學生解題錯誤的原因及對策探究

摘 要：數學解題是一種創造性的活動，它貫穿于數學教學活動的各個環節，但學生解題出錯是不可避免的。在教學中如何提高學生的解題能力，減少和避免不必要的錯誤就顯得尤為重要。本文從學生對知識理解不徹底而導致解題錯誤進行正確誘導、通過學生審題的不慎而導致解題錯誤、從反思教學中減少學生解題錯誤、

常規教學中如何預防學生解題錯誤的對策等方面進行了探討。

關鍵詞：數學教育；解題錯誤；途徑方法

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）04-196-03

美國數學家哈爾莫斯指出：“數學真正的組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟。”數學解題的教學，是數學教學的組成部分。也是實現數學教學目的的重要手段。在數學教學中，無論是概念、定理、公式的引入、公式的推導、定理的證明及知識的應用無不與數學解題教學有關。然而在解題過程中，學生經常出現這樣那樣的錯誤。如何減少和防止學生解題錯誤一直是困擾教師的老大難問題。本文就初中學生數學解題錯誤作一簡要分析。

一、學生對知識理解不徹底而導致解題錯誤

譬如教師在講解完用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解時，讓學生自己分解x4-y4，學生很快就做完了。當教師在巡視完后告訴學生只有個別做對，這時學生都感到非常吃驚。大部分學生把x4-y4分解為(x2+y2)(x2-y2)，錯在哪里呢？（1）學生做題粗心大意，（2）做好后沒有養成檢查的習慣，（3）對分解因式的結果不夠徹底，必須要做到每個因式都不能再分解為止。 由此可以看出，利用學生解一些典型題目，從中找到錯誤原因并進行正確誘導會收到良好的教學效果。

其實，錯誤的出現是不可避免的，對錯誤進行系統的分析是非常重要的。首先，教師可以通過錯誤來發現學生的不足，從而采取相應的補救措施；其次，錯誤從一個特定的角度揭示了學生掌握知識的過程，是學生在學習過程中對所學知識不斷嘗試的結果。對學生的錯誤，教師應該將懼怕心理和嚴厲態度轉變為承受心理和寬容態度。因為數學學習實際上是不斷地提出假設、修正假設，使學生對數學的認知水平不斷復雜化，并逐漸接近成熟的過程。從這個意義上說，錯誤不過是學生在數學學習過程中所做的某種嘗試，它只能反映學生在數學學習的某個階段的水平，而不能代表其最終的實際水平。揭示錯誤是為了最后消滅錯誤，正是由于這些假設的不斷提出與修正，才使學生的能力不斷提高，在教學中給學生展示、嘗試、修正的過程，是與學生獨立解題的過程相吻合的。因而學生在教師教學過程中學到的不僅僅是正確的結論，而且領略了探索、嘗試的過程，這對學生的解題過程會產生有益的影響，使學生學會分析，同時能自己發現錯誤，改正錯誤。

二、學生審題的不慎而導致解題錯誤

例如在方程 ＋ = 中，a為何值時，這個方程存在著唯一的非增根的實數根？

分析：本題的題意，看起來不難理解，從理論上講，它是一個分式方程經過化簡轉化為一個一元二次方程，求方程有唯一實數根時a的值。導致本題錯誤，（1）審題不夠細致，（2）學生容易忽視題目中隱蔽的條件，（3）題目中的條件與結論沒有細心推敲、琢磨。對于題目中“唯一非增根的實數根”到底是怎樣一個根卻頗費思索。怎么會是唯一的非增根的根呢？ 由于分式方程分子、分母的公共根不應看成是方程的根，因此，可以這樣確定a：使分子、分母有一個公共根，而分子的另

一個根就是合乎要求的根。為此，原方程化為 =0，易知當a=4或a=0時分子分母有公共根0或2，分子的另一根為3或1即為所求。

對于解答任何一個題目而言，每個題目都要抓住一個指導性的問題：“題目中要求的量或已知量與什么有關呢？”善于提出這個問題和解決這個問題，標志著富有成效地進行了思維活動。

審題是發現解法的前提，也是防止解題錯誤的關鍵。審題的重要性可以用一句格言來概括：“問題想得透徹，意味著問題解決了一半。”因此，我們應要求學生認真審題，充分理解題意，把握住題目的本質，這樣完成解答既不難，也能有效防止解題錯誤。具體來說，審題包括以下五項要求：①初步的全面理解題意(理解它的每一個字、詞、每一句話)，能清楚地理解全部條件和結論；②準確地作出必要的圖形，包括示意圖；③必要時，要把語言和不宜于直接計算的算式化為能直接計算的算式，把不便進行數學處理的語言化為便于數學處理的語言；④發現比較隱蔽的條件；⑤預見主要步驟或主要原則。即根據題目特征提供的啟示(即信息)，預見解題的主要步驟或主要原則。前三項是基本的，后兩項是要求較高的。做到第③項要求不易，因為它要求對基礎知識掌握得較好，但它卻是必要的。

為了培養學生的審題能力，養成仔細審題的習慣，教師在教學時，除了自己朗讀題目，解釋疑難，或叫學生自己閱讀外，對于較困難的題目，要把內容組成適當的問題，通過提問，啟發引導學生觀察題目的每一部分，思考題目中的每一個概念，有意思地發掘題中的隱蔽條件。較容易的題目可以先讓學生自己審題，寫出“已知”、“求證”(或“求”)，并可提問學生口述，發現不同之處，再加指點或指定另外學生補充。要吸引全班學生參加審題工作，必要時，教師還要做出正確的審題示范。其次，要經常結合具體例子，對學生進行審題必要性的教育，并用他們的錯誤例子讓他們自己檢查．找出審題時被遺漏的信息，說明遺漏信息的危害性，使審題成為學生自覺的行動，而不是累贅和負擔，從而把解題錯誤消滅在起始階段。

三、反思教學中減少學生解題錯誤

譬如在平行四邊形的教學過程中教師通常會給學生出下面一道題目。

已知：如圖（1），點E，F，G，H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，請判斷四邊形EFGH的形狀？

某學生的解題過程如下：（如圖（2））

證明：連接線段BD、AC

∵點E、F、G、H分別為平行四邊形ABCD各邊的中點

∴HG∥AC，EF∥AC，HE∥BD，GF∥BD

∴HG∥EF，HE∥GF

∴四邊形EFGH是平行四邊形。

學生很快解好了這道題，然后便坐在那兒不知道該繼續干什么。出現這種普遍現象因素：（1）學生的妒性，（2）傳統教學模式使學生缺乏學習的主動性和積極性，（3）學生自己邏輯思維的局限性、不全面性。

這時通過教師不斷地向學生提出問題，而學生通常會不經過思考就憑直覺很快做答。

教師問：“（1）能不能說出什么條件下四邊形EFGH是矩形？”

學生答：“當四邊形ABCD是矩形時，四邊形EFGH是矩形。”

教師問：“（2）什么條件下四邊形EFGH是正方形？”

學生答：“當四邊形ABCD是正方形時，四邊形EFGH是正方形。”

并繼續問：“（3）四邊形EFGH是矩形，還是正方形的真正原因是什么？”

一連串的問題，有的學生感覺到不對，于是認真的反思思考整個

過程，小組之間展開交流、討論；教師從中加以引導，最后得出了正確的結論。

“（1）當對角線AC與BD互相垂直時，四邊形EFGH是矩形；

（2）當對角線AC與BD互相垂直且相等時，四邊形EFGH是正方形；

于是得到（3）使得四邊形EFGH是矩形，還是正方形的真正原因是四邊形ABCD的對角線是否垂直？是否相等？而跟四邊形ABCD是否為平行四邊形無關。”

通過這樣的認識，學生也明白了要使得四邊形EFGH是平行四邊形，只要滿足點E，F，G，H為四邊形ABCD的中點即可。如下圖所示。

教師繼續對這道題進行挖掘，并提出下列問題：

（1）當四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？

（2）己知點D， E， F分別是三角形ABC各邊的中點、那么，

①當滿足什么條件時，三角形DEF是等腰三角形？

②當滿足什么條件時，三角形DEF是等邊三角形？

③當滿足什么條件時，三角形DEF是直角三角形

④當滿足什么條件時，三角形DEF是等腰直角三角形？

通過這樣的反思過程，學生不僅得到了對這道題這個點的深刻認識，而且得到了一個很大的面上的認識，從而能防止類似的解題錯誤發生。讓學生學會在數學解題中發現不足之處是學生對學習過程進行主動的思考的有效的學習方式。已經具有探究性、自主性、發展性、創造性、批判性等基本特征，使學生的被動接受學習方式轉化為主動學習。在平時的數學學習中，老師經常發現學生根本不去對數學問題本身進行反思，事實上，學生通過對數學問題本身進行反思不僅可以加深對題目的理解，防止解題錯誤，而且可以有助于學生的數學知識結構的融會貫通，達到舉一反三、觸類旁通之功效。在解題活動結束后，學生可以對數學習題進行反思，解決這道題的關鍵信息是什么？這道題與老師曾經做過的哪些題有聯系？它們在什么地方有聯系？如果這道題是一道典型題，教師應該總結它的題型和相應的解法。這道題可否推廣、變形或得到比較有意義的特例？學生對題目的意義有沒有真正明白等等。

四、常規教學中預防學生解題錯誤的對策

學生不能順利正確地完成解題，產生解題錯誤，表明其在解題過程中受到干擾。因此，減少初中解題錯誤的方法是預防和排除干擾。為此，還要抓好課前、課內、課后三個環節。

1、課前準備要有預見性

預防錯誤的發生，是減少初中學生解題錯誤的主要方法。講課之前，教師如果能預見到學生學習本課內容可能產生的錯誤，就能夠在課內講解時有意識地指出并加以強調，例如講解分式方程時，要預見到分式的基本性質與等式的性質，兩者有可能混淆，譬如：（1）如果a=b，那么a+c=b+c成立嗎？（2）下列式子從左到右的變形哪幾個是正確的？ ， ， ， ， 。 因而要在復習提問時準備一些分數的基本性質與等式的性質的練習，幫助學生弄清兩者的不同，避免產生混亂與錯誤，從而有效地控制錯誤的發生。備課時，要仔細研究教科書正文中的防錯文字、例題后的注意、小結與復習中的應該注意的幾個問題等，同時還要揣摩學生學習本課內容的心理過程，使學生預先明了容易出錯之處，防患于未然。

2、課內講解要有針對性

在課內講解時，要對學生可能出現的問題進行針對性的講解。對于容易混淆的概念，例如，在學習反比例函數的定義、圖象、性質時與已學的一次函數、正比例函數的定義、圖象、性質進行比較。引導學生用對比的方法，弄清它們的區別和聯系。對于規律，應當引導學生搞清它們的來源，分清它們的條件和結論，了解它們的用途和適用范圍，以及應用時應注意的問題。同時教師要給學生展示揭示錯誤、排除錯誤的手段，使學生會識別錯誤、改正錯誤。要通過課堂提問及時了解學生情況，對學生的錯誤回答，要分析其原因，進行針對性講解，利用反面知識鞏固正面知識。

3、課后講評要有總結性

要認真分析學生課后作業中的問題，總結出典型錯誤，加

以評述。如學習了三角形全等的判定，有一題：如圖，在

△ABC中，∠C=90°，AC=10厘米，BC=5厘米，射線AX⊥AC于點A，點P、Q分別在線段AC，射線AX上運動，且PQ=AB，問：點P運動到什么位置時，△ABC與△APQ全等？學生解題出現錯誤的原因：①△ABC與△APQ全等與△ABC≌△QAP中對于全等用文字與符號的區別沒弄明白；②△ABC與△APQ全等作為條件還是結論不清楚；③分類沒到位。通過講評，進行適當的復習與總結，使學生再經歷一次調試與修正的過程，增強識別、改正錯誤的能力。

因此，讓學生自己發現、找到解題錯誤的原因，糾正數學解題錯誤，不僅要完成解題任務，而且使學生的理性思維得到提高。讓學生在數學解題中發現自身的不足之處是主動的、積極的，并以“學會學習”為目的，即關注學生學習的直接結果又關注間接結果，即學生眼前的學習成績和學生自身的未來發展。

參考資料

[1] 數學課程標準研制組.義務教育數學課程標準解讀(實驗稿)[M].北京師范大出版社，2002．

[2] 童其林.利用解題后的“再思考”，培養學生的思維品質[J].數學通訊，1998，(3)．

[3] 段訓明.增強反思意識，優化思維品質[J].數學通報，2003，(6)．