一次函數與反比例函數綜合后常見的三類中考題型

摘 要：文章對近幾年各地中考試題中有關一次函數和二次函數知識進行分析，發現將兩種函數合并構建三類復合型試題，以考查同學們的綜合運用能力是一種新的中考趨向。

關鍵詞：一次函數；二次函數；中考試題

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）04-174-01

隨著《九年義務教育數學課程標準(實驗稿)》的頒布(以下簡稱《標準》)，如何全面、準確地評估初中畢業生達到《標準》所規定的數學學業水平和程度，各地均對中考試題的題型加強了研究，從近幾年各地的中考試題來看單獨考一次函數和反比例函數的試題是越來越少，而是將這兩種函數合并起來，以考查同學們的綜合運用能力。常見題型有以下三類：

一．利用圖象求自變量的取值范圍

例1．如圖，函數 和函數 的圖象相交于點M(2，m)，N(-1，n)，若 > ，則x的取值范圍是( )

(杭州市2011年各類高中招生考試試題)

解析：若 > ，則函數 的圖象位于函數 的圖象的上方，所以由圖象可知，x的取值范圍是 ，答案選D.

點撥：反比例函數與一次函數圖象的交點分布在不同的兩個象限中，從交點出發，先觀察圖象上下位置，在確定所對應的自變量的取值范圍。

二．依據所提供的信息判斷兩個函數在同一坐標系中的大致圖象

例2．二次函數 的圖象如圖所示，則

反比例函數 與一次函數 在同一坐標系中的大致圖象是 ( )

(蕪湖市2011年初中畢業學業考試試題)

解析：由拋物線位置得a<0，b<0，c=0，故 的圖象位于第二、四象限， 的圖象過第二、四象限。答案選D.

點撥：確定一次函數 與反比例函數 這兩個函數在同一坐標系中的位置，關鍵是先要確定 、 、b這三個量，這樣就可以分別確定這兩個函數圖象在坐標系中的大致位置。

三．先求出解析式，然后利用交點構造新問題并解答

例3．如圖，在平面直角坐標系x0y中，一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數 的圖象交于二、四象限內的A、B兩點，與x軸交于C點，點B的坐標為（6，n），線段OA=5，E為x軸負半軸上一點，且sin∠AOE=

（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；

（2）求△AOC的面積。

(重慶市2011年高中招生考試試題)

分析：(1)過點A作AD⊥x軸于D點，由sin∠AOE=

可求點A坐標，可求m，再將x=6代入 求n，因為一次函數的解析式為y=kx+b，將A、B兩點的坐標分別代入可求k和b的值(2)先求出點C的橫坐標，再由 OC #8226;DA求S△AOC

解：(1)過點A作AD⊥x軸于D點，

∵sin∠AOE= ，OA=5，

∴在Rt ADO中，sin∠AOE= = = ，∴DA=4，

∴DO= =3，

又∵點A在第二象限，∴點A的坐標為（-3，4），將A（-3，4）代入 ，得 ，∴m=-12，

∴反比例函數的解析式為 ；

將B（6，n）代入 ，得n= =-2；∴點B的坐標為(6，-2).

將A（-3，4）和B（6，-2）分別代入y=kx+b（k≠0），得

解得

∴該一次函數的解析式為 ；

(2)在 中，令y=0，即 ，∴

∴C點坐標為（3，0），∴OC=3，

又∵DA=4，∴S△AOC= OC #8226;DA = =6．

點撥：(1)求函數解析式一般用待定系數法；(2)求直線與坐標軸圍成的三角形面積時，一般將坐標軸上的邊作為三角形的底邊。