例析豎直平面內圓周運動的臨界問題

摘 要：高中物理中，臨界問題很多，其中圓周運動的臨界問題一直是高考的熱點問題，此類問題分為豎直平面與水平面內的圓周運動，本文就豎直平面內圓周運動的規律及共性的問題以例題的形式總結，并分析其解題思路。

關鍵詞：豎直平面；圓周運動；臨界條件；平衡位置

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）04-179-01

物理試題中常常遇到不明確提出臨界值而必須通過運用知識去分析臨界條件，挖掘臨界值，這對多數學生比較困難的。學生處理這類問題往往具有“似曾相識又無從下手”的通病，本文以豎直平面圓周運動為背景材料進行歸類分析如下：

例1：如圖所示，長L的不可伸長的細繩連接質量為M的小球后繞O點在豎直平面內做圓周運動。阻力不計，要保證小球做完整圓周運動，則小球在最低點速度至少多大？（假設繩能承受足夠大的拉力）

解析：要保證小球做圓周運動，則小球一直不脫軌。小球脫軌的原因是受重力作用。由于繩子拉力作用，小球在水平線BC以下各點均不脫軌，而在最高點小球速度最小，所需向心力最小，而重力沿半徑分量最大，所以最高點是小球最易脫軌的位置。因此保證作圓周運動考慮的臨界位置是圓周運動中最難達到的位置，即為運動速度最小位置。

小球在最高點受力分析如圖所示，

由牛頓第二定律得 當 v= (式中v指最高點最小速度)從最低點至最高點小球機械能守恒，則有 mv02=mg×2l+ mv2

v0= 因此v0至少為

例2：例題1中，將細繩改成輕桿，則小球做完整的圓周運動時，小球在最低點速度至少多少？

解析：小球做圓周運動時上升過程中由于重力做負功，動能減小，最高點速度最小因此保證做完整的圓周運動的臨界位置為最高點。

由于輕桿在最高點既能產生拉力，又能產生拉力，當輕桿對小球豎直向上的支持力其大小等于小球的重力時，合外力最小F合＝0，因此最高點最小速度v=0。從最低點到最高點小球機械能守恒，則有 mv02=mg×2l+0 v0=2 ，因此v0至少為2

例3：例題1中小球改成沿半徑為R光滑的圓形內軌道運動，則小球做完整的圓周運動時在最低點速度至少多大？

解析：小球做完整圓周運動速度最小位置是最高點，因此保證做完整的圓周運動的臨界位置為最高點。

小球在最高點受力分析如圖，由牛頓第二定律得N＋mg=m ，因N≥0小球通過最高點v至少等

同理由機械能守恒可得，小球在最低點速度v0至少為

由例1和例3可知：小球在豎直平面內做圓周運動，在最高點沒有物體支撐時，速度最小為v= （R指圓周運動半徑）

例4：例題1中，小球沿著半徑為R光滑環形管道運動，保證小球做完整圓周運動，則小球在最低點速度至少多大？

解析：小球做完整圓周運動速度最小位置是最高點，因此保證作完整的圓周運動的臨界位置為最高點。在最高點小球受重力和內外軌彈力作用，當內軌對小球向上支持力其大小等于小球重力時，F合 ＝0，因此小球在最高點的最小速度v＝0。從最低點到最高點小球機械能守恒，則有 mv02=mg×2R+0， ，因此 至少為

由例2和例4可知，小球在豎直平面內做圓周運動時，在最高點有物體支撐時，速度最小為v＝0。

由以上例子可發現豎直平面內圓周運動“臨界位置”與物

體靜止時“平衡位置”關于圓心對稱。

例5：小球沿著半徑為R光滑環形管道運動，如果在空間加一向右的勻強電場，小球帶電量為q，且Eq＝mg，則小球能做完整的圓周運動時，它在最低點速度至少多大？

解析：小球在電場中靜止時平衡位置為C點，該點受力分析如圖：

由物體的平衡條件可得： ∴

由以上結論可得：C點關于圓心O對稱點D點即為小球作圓周運動臨界位置。

對D點由牛頓第二定律可得： ， （式中v指D點的最小速度）從最低點A至D點由動能定理

∴ 因此v0至少為

由例5可知豎直平面內圓周運動的臨界位置并不總是在最高點，但總可根據“臨界位置”與“平衡位置”關于圓心對稱這一結論去尋找臨界位置。

由此可知分析豎直平面圓周運動尋找做完整圓周運動的臨界位置，我們都可以根據“臨界位置”與“平衡位置”關于圓心對稱這一結論來尋找。利用此結論對分析問題和解決問題及學生的解題起到事半功倍的效果。