例談轉化思想在初中數學中的應用

摘 要： 本文結合初中數學教材中的內容談轉化思想的應用.

關鍵詞： 初中數學 轉化思想 應用

轉化也稱化歸，它是指將未知的，陌生的，復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡單的問題，從而使問題順利解決的數學思想.三角函數，幾何變換，因式分解，解析幾何，微積分，乃至古代數學的尺規作圖等數學理論無不滲透著轉化的思想.在整個初中數學中，轉化思想也一直貫穿其中.下面結合具體實例談談轉化思想在初中數學中的應用.

一、在解方程（組）中的應用

1.解二元一次方程組

例：（2011湖北宜昌）解方程組：x-y=1 ①2x+y=2 ②

解：由①，得x＝y＋1，

代入②，得2（y＋1）+y＝2．

解得y＝0．

將y＝0代入①，得x＝1．

∴原方程組的解是x=1y=0.

2.解一元二次方程

例：（2011江蘇南京）解方程：x－4x＋1=0

解:移項，得x-4x=-1

配方，得x-4x+4=-1+4

（x-2）=3

由此可得x-2=±，

∴x=2+，x=2-.

3.解分式方程

例：（2010上海）解方程：--1=0

解：去分母，把分式方程轉化為整式方程：

x·x-（2x-2）（x-1）-1·x·（x-1）=0

即2x-5x+2=0

解得x=或x=2

經檢驗：x=或x=2是原方程的根.

二、在一些幾何計算中的應用

例1：（2011福建泉州）如圖1，直徑AB為6的半圓，繞A點逆時針旋轉60°，此時點B到了點B′，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π

解析：整個陰影部分被線段B′D分為Ⅰ和Ⅱ兩部分，以AB為直徑的半圓被弦AD分成兩部分，設其中AD右側的部分面積為S，由于弓形AD是兩個半圓的公共部分，去掉AD弓形后，兩個半圓的剩余部分面積相等，即I=S.從而把求陰影部分面積轉化為求扇形ABB′的面積.易求得扇形ABB′的面積為6π.

例2：如圖2，“回”字形的道路寬為1米，整個“回”字形的長為8米，寬為7米，一個人從入口點A沿著道路中央走到終點B，他共走了?搖 ?搖.

解析：假設有人拿著寬度是1米拖把沿著小路向前推，那人走遍小路相當于把整塊場地拖完了，而拖1m的場地相當于那人向前走了1米，整塊場地面積是7×8=56（m），所以那人從A走到B共走了56米.這樣我們就把求線段長度問題巧妙地轉化成求面積問題了.

例3：如圖3，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點C，則小蟲爬行的最短距離是多少？

分析：要求小蟲爬行的最短距離，需將圓錐的側面展開成扇形，如圖4，“化曲面為平面”，把立體圖形問題轉化為平面圖形問題來解決.進而根據“兩點之間線段最短”得出結果.

解：由題意知底面圓的直徑AB=2，

故底面周長等于2π．

設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為n°，

根據底面周長等于展開后扇形的弧長得2π=，

解得n=90，

所以展開圖中∠PSC=90°，

根據勾股定理求得PC=2，

所以小蟲爬行的最短距離為2.

以上舉例說明了轉化思想在初中數學中的應用.在教學中我們應積極引導學生思考解決問題的方法，盡量讓學生在多次的訓練中體會“轉化”的思想.一旦離開了具體內容，就無法向學生滲透、傳授數學思想方法.

參考文獻：

［1］錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學.北京師范大學出版社，1999.

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