例說(shuō)排列組合問(wèn)題的解題思路

排列組合是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，其解決問(wèn)題的方式方法靈活多變，學(xué)生往往旁觀者清當(dāng)局者迷——“聽(tīng)”易“做”難.筆者認(rèn)為，合理運(yùn)用一些思想方法是求解排列組合問(wèn)題的關(guān)鍵.本文擬例說(shuō)之.

1 數(shù)形結(jié)合的思想

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，仔細(xì)觀察，合理聯(lián)想由形及數(shù)，由數(shù)構(gòu)形，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的形數(shù)特征，使問(wèn)題簡(jiǎn)化.

例1 有7位朋友見(jiàn)面，任何兩人都互相握手，且不重復(fù)，問(wèn)共需要握手多少次？

C =2 1次.

2 特殊化歸納的思想

當(dāng)碰到新問(wèn)題或數(shù)字較大，直接求解較復(fù)雜時(shí)，這時(shí)不妨先研究簡(jiǎn)單的特殊情況，從中找到解決問(wèn)題的方法，再來(lái)研究復(fù)雜的問(wèn)題，往往能化繁為簡(jiǎn)，收到事半功倍的效果.

例2 連結(jié)凸邊形三個(gè)頂點(diǎn)的線段構(gòu)成的三角形中，與原邊形沒(méi)有公共邊的三角形有多少個(gè)？

#8722;#8722; =#8722;#8722;個(gè).

3分類討論的思想

分類討論是一種基本的思想，當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，不能用同一概念、法則、公式或方法求解時(shí)，就應(yīng)按照情況進(jìn)行分類討論.分類過(guò)程中要注意分類標(biāo)準(zhǔn)明確，層次分明，不重不漏.

例3 有1 0級(jí)的階梯，可以一次走一級(jí)或二級(jí)（不可逆行），問(wèn)共有多少種不同的走法？

分析 可按走二級(jí)的步數(shù)進(jìn)行分類，走二級(jí)的步數(shù)為0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；相應(yīng)的總步數(shù)為1 0 ，9 ，8 ，7 ，6 ，5 .第一類走1 0步每一步都走一級(jí)方法數(shù)為1種；第二類從走9步選其中1步走兩級(jí)方法數(shù)為

種；第三類從走8步選其中2步走兩級(jí)方法數(shù)為種；第四類從走7步選其中3步走兩級(jí)方

在問(wèn)題的眾多對(duì)象中，確定某一類對(duì)象為元素，另一類對(duì)象為位置，既可以從元素的角度考慮也可以從位置的角度考慮分步和分類，培養(yǎng)學(xué)生選擇從不同角度切入，一題多解的能力.

例5 將五名實(shí)習(xí)生分到三個(gè)部門(mén)去工作（每人只可在一個(gè)部門(mén)），有幾種不同的方案？

分析一 從部門(mén)接受實(shí)習(xí)生的角度考慮：

（1 ）一個(gè)部門(mén)接受全部，有三種可能性；

（2 ）二個(gè)部門(mén)接受全部，接受人數(shù)有1 ，4或2 ，3兩種情況，屬于非均勻分組構(gòu)成的復(fù)合分組，共有

故分配總的方案為3 +9 0 +1 5 0 =2 4 3種.

分析二 從實(shí)習(xí)生將去何部門(mén)來(lái)考慮分步，第一名實(shí)習(xí)生可分到三個(gè)部門(mén)中的一個(gè)，有3種可能性.類似的第二、三、四、五個(gè)實(shí)習(xí)生也分別有3種不同的可能性，所以五位實(shí)習(xí)生全部分配好就有種. 3× 3 × 3 × 3 × 3 = 3 = 2 4 3

兩相對(duì)照，分析二更加簡(jiǎn)捷，選擇元素還是位置為切入口，往往成為解決問(wèn)題難易的分水嶺.

還可以舉出集合的思想、類比的思想、正難則反的思想、遞推的思想方法等運(yùn)用到排列組合中.如能在學(xué)習(xí)中適當(dāng)合理結(jié)合上述的思想方法，則必能輕松地掌握排列組合問(wèn)題的求解規(guī)律.