三角代換求不定積分方法的探討

在《高等數學》教材中，用三角代換求不定積分的步驟中，無一例外的均是先設原變量與新變量的等量關系。然后做三角變換求出積分，最后回代時畫輔佐的直角三角形，從直角三角形求出的三角函數值。我在講課的過程中認為這樣的步驟，這樣的講解有以下弊端：加重了學生對公式的死記硬背，不利于解題時的靈活應用。為此，本文針對這類問題的求解進行改進。其步驟如下：

1.作直角三角形（直角在右下角），標出新變量（直角三角形左下角位置）如圖1；

2.根據被積函數的特征，直角三角形的三邊用x，a，及含有x，a的代數式標出；

(先標斜邊，再標t的對邊，標t的對邊原則是：首先必須含x，其次代數式盡可能的簡單)

3.在直角三角形中，觀察新變量t，原變量x，常數a.列出三者之間的等量關系既是所做的三角變換；

4.再根據上面的三角形求出sint，cost與三角形的三邊之間的等量關系。

第二步：根據被積函數的特征，直角三角形的三邊用x，a，及含有x，a的根式標出；

(先標斜邊，再標t的對邊，標t的對邊原則是：首先必須含x，其次代數式盡可能的簡單)

第三步：在直角三角形中，觀察新變量t，原變量x，常數a.列出三者之間的等量關系既是所做的三角變換。

從圖中可以看到：新變量t，原變量x，常數a三者之間的

第二步：根據被積函數的特征，直角三角形的三邊用x，a，及含有x，a的根式標出；

(先標斜邊，再標t的對邊，標t的對邊原則是：首先必須含x，其次代數式盡可能的簡單)

第三步：在直角三角形中，觀察新變量t，原變量x，常數a，列出三者之間的等量關系既是所做的三角變換；

從圖中可以看到：新變量t，原變量x，常數a三者之間的等量關系為：tant=

a+sect·asec2tdt=∫sectdt= In(sect+tant)+ C1

第四步：再根據上面的三角形求出sect，tant與三角形的三邊之間的等量關系。

第二步：根據被積函數的特征，直角三角形的三邊用x，a，及含有x，a的根式標出；

(先標斜邊，再標t的對邊，標t的對邊原則是：首先必須含x，其次代數式盡可能的簡單)

第三步：在直角三角形中，觀察新變量t，原變量x，常數a.列出三者之間的等量關系既是所做的三角變換；

從圖中可以看到：新變量t，原變量x，常數a三者之間的等量關系為：sect=+C)

C=Ina+ C1

該步驟與各類《高等數學》教材中用三角代換求不定積分步驟最大的區別是：先畫三角形，根據被積函數的特征，直角三角形的三邊用x，a，及含有x，a的根式標出。然后在直角三角形中，觀察新變量t，原變量x，常數a.列出三者之間的等量關系做代換。該步驟解決了學生對公式的死記硬背，能夠靈活解決這類問題。

例5 求∫x2-4

從圖中可以看到：新變量 ，原變量 ，常數 三者之間的等量關系為：x=2sect 0