數(shù)學(xué)猜想：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

課程改革要求要重視培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維、學(xué)習(xí)興趣，數(shù)學(xué)猜想作為一種途徑和方法越來越受到重視，無論是教材課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，教材的編寫，還是一線教師的教法改革都為數(shù)學(xué)猜想注入了生機(jī)。然而談到數(shù)學(xué)猜想，人們的理解大多還是像哥德巴赫猜想，龐加萊猜想，四色定理等比較高深、新奇的數(shù)學(xué)猜想，這不免讓人覺得數(shù)學(xué)猜想非常神秘，高深莫測(cè)，非常人所能做。之所以有這樣的理解歸咎于對(duì)數(shù)學(xué)猜想缺乏真正的理解和深入的思考，本文旨在討論一下數(shù)學(xué)猜想的普遍性。

一、數(shù)學(xué)猜想的含義

許多專家學(xué)者認(rèn)為嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)猜想是指數(shù)學(xué)新知識(shí)發(fā)現(xiàn)過程中形成的猜想；廣義的數(shù)學(xué)猜想是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或解決問題時(shí)展開的嘗試和探索，是關(guān)于解題的主導(dǎo)思想、方法以及答案的形式、范圍、數(shù)值等的猜測(cè)。包括對(duì)問題結(jié)論整體的猜想，也包括對(duì)某一局部情形或環(huán)節(jié)的猜想。中小學(xué)階段學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想，即學(xué)生依據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，已掌握的數(shù)學(xué)思維方法，對(duì)數(shù)學(xué)問題各個(gè)部分的合情推理，如對(duì)解題的主導(dǎo)思想、方法，問題結(jié)論以及結(jié)論成因的合情推斷，并對(duì)所做的推斷進(jìn)行科學(xué)的檢驗(yàn)。

二、數(shù)學(xué)猜想的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)猜想不是憑空胡亂的猜，而是根據(jù)已有的科學(xué)事實(shí)和知識(shí)運(yùn)用掌握的數(shù)學(xué)思想和方法所作出的，具有科學(xué)性；數(shù)學(xué)猜想具有多樣性，數(shù)學(xué)猜想包括對(duì)解題思路，解題方法的猜想，對(duì)結(jié)論、條件的猜想；數(shù)學(xué)學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)性的特點(diǎn)要求所有的猜想必須經(jīng)過嚴(yán)格的驗(yàn)證才是正確的；解法的多樣性，多個(gè)結(jié)論的得出都體現(xiàn)了思維的靈活性，發(fā)散性，對(duì)錯(cuò)誤猜想的質(zhì)疑、批判都反映著創(chuàng)新的特征。

從數(shù)學(xué)猜想的含義和特點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)猜想本身不是神秘的，它是發(fā)生在一定的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)之上的，由于數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備量的差異也就造成了所作出數(shù)學(xué)猜想的層次不同。數(shù)學(xué)猜想可以是數(shù)學(xué)家研究型的猜想，也可以是中小學(xué)生學(xué)習(xí)型的猜想，甚至也可以是四五歲的孩子做出的。

比如：一個(gè)已經(jīng)會(huì)寫1到10的數(shù)字的幼兒園孩子，示范11，12，13的寫法，再引導(dǎo)其觀察這三個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，這個(gè)孩子可以自己寫出14到19的數(shù)學(xué)的。這個(gè)過程也是數(shù)學(xué)猜想。只不過數(shù)學(xué)家的猜想更高級(jí)點(diǎn)而已，但從數(shù)學(xué)猜想的含義上講他們都是數(shù)學(xué)猜想。從這個(gè)意義上講，對(duì)于數(shù)學(xué)家而言，數(shù)學(xué)猜想是一種研究數(shù)學(xué)的方法；而對(duì)于中小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)猜想是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。

三、數(shù)學(xué)猜想的類型

1.類比性猜想。運(yùn)用類比方法，通過比較兩個(gè)對(duì)象或問題的相似性—部分相同或整體類似，得出數(shù)學(xué)新命題或新方法的猜想叫類比猜想。它是一種從特殊到特殊的推理方法。上部分所述學(xué)寫數(shù)字的數(shù)學(xué)猜想就是一例。中學(xué)數(shù)學(xué)教材中也不乏這樣的例子。如在學(xué)習(xí)“有理數(shù)的乘方的意義”時(shí)，先回顧“乘法”的意義，通過類比不難理解和記憶乘方的意義。又如；學(xué)習(xí)“等腰梯形中位線定理”時(shí)，讓學(xué)生操作，馬上會(huì)回憶原先學(xué)習(xí)“三角形中位線定理”時(shí)的情形，從而促進(jìn)新定理的學(xué)習(xí)。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，無論是對(duì)于命題本身或解題思路方法，類比都是產(chǎn)生猜測(cè)，獲得命題的推廣和引申的原動(dòng)力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，靈活運(yùn)用類比的方法，可以溝通知識(shí)間的聯(lián)系，更容易理解掌握新知識(shí)。從這個(gè)意義上說，類比猜想也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方法。教師如能這樣理解便會(huì)將這種方法納入到自己的教學(xué)當(dāng)中，從而潛移默化的讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用類比猜想的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

2.歸納性猜想。對(duì)研究對(duì)象或問題從一定數(shù)量的特例進(jìn)行觀察、分析，應(yīng)用不完全歸納法得出有關(guān)命題的形式、結(jié)論或方法的猜想，叫歸納猜想。在解題中歸納猜想可以發(fā)現(xiàn)解題思路，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而獲得超越原有知識(shí)的認(rèn)識(shí)水平。

歸納猜想：13+23+……+n3=(1+2……+n)2

如：山東青島有這樣一道中考題：四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì).只要善于觀察、樂于探索，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論。

（1）四邊形一條對(duì)角線上任意一點(diǎn)與另外兩個(gè)頂點(diǎn)的連線，將四邊形分成四個(gè)三角形(如左圖)，其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積相等.你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？試試看。

已知：在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)（如左圖）；

求證：S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD.

（2）在三角形中（如右圖），你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，寫出你猜想的結(jié)論，并證明：若不能，說明理由. 1BO·DO·CF·AE

∴S△AOB·S△COD＝S△AOD·S△BOC.

（2）根據(jù)“乘除乘方不改變”能猜想到：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊上任意一點(diǎn)的連線上任取一點(diǎn)，與三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線，將三角形分成四個(gè)小三角形，其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積相等，或S△AOD·S△BOC＝S△AOB·S△DOC

其證明可通過（1）題類比求解。在數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，由歸納猜想發(fā)現(xiàn)解題思路，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而獲得超越原有知識(shí)的認(rèn)識(shí)水平。

3.直覺性猜想。直覺猜想是指在整體觀察和細(xì)部考察的結(jié)合中發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在規(guī)律，做出直覺判斷和猜想。初中數(shù)學(xué)教材中的許多概念、性質(zhì)、判定等知識(shí)，都是通過觀察具體圖形或?qū)嵨锬Ｐ秃蛣?dòng)手實(shí)驗(yàn)，根據(jù)自己的觀察實(shí)驗(yàn)，在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上提出合理的猜想。如：利用拼紙的方式得出三角形的三內(nèi)角和為180度這一結(jié)論。這種知識(shí)的呈現(xiàn)方式讓學(xué)生通過直觀感受猜想出結(jié)論，正是符合了初中學(xué)生的認(rèn)知水平的。

以上三種數(shù)學(xué)猜想是中學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)猜想方法。從中不難看出，數(shù)學(xué)猜想可以作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法教給學(xué)生。

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，創(chuàng)新能力，以及提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是時(shí)下教學(xué)改革中的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)猜想作為培養(yǎng)創(chuàng)新思維，創(chuàng)新能力的方法備受教學(xué)研究者和教學(xué)實(shí)踐工作者的推崇。然而創(chuàng)新思維，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是個(gè)廣闊的大課題，誠然通過數(shù)學(xué)猜想提高創(chuàng)新能力，但是否是短期內(nèi)可達(dá)到的，或者說對(duì)于實(shí)際教學(xué)的幫助有多大，恐怕沒有理論上那么如意。這一實(shí)際問題促使在實(shí)際教學(xué)中難易將數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行到底。如果把數(shù)學(xué)猜想作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，不僅會(huì)受到教師的認(rèn)同，也會(huì)讓學(xué)生心悅誠服。讓我們從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的角度來教和學(xué)數(shù)學(xué)吧。