克題制勝的“法寶”

摘 要： 當我們遇到一個棘手的問題時，不是直接解決，而是把它轉化為一個已經解決的或比較容易解決的問題，從而獲得原問題的解決方法。這種思想在數學上被稱為轉化與化歸，本文將圍繞幾種常見的轉化方式來展現這件“法寶”在數學學習中的重要作用。

關鍵詞： 數學思想方法 轉化 化歸 數學學習

江蘇省自2008年開始實行“3+學業水平測試+綜合素質評價”考試方案，高中生在整個學習過程中，尤其重視語數外三門功課，其中最擔心的是數學。有人說，成也數學，敗也數學。雖然這話可能有點過了，但也從一個側面說明了數學這門功課在學生心中的分量。在數學學習的過程中，學生們面臨的最大困惑是如何在掌握基礎知識和基本技能的情況下進一步提高自己的數學成績，總希望找到一個一勞永逸的方法。處理數學問題的一個基本思路在于適當地進行命題變更，其實質是化未知為已知，化陌生為熟悉，化難為簡。雖然一勞永逸的方法并不存在，但在解決數學問題過程中卻存在一個非常根本的數學思想，這就是轉化與化歸的思想方法。

轉化，就是將解法未知或者解法困難的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，使用正確的方法進行變換，將現有的問題轉化成我們比較容易解決的問題。轉化是數學中最常用的思想，其精髓在于將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題。轉化與化歸思想是解決數學問題的根本大法，數學中的函數與方程的思想、分類討論的思想，以及數形結合的思想歸根結底都是轉化與化歸思想的應用。因此在數學思想方法的學習過程中，乃至在整個高中學習過程中，都要以轉化與化歸這一根本思想為主軸，這樣才可以有效促進學生對數學思想方法的理解，提高自身的數學修養。一般地來說，轉化有以下幾種常見的情形。

1.陌生到熟悉的轉化

把需要解決的問題從一個陌生的情境轉換成熟悉的、直觀的、簡單的問題。我們在審題的過程中經常會涉及一些難以下手的條件，其實如果能把這種條件經過自己的理解，然后等價地用我們常見的語句來加以闡釋，那么我們便會豁然開朗。

如：在有關充要條件這一內容的學習上，常有同學把充分條件和必要條件搞錯，因為教材上把p?圯q叫做p是q的充分條件。而一般的資料卻用另外一種方式表示，即q的充分不必要條件是p，其實兩者是一個意思。

再如：已知函數f（x）=，x∈［0，1］，

（1）求f（x）的單調區間和值域；

（2）設a≥1，函數g（x）=x-3ax-2a，x∈［0，1］，若對于任意的x∈［0，1］，總存在x∈［0，1］，使得g（x）=f（x）成立，求a的取值范圍。

解析：（1）減區間［0，］，增區間［，1］，值域［-4，-3］

（2）此小題看似復雜，變量較多，還有任意和存在這兩個令人頭疼的字眼，那讓我們一起分析一下，等號左右的取值互不影響，就相當于已經把參數和變量進行了分離，設函數f（x）的值域為A，函數g（x）的值域為B，只要滿足A?哿B即可，原來是一個集合的子集問題。由（1）得A=［-4，-3］，利用導數的知識可求得B=［-3a-2a+1，-2a］，只要滿足-2a≥3-3a-2a+1≤-4即可，解得答案為a∈［1，］。

2.數到形的轉化

這是一種常見的、重要的、被廣泛使用的轉換，借助圖形的直觀來解題是尋求解題思路的一種重要方法。大量的代數問題有著潛在的幾何背景，如截距，距離，斜率等。有時畫一張圖形給問題以幾何的直觀描述，從數與形的結合中去找出問題的邏輯關系會大大降低解題的難度。

如：方程sinx=lgx的解有?搖 ?搖個。

解析：學生習慣于通過解方程來求解，而此方程無法正常求解，令學生手足無措。若能運用靈活的思維換一個角度思考：此題的本質是求方程組y=sinxy=lgx的公共解。由于只要回答解的個數，故運用數形結合思想轉化為求函數圖像交點問題，尋求幾何性質與代數方程之間的內在聯系，便可知解的個數為3個。

再如：設關于x的方程sinx+sinx+a=0，有兩個相異實數根時，求a的取值范圍。

解析：本題若從方程角度出發，則是一個涉及根的分布問題，非常容易漏掉條件，不妨轉化為兩個函數圖像的交點問題，將sinx+sinx-a=0，x∈R，化為sinx+sinx=a，令t=sinx，t∈［-1，1］，在同一坐標系內作出y=t+t，t∈［-1，1］與y=a的圖像，實際上就是在求y=t+t，t∈［-1，1］的值域，不難得到答案：a∈［-，2］。

數到形的轉化實質是數形結合，既然是結合，就可以從形到數的轉化，通過代數的精確計算來處理問題，數學大師笛卡爾創立的解析幾何就是一個典型例子，這里不再舉例。

3.抽象到具體的轉化

數學的研究對象是現實世界的空間形式和數量關系，本來是非常具體的，但為了在比較純粹的狀況下來研究空間形式和數量關系，才不得不把客觀對象的所有其他特征拋開不管，而只抽象出空間形式和數量關系進行研究，這就使得學生覺得數學這門功課缺少一種摸得著、看得見的載體，那我們就要想方設法把載體還給學生。

如：若函數的定義域為［-3，2］，則f（x+1）的定義域是?搖 ?搖。

解析：函數在高中階段是一部分非常抽象的內容，上述題目中x是否具有同一性是解題的關鍵，要讓同學們理解有一定困難，但由于是填空題，不妨取f（x）=，那么我們就可代入得到f（x+1）=，故答案：［-4，1］。

再如：設函數y=f（x）的定義域為R，則下列命題正確的是?搖 ?搖。

（1）若函數f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），則其圖像關于直線x=1對稱；

（2）若函數f（x）滿足f（1+x）=-f（1-x），則其圖像關于點（1，0）對稱；

（3）函數y=f（1+x）與y=f（1-x）的圖像關于直線x=1對稱；

（4）函數y=f（1+x）與y=-f（1-x）的圖像關于點（1，0）對稱。

上述四個命題形式非常相似，難怪有些同學一直搞不清楚，特別是（3）和（4），我們不妨設f（x）=2，則f（1+x）=2，f（1-x）=2，然后在同一坐標系中作出它們的圖像，便可知道兩個函數的圖像關于直線x=0對稱，同樣的可驗證（4）也是錯誤的，正確的是（1）和（2）。從上述兩個例子不難發現，只要我們能把抽象問題具體化，找到合適的載體，就能輕松解決問題。

4.參數到變量的轉化

含參問題是高中數學中的常見問題，也是學生非常容易失分的題型，處理這類問題的基本方法是分類討論，參變量分離等，但也有一些題型可另辟蹊徑。

如：若?坌a∈［1，2］，都有不等式x-3ax+2＞0成立，則x的范圍是?搖 ?搖。

此題可與下題類比：若?坌x∈［1，2］，都有不等式x-3ax+2＞0成立，則a的范圍是?搖 ?搖。

對于后一題，我們可分離參變量求得a＜。但如果對原題也分離參變量，那么在解題的過程中我們就會發現步驟有些重復。這就促使我們進行思考，如果把參數和變量的身份互換一下，記f（a）=-3xa+x+2，a∈［1，2］，它的圖形是一條線段，只要線段的兩個端點的函數值都大于零，即f（1）＞0f（2）＞0，得x∈（-∞，3-）∪（3+，+∞）。當然要做到參數與變量的轉化，需要我們細心觀察，注重積累，打破常規，在不斷地探索總結中慢慢領悟。

5.形到神的轉化

有時我們還會碰到一些看似簡單，但卻不能順利地按照既定思路去操作的情形，但只要我們仔細分析，綜合運用相關知識就能揭開藏在表面下的玄機。

如：已知函數f（x）=x+x，對任意的m∈［-2，2］，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，則x的取值范圍為?搖 ?搖。

解析：若把mx-2和x分別代入函數表達式中進行化簡求解，就會出現三次式，計算量大，且不易得到最后的答案。那就讓我們先來看看函數f（x）=x+x的圖像。明顯這是一個奇函數，且在R上單調遞增，故將上式化為f（mx-2）＜f（-x）?圯mx-2＜-x，再把m看成變量，記g（m）=xm+x-2，只要g（-2）＜0g（2）＜0即可，解得答案x∈（-2，）。

再如：若a+b+c=m，且a，b，c成等比數列，求：當m＞0時，b的取值范圍。

解析：本題常規解法為，由于a，b，c成等比數列，可設a=，c=bq，

故+b+bq=m?圯b=，∵q≠0，（q+）∈（-∞，-2］∪［2，+∞），

∴∈［-1，0）∪（0，］，又m＞0∴b∈［-m，0）∪（0，］。

本題還有更優美的解法。∵ac=b，a+c=m-b，∴a，c是方程x-（m-b）x+b=0的兩根，∴△≥0?圯3b+2mb-m≤0，（m＞0）?圯-m≤b≤，明顯b≠0，∴b∈［-m，0）∪（0，］。

上面所提到的是幾種常見的轉化與化歸的類型，另外還有正與反的轉化，相等與不等的轉化、整體與局部的轉化、空間與平面相互轉化、復數與實數相互轉化等。這些轉化都是等價轉化，等價轉化后的新問題與原問題實質是一樣的，實質是尋找了一個更加簡潔的充要條件來代替原來的復雜的、不易被理解的命題。除此之外還有不等價轉化，不等價轉化部分地改變了原對象的實質，需對所得結論進行必要的修正，這種轉化的要求較高，本文不再展開敘述。總之應用轉化化歸思想解題的原則應是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡量是等價轉化。

現代教育強調“知識結構”與“學習過程”，目的在于發展學生的思維能力。轉化與化歸思想方法，居于數學的四大思想方法之首，對于學生的思維能力的培養，思維品質的塑造有著不可替代的作用。數學知識可能在將來會遺忘，但思維品質的培養會影響學生的一生，發展學生的思維品質符合素質教育的基本要求。讓我們借助思維品質的培養來體現數學教育的真正價值。

參考文獻：

［1］鄭毓信.中國數學教育的重要生長點.中學數學教學參考，2012．3.

［2］陳麗洪.論轉化與化歸思想.讀寫算，2011.11.