoretical results.
Key words：discretetime systems；multiple delay；robust stability；linear matrix inequalities （LMI）
1引言
實際控制系統(tǒng)中產(chǎn)生的不確定性和時滯將導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降，近十年，不確定時滯系統(tǒng)魯棒控制研究倍受關(guān)注[1—3]，不確定離散多時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究和成本界取得新的成果[4—6]。使用線性矩陣不等式（LMI）成為研究不確定系統(tǒng)的有效技術(shù)，文獻[7]獲得了兩類范數(shù)有界不確定PWA系統(tǒng)穩(wěn)定性標準。然而，基于LMI的不確定多時滯離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和可保成本的研究較少。最近，文獻[8]解決了一類帶有單輸入輸出時滯不確定系統(tǒng)的保成本控制，本文推廣了這一系統(tǒng)，獲得了多時滯離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和可保成本的LMI方法，進行算例分析。
2問題描述和引理
2.1 問題描述
考慮如下不確定多時滯離散系統(tǒng)：
x（k+1）=（A+ΔA）x（k）+∑Li=1（Ai+ΔAi）x（k—τi）+（B+ΔB）u（k） （1）
這里x（k）∈Rn是狀態(tài)向量，τi是滿足0<τi≤τ*的時滯，A，Ai，B是已知矩陣，ΔA，ΔAi，ΔB表示時變不確定的實值矩陣，其形式為（ΔA，ΔAi，ΔB）=DF（E，Ei，Eb），F(xiàn)為滿足FTF≤I的范數(shù)有界時變矩陣。各矩陣均維數(shù)適當(dāng)。
與系統(tǒng)（1）對應(yīng)的二次成本函數(shù)如下：
J=∑∞k=1[xT（k）Qx（k）+uT（k）Ru（k）] （2）
其中Q>0，R>0，為已知矩陣。
目的是設(shè)計一個無記憶狀態(tài)反饋控制器u（k）=Kx（k） ，使得系統(tǒng)（1）的閉環(huán)系統(tǒng)
x（k+1）=x（k）+∑Li=1ix（k—τi） （3）
漸進穩(wěn)定，進而確定成本函數(shù)的較小上界。這里，=A+BK+ΔA+ΔBK。
針對系統(tǒng)（1），選取Lyapunov函數(shù)為
V（x（k））=xT（k）P1x（k）+
∑Lj=1∑τji=1xT（k—i）Wjx（k—i） （4）
其中 P1>0，Wj>0。
計算技術(shù)與自動化2012年9月
第31卷第3期李陽：一類離散多時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和成本控制
2.2定義和引理
定義對系統(tǒng)（1）和成本函數(shù)（2），如果存在狀態(tài)反饋控制器u（k）和正數(shù)J，使得閉環(huán)系統(tǒng)（3） 漸進穩(wěn)定，且J≤J，則稱J為可保成本，u（k）為保成本控制律。
引理[8]給定矩陣D，E 和維數(shù)適當(dāng)?shù)膶ΨQ矩陣 G ，對滿足FTF≤I的矩陣F，不等式G+DFE+ETFTDT<0成立的充要條件是存在實數(shù)ε>0 使得G+εDDT+ε—1ETE<0。
3系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和成本控制
記[Ai]=（A1，…，AL），{Φi}=diag（Φ1，…，ΦL）。
定理1假設(shè)存在矩陣P1>0，Wj>0（j=1，2，…，L），P2，P3，K，使得下面矩陣不等式成立
ΩP2—PT3AP1+P3+PT3—[i]TP2—[i]TP3—{Wj}<0（5）
其中Ω=∑Lj=1Wj+Q+KTRK—P1—TP2—PT2。則系統(tǒng)（3）是漸進穩(wěn)定的，且可保成本J*=V（x（0））=xT（0）P1x（0）+∑Lj=1∑τji=1xT（—i）Wjx（—i）。
證明：記y（k）=x（k+1），η（k）=（xT（k），yT（k），[yT（k—τi—1）]）T，則（3）式可以表示為（，—I，[i]）η（k）=0。那么， 由（4）定義的Lyapunov函數(shù)V（x（k））沿系統(tǒng)（3）任意軌線的向前差分為
ΔV（k）=V（k+1）—V（k）=xT（k+1）P1x（k+
1）—xT（k）P1x（k）+xT（k）∑Lj=1Wjx（k）
—∑Lj=1xT（k—τj）Wj（k—τj）（6）
將（6）式中第二項改寫為
xT（k）P1x（k）=
2ηT（k）I2T00—I00[i]T0P100P2P3000Iη（k）
因此，
ΔV（k）=
ηT（k）Ω—Q—KTRKP2—PT3AP1+P3+PT3—[i]TP2—[i]TP3—{Wj}η（k），
結(jié)合（3）式，可得
ΔV（k）<—xT（k）（Q+KTRK）x（k）≤
—λmin （Q+KTRK）‖x‖2。（7）
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論，系統(tǒng)（3）是漸進穩(wěn)定的。而且，由（7）式馬上得到
xT（k）（Q+KTRK）x（k）<—ΔV（k）（8）
將（8）式兩邊從0到∞求和，結(jié)合系統(tǒng)穩(wěn)定性，就有
J≤V（x（0））=xT（0）P1x（0）+
∑Lj=1∑τji=1xT（—i）Wjx（—i）。（9）
證明完畢。
以下假設(shè)系統(tǒng)（1）的初值滿足x（—i）=Uvi，vTivi≤1，i=0，1，…，τ.其中U為給定矩陣.那么，（9）式意味著
J≤λmax UTP1U+∑Lj=1（τjλmax （UTWjU）） （10）
由于不確定矩陣的存在，（5）式中存在如[i]TP3，KTRK等較多非線性項，不適合用matlab軟件中的LMI工具箱求解。現(xiàn)繼續(xù)給出（5）式的嚴格LMI轉(zhuǎn)化形式。
定理2假設(shè)存在矩陣Q1>0，i>0，Q2，Q3，K以及實數(shù)ε>0，使得下面的線性矩陣不等式（LMI）成立
—Q1*****Q2—AQ1—BYQ3+QT3+εDDT******0—[Aii]T—{i}*****[Q1]T00—{i}****Q1000—Q—1***Y0000—**Q2Q30000—Q1*EQ1+EbY0EiWi0000—εI<0 （11）
則系統(tǒng)（3）漸進穩(wěn)定，且可保成本為J=τ∑Lj=1λmax （UTWjU）+λmax （UTQ—11U）。保成本控制律為u（k）=YQ—11。
證明 不等式（5）改寫為
Ω0000P1000—{Wi}—
I2T00—I00[i]T0P100P2P30000+（·）T<0 （12）
其中Ω0=∑Li=1Wi+Q+KTRK，假設(shè)P=P10P2P3，P—1=Q10Q2Q3，將（12）式兩邊后、前分別乘以Q100Q2Q3000I及其轉(zhuǎn)置，得到
Q1Ω0Q1+QT2P1Q2**QT3P1Q2QT3P1Q3*00—{Wi}—
Q1**Q1—Q2—Q3—QT3*0[i]T0<0（13）
設(shè)i=Q—1i，Y=KQ1，=R—1，同時注意到Q1=P—11，Q3=P—13，應(yīng)用Schur補，（13）式等價于：
—Q1******Q2—Q1Q3+QT3*****0—[ii]T—{i}****[Q1]T00—{i}***Q1000—Q—1**Y0000—*Q2Q30000—Q1<0 （14）
根據(jù)系統(tǒng)（1）和（3），考慮，i不確定性，經(jīng)簡單計算，（14）式成為
—Q1******Q2—AQ1—BYQ3+QT3*****0—[Aii]T—{i}****[Q1]T00—{i}***Q1000—Q—1**Y0000—*Q2Q30000—Q1<0
+0D00000FEQ1+EbY0[EiWi]0000+（·）T<0 （15）
由Schur補，可知（11）式成立。結(jié)合（10），成本函數(shù)為
J≤λmax UTQ—11U+τ∑Lj=1λmax （UT—1jU） （16）
證明完畢。
推論假設(shè)LMI（11）是可行的，則系統(tǒng)（1）的可保成本（16）為如下優(yōu)化問題的最優(yōu)解：
min [α+τ∑Ljβj]（17）
s.t.—αIU—Q1<0，
—βjIU—j<0 （j=1，2，…，L）.
注：可以使用LMI工具箱方便的求解優(yōu)化問題（17）.
4算例
考慮如下不確定多時滯系統(tǒng)：
A=0.70—0.50.050.8000.30.6，D=0.100.2，
B=0.300.6，E=0.200.3，
E1=（0.200.1），E2=（00.10.2）， Eb=0.4，R=0.2，L=2，τ*=2.
A1=—0.2000—0.10.100—0.2，
A2=0.20.1—0.10—0.10.10.10—0.2，
U=1.50001.50001.5，Q=100010001
應(yīng)用Matlab中的LMI工具箱求解，得
ε=0.3036 Y=[—0.0222 —0.0131 —0.0651]，
Q1=0.1215—0.00820.0671—0.00820.02330.00560.06710.00560.0652，
反饋控制器增益為：
K=（0.96010.6992—1.5890）.
S1=.65070.08730.35860.18730.56970.34830.35860.34830.3878，
S2=0.7234—0.28640.0328—0.28640.37820.13730.03280.13730.2009
此時，求解優(yōu)化問題（17）得到
α=178.6342，β1=43.5739，β2=31.4003。
目標函數(shù)值即可保成本J*=328.5728。
5結(jié)論
本文利用Lyapunov方法，不同于以往單時滯的情形，對一類范數(shù)有界不確定離散多時滯系統(tǒng)，進行了漸進穩(wěn)定性分析，獲得了閉環(huán)系統(tǒng)取得可保成本的嚴格LMI充分條件。設(shè)計了時滯無關(guān)狀態(tài)反饋控制器，通過利用凸優(yōu)化軟件LMI工具箱，很方便的求解LMI，獲得可保成本。仿真算例表明該方法的有效性。
參考文獻
[1]李琴，張慶靈，安韋春.不確定離散廣義系統(tǒng)的時滯相關(guān)非脆弱無源控制[J].控制與決策，2007，22（8）：907—911.
[2]張偉，時寶，蓋明久.不確定離散時滯廣義系統(tǒng)的參數(shù)依賴穩(wěn)定條件[J].自動化技術(shù)與應(yīng)用，2008，27（10）：4—7.
[3]Zhang， Tang. Output feedback H∞control for uncertain piecewise linear systems[J].Journal of Dynamical and Control Systems，2008，l4（1）：121—144.
[4]高會軍，王常虹.不確定離散多時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)魯棒鎮(zhèn)定[J].自動化學(xué)報，2004，30（5）：789—795.
[5]張文安，俞立，張貴軍.離散多時滯系統(tǒng)的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性分析[J].控制理論與應(yīng)用，2006，23（4）：636—639.
[6]吳江江，余世明.一類不確定多時滯離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與魯棒控制器設(shè)計[J]，自動化技術(shù)與應(yīng)用，2010，29（1）：1—3.
[7] Zhiyuan LIU， Yahui GAO， Hong CHEN. LMIbased robust control of uncertain discretetime piecewise affine systems[J]， Control Theory Appl， 2010 ，8（4）：496—502.
[8]Z.Q.Zuo. Y.J.Wang. Novel optimal guaranteed cost control of uncertain discrete systems with both state and input delays[J]. Journal of Optimization Theory and Applications， 2008，139：159—170.
