基于“數(shù)學(xué)表征”的試題評析

數(shù)學(xué)表征是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的重要研究對象，是考察學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方面，已成為《課標(biāo)》中目標(biāo)領(lǐng)域的重要組成要素.從某一種意義而言，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)如何，可由其對數(shù)學(xué)知識表征情況來決定.

可見，數(shù)學(xué)表征必須也理應(yīng)成為高考考查的重

要目標(biāo)之一.

數(shù)學(xué)表征是指數(shù)學(xué)概念以某種方式的表達(dá)形式存在，一般可分為內(nèi)部表征與外部表征兩個方面.

對數(shù)學(xué)表征的認(rèn)識，學(xué)者多數(shù)持過程、結(jié)構(gòu)相結(jié)合的觀點，認(rèn)為數(shù)學(xué)表征同時具有兩個側(cè)面：概念性側(cè)面（圖式組合）與程序性側(cè)面（運算體系），即數(shù)學(xué)概念是過程與結(jié)構(gòu)的耦合體.

就考試而言，數(shù)學(xué)表征的考查應(yīng)體現(xiàn)為：定義——意象，網(wǎng)絡(luò)——聯(lián)接，過程——對象，直覺——邏輯.

本文擬以數(shù)學(xué)表征考查為視角，對2 0 1 2年福建高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行評析.

1 體現(xiàn)“定義——意象”考查

例11 （理1 0 ）函數(shù)在[上有定義，若對任意

D x

評析 本題借助分段函數(shù)，考查了函數(shù)的值域、奇偶性、單調(diào)性、周期等性質(zhì)，對于這些概念，特別是周期函數(shù)這一概念，關(guān)鍵要能在其“定義——意象”間進(jìn)行表征轉(zhuǎn)化，真正挖掘其本質(zhì)特征，才能較好地完成此題.

2 體現(xiàn)“網(wǎng)絡(luò)——聯(lián)結(jié)”的考查例3 （理1 4 ）數(shù)列{ }

評析 本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和等有關(guān)知識，以及三角函數(shù)的知識、周期的應(yīng)用等，較好地體現(xiàn)了“網(wǎng)絡(luò)——聯(lián)結(jié)”的考查.

通過數(shù)列的通項公式聯(lián)系了三角函數(shù)與數(shù)列知識的網(wǎng)絡(luò)表征，但是單有這些網(wǎng)絡(luò)表征還不能很好地解決問題，必須通過某些結(jié)點，聯(lián)結(jié)起這些網(wǎng)絡(luò)表征，達(dá)到“網(wǎng)絡(luò)——聯(lián)結(jié)”的表征轉(zhuǎn)化.

但是這些網(wǎng)絡(luò)表征是靜止的，怎么動態(tài)把這些網(wǎng)絡(luò)聯(lián)結(jié)起來，是本題考查的精華所在.

由三次函數(shù)有三個零點，表征出其肯定有極值，且極值一定一個大于零，一個小于零（可根據(jù)圖象表征）.

通過求出其極值為 ： ，因此：，那么怎么判斷的符號，關(guān)鍵

要由式子聯(lián)結(jié)表征得到，所以.

評析 本題以實際問題為載體，通過學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)情境解決問題，考查學(xué)生的推理論證表征能力.

本題沒有完全的形式化套路可循，只能通過感知、觀察，從直覺上表征，從一些特殊點入手，試著求出其路線費用，再比較下哪個為最小費用，很好地考查了直覺方面的表征.而對“任一城市都能到達(dá)其余各城市”的表征則更多地側(cè)重于邏輯側(cè)面的表征，體現(xiàn)了“直覺——邏輯”考查.

縱覽今年試卷，試題立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視數(shù)學(xué)概念的定義，較好地考查了數(shù)學(xué)表征.只是，由于幾道承負(fù)區(qū)分功能的試題均極具難度，表征解讀困難，因而導(dǎo)致考生無從下手求解問題，試題與試卷的效度打了折扣.

參考文獻(xiàn)

[1 ]全美數(shù)學(xué)教育理事會.美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn).北京：人民教育出版社，2 0 0 4

[2 ]李善良.現(xiàn)代認(rèn)識觀下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué).江蘇教育出版社，2 0 0 5