淺議作軸對稱圖形的對稱軸的方法

摘 要： 本文以一道中考模擬試題為例，探討作軸對稱圖形的對稱軸的方法。

關鍵詞： 軸對稱圖形 作對稱軸 交點法

《數學新課標》指出：“人人學習有價值的數學，人人都獲得必需的數學。”“讓學生在做中學。”因此在平時的教學中，我們力求領悟教材的編寫意圖，把握教材的知識要求，充分利用學具，讓學生多動手操作，手腦并用，培養技能、技巧，發揮學生的創造性。從而增強學生應用數學的意識和能力。

對稱是一種最基本的圖形變換，是學習空間與圖形知識的必要基礎，對于幫助學生建立空間觀念，培養學生的空間想象力有著非常重要的作用。這一節的教學目標是：1.認識軸對稱圖形的對稱軸；會畫簡單的幾何圖形的對稱軸，并借此加深對軸對稱圖形特征的認識。2.讓學生在學習過程中進一步增強動手實踐能力，發展空間觀念，培養審美情操，提高學習數學的興趣。

究竟如何作一個軸對稱圖形的對稱軸呢？那要依據對稱軸的特性，學生非常熟悉的性質是“對稱軸是對稱點連線的垂直平分線”。所以，老師和學生基本上都是運用了“作對稱點連線的垂直平分線”的方法作對稱軸。這樣“單調”的方式不僅不利于學生思維發展，不利于培養學生的創新精神和實踐能力，而且會因尺規作圖的誤差造成明顯的錯誤。

如：此圖1作出AA′的垂直平分線能夠作出此軸對稱圖形的對稱軸，但稍不注意會出現明顯的錯誤。如果所作的直線并沒有經過E、F兩點，那么此直線不是對稱軸。因為對稱軸還具備另一個重要特性：軸對稱圖形中的對稱線段所在直線的交點在對稱軸上或對稱線段所在直線互相平行。

“對稱線段所在直線的若相交，則交點在對稱軸上。”借助這個重要結論，不僅能減少以上類似失誤，而且作對稱軸的方法更簡單。只要用一把無刻度的直尺就能作出對稱軸。不過，能用這樣方法作圖的前提是能夠找出兩對稱線段所在直線的兩個交點。這是對學生思維能力的考驗，有利于學生思維發展，有利于培養學生的創新精神。我們可以把這種方法形象地稱之為“交點法”。

例1：作等腰梯形ABCD的對稱軸。

（如圖2）我們可以延長對稱線段BA、CD，交點為E。連接AC、BD，交點為F，則直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸。

例2：作如圖3所示正五邊形的對稱軸。

我們可以借助如圖所作的圖方法找出對稱軸：直線AE。

其實，不少老師發現“交點法”作圖不僅簡單，而且對學生思維發展十分有效。所以，在課堂上進行了拓展運用，甚至將這樣的運用編成考題。

下列一題是2012年江蘇省南京市白下區中考數學一模試卷上的一道填空題。

下列軸對稱圖形中，只用一把無刻度的直尺不能畫出對稱軸的是（ ）

A.菱形 B.矩形

C.等腰梯形 D.正五邊形

我們可用“排除法”得到答案：B。

問題是矩形一定不能只用一把無刻度的直尺作出對稱軸嗎？經過我的反復研究，發現此考題是一道錯題，矩形也是能夠只用一把無刻度的直尺作出對稱軸。具體作法如下：

第一步：如圖4連接AC、BD，交點為O，找到第一個交點。

第二步：在BC上任取一點I，連接AI并延長交DC的延長線于F，連接DI交AC于G，過G、F作直線交AD于E，這樣就找到了第二個交點E。那么，直線EO為矩形ABCD一條對稱軸。

我們要驗證直線EO是否為矩形ABCD一條的對稱軸，重點在于說明這樣作出來的E點是AD的中點就行。說明如下：

我們可以通過平行說明△FIH～△FAE、△FHC～△FED，從中我們可以獲得=，=，因此，=①，通過平行我們還可以說明△IHG～△DEG、△CHG～△AEG從中我們可以獲得=，=，因此，=②，由①②不難看出a=a。這就說明了E是AD的中點，那么，直線EO為矩形的對稱軸。

“交點法”作對稱軸體現軸對稱圖形另一重要性質——對稱線段所在直線的交點在對稱軸上或對稱線段所在直線互相平行。它需要的作圖工具非常簡單——一把無刻度的直尺，但尋找兩個交點并不容易，這需要學生勇于探索，善于發現才能解決問題。為了讓學生思維得以發展，運用知識更加靈活，我們在課堂上應讓學生嘗試用“交點法”作對稱軸，出一些題讓學生進行練習，但出題一定要進行認真反復推敲，不能出現錯題誤導學生。

參考文獻：

[1]楊裕前，董林偉.義務教育數學課程標準實驗教材.數學.南京：江蘇科學技術出版社，2005.