新視角下中國國債利率期限結構實證比較

摘 要：對國債利率期限結構的研究一直是金融學的重要課題之一。本文結合中國國債市場的特點，從新的視角提出了Nelson-Siegel擴展模型，即通過增加多項式的階數來擴展Nelson-Siegel模型。通過對上海證券交易所國債數據的實證分析，證明了當擴展階數為4時，該新擴展模型對國債利率期限結構的擬合效果優于常用的Nelson-Siegel模型和Svensson模型。

關鍵詞：國債利率；利率期限結構；利率曲線擬合

中圖分類號：F224 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9031（2012）11-0029-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2012.11.06

一、引言

在國民經濟運行中，利率是重要的貨幣政策工具之一；在金融市場中，利率是金融資產定價、金融套利、套期保值、金融風險管理、金融衍生產品設計等的重要決定變量之一。因此，研究利率的走勢和變化趨勢具有重要的意義和作用。在所有的金融產品中，國債以國家的信譽為保障，具有發行量大、流動性好、安全邊際高等特點，國債利率在發達國家一直是確定市場利率的重要基準利率，也是各國中央銀行用來調控宏觀經濟的重要工具之一。

二、文獻和理論綜述

利率期限結構模型是人們為了研究未來利率的趨勢所提出的預測利率的理論。利率期限結構是指債券的到期收益率與到期期限之間的關系，其中債券的到期收益率一般用零息票債券的連續復利即期利率來表示[1]。傳統的利率期限結構理論主要側重定性分析，主要有預期理論和市場分割理論[2]。由于傳統的利率期限結構理論的弊端，即無法精確預測和擬合利率未來的走勢，后來人們更多地結合數學知識來研究利率期限結構，提出了樣條函數模型、Nelson-Siegel參數擬合模型、CIR模型和仿射模型等[3]。

樣條函數法首先由Culloch（1971，1975）提出，他用多項式樣條函數作為貼現函數來構建利率期限結構模型。Nelson-Siegel（尼爾森-辛格爾）模型，又稱簡約模型，是由Nelsen和Siegel（1987）提出，后Svensson（1994）進行了擴展，該模型是通過參數化遠期利率函數的方法進行利率期限結構擬合的。CIR模型和仿射模型屬于動態模型，其采用隨機微分方程來刻畫利率的變化，然后利用參數或非參數估計得到利率的動態變化過程。本文研究的新擴展模型是在簡約模型的基礎上擴展的。

三、模型構建

（一）Nelson-Siegel模型

Nelson-Siegel模型是Nelsen和Siegel提出的一個用參數表示的瞬時遠期利率函數，然后用即期利率與遠期利率間的關系推導出即期利率，實現對利率期限結構的構造。具體來說，Nelson-Siegel模型假定遠期利率關于時間的函數形式為

其中，t為到期期限。

根據遠期利率與貼現因子之間的關系，即

可將貼現因子表示出來，這樣國債的理論價格就可以表示為

P'K=PK+？滓K

其中CtK表示t時刻國債的現金流，P'K表示債券交易價格。

通過適當的優化算法求解以下最小化問題，即可求出該模型的參數值。

再根據即期利率與遠期利率之間的關系

由（1）和（5）式可以推導出即期利率表達式為

（二） Nelson-Siegel模型的擴展Svensson模型

Nelsen和Siegel提出的模型估計的參數較少，模型計算的結果比較穩健，能夠擬合出正常、逆轉、駝峰等利率曲線的形態，因此該模型得到了廣泛的應用。但該模型仍存在不足之處，即其不能反映利率曲線的多峰形態，隨著金融市場的發展和國債發行數量的逐漸增加，該問題越來越突出[4]。后來人們改進了Nelson-Siegel模型，提出了新的更為復雜的模型-Svensson模型，即在Nelson-Siegel模型的基礎上增加了兩個參數，將遠期利率表示為

該模型表達式添加了兩個參數，使模型在利率期限結構曲線擬合效果上有了較大的提高，能夠擬合出曲線的多峰形態，曲線的靈活性、復雜性增加，擬合的精度也有了較明顯的提高。因此，該擴展模型已被多國中央銀行列為本國利率期限結構估計的官方選用方法[5]。

（三）新視角下的Nelson-Siegel擴展模型

Svensson模型是在自然指數的指數部分增加參數，進而擴展了Nelson-Siegel模型。本文將在另一個角度對Nelson-Siegel模型進行擴展，即將遠期利率的表達式擴展為

四、實證分析

（一）樣本選取

1981年恢復國債發行以來，我國國債發行和交易規模逐步擴大，國債的發行和交易機制逐步與國際接軌，國債發行和交易的市場化程度逐步提高，為形成中國市場利率提供了重要基準參考，為深入研究中國的利率期限結構提供了良好的基礎。目前，我國市場化程度較高的國債交易場所主要有上海深圳證券交易所和銀行間債券市場。其中，銀行間債券市場的交易商為銀行，單筆交易規模過大，交易間隔較長，流動性較差，而交易所國債市場則交易主體多元化，交易活躍，流動性強，國債交易價格具有連續性。因此，在本文中，我們從交易量較大、國債交易品種較為齊全的上海證券交易所選取國債樣本。筆者選取上海證券交易所2012年3月12日至2012年4月13日，存在交易的附息固定票面利率國債的周收盤數據（即每周五的收盤數據）作為樣本來進行實證分析。

（二）新視角下Nelson-Siegel擴展模型的中國國債樣本實證分析

為了驗證理論分析結果，本文通過逐漸增加高階多項式的階數和模型參數的個數，利用上交所國債樣本數據實證比較新擴展模型的擬合能力和精度。式（8）中，隨著多項式階數（即n）的增加，新擴展模型在擬合利率期限結構時計算量會逐漸增大。為了減小計算量，本文選取具有代表性的三種情況，即n=2，n=3和n=4，分析在這三種情況下，新擴展模型的擬合性質。

將5個樣本日的國債樣本的數據代入以上三個新擴展模型的參數表達式，表達出帶參數的各國債的理論價格，之后就可以將求解模型中參數的問題轉化為：使理論價格和實際交易價格最接近的最優化問題。本文通過SAS軟件編程，利用搜索算法，估計出了各模型中參數的具體數值，進而估計出了各模型的即期利率曲線表達式。利用Matlab軟件繪制的每個模型的即期利率曲線為圖1-圖3。

擬合出利率期限結構曲線后，將各模型的擬合價格求出，對擬合誤差進行統計，來比較各模型的擬合精度。本文利用了均方根誤差（RMSE）、均方根百分比誤差（RMSPE）和判定系數（R2）三個衡量精度的指標來比較各模型的擬合精度。

1.均方根誤差

均方根誤差指標為對擬合誤差絕對量的衡量，其數字越小代表模型的擬合誤差越小，擬合能力越強。

2.均方根百分比誤差

均方根百分比誤差是與均方根誤差相對應的，其為相對量衡量指標。數字越小代表模型的擬合能力越強。

3.判定系數

在回歸分析中，判定系數用來比較相關曲線的擬合優度，在本文中，我們用判定系數的概念來說明擬合預測價格對實際交易價格的擬合優度。其數值越大代表模型的擬合預測能力越強。

統計比較結果為表1。

通過表1的統計數據可以看出：本文提出的新視角下Nelson-Siegel擴展模型（n=2，n=3和n=4），隨著遠期利率表達式中模型參數的增加和高階多項式階數的增加，新擴展模型的國債價格擬合精度指標RMSE、RMSPE依次逐漸降低，R2指標的數值依次逐漸增大，這說明通過增加模型中參數的個數和多項式的階數可以提高擬合精度，通過提高模型曲線的形態復雜度可以更加近似地擬合真實利率曲線。其中，當n=4時，在新擴展模型的五個樣本交易日國債價格擬合精度指標中，RMSE指標分別為0.53991、0.43197、0.68613、0.51550、0.41994，RMSPE指標分別為0.00536、0.00417、0.00668、0.00504、0.00415，判定系數分別為0.95562、0.97140、0.94700、0.96774、0.97817，除2012年3月30日外其他樣本交易日均為所有模型中擬合精度最高的，擬合精確度高于Svensson模型，這說明在對真實國債利率期限結構曲線擬合上，本文提出的新視角下Nelson-Siegel擴展模型（當n=4時）具有一定的優勢，其能較好的降低利率期限結構的擬合預測誤差。由于對利率期限結構的擬合預測廣泛應用于政府貨幣政策的決策和金融產品如國債的定價、交易，利率擬合的準確度直接決定了定價的合理性和交易的可行性，因此本文提出的新視角下Nelson-Siegel擴展模型（當n=4時）具有較大的應用價值。

（特約編輯：羅洋）

參考文獻：

[1]Bali T.G. An Empirical Comparison of Continuous Time Models of the Short Term Interest Rate， The Journal of Futures Markets 1999（19）.

[2]林海，鄭振龍.利率期限結構研究述評[J].管理科學學報，2007（1）.

[3]Jordan J V ，Mansi S A， Term Structure Estimation from on-the-run Treasuries ，Journal of Banking and Finance，2003（27）.

[4]傅曼麗，屠梅曾，董榮杰.債券利率期限結構的構造方法與實證檢驗[J].系統工程理論方法應用，2006（1）.

[5]康書隆，艾廣青.中國國債利率期限結構估計——基于面板數據的兩步法[J].財經問題研究，2010（6）.