數(shù)學(xué)史視角下角邊角判定的教學(xué)嘗試

汪曉勤教授在《全等三角形的應(yīng)用：從歷史到課堂》中指出：“全等三角形的判定”是初中平面幾何重要內(nèi)容之一，課程標準的要求是“探索并掌握兩個三角形全等的條件”，但并沒有涉及知識的歷史背景和實際應(yīng)用，教師在授課時如果能將有關(guān)的歷史知識融入該知識點的教學(xué)設(shè)計之中，將彌補以上不足。

受這篇文章的啟發(fā)，我在講授上教版七年級第二學(xué)期第十四章《全等三角形的判定——角邊角的判定》這節(jié)課時，有意識地把有關(guān)角邊角的歷史資料融入課堂教學(xué)中.

首先在驗證角邊角判定方法時通過講故事的形式告訴學(xué)生古人對全等三角形的認識源于測量，可以上溯到古代埃及和巴比倫文明，對角邊角的判定方法，歐幾里得在《幾何原本》中采用了反證法，但后人感到不滿意。10世紀阿拉伯數(shù)學(xué)家阿爾·奈里茲在注釋《幾何原本》時，采用了疊合法，也就是我們現(xiàn)在采用的說理方法，然后師生共同演繹了疊合法證明兩個三角形全等的過程，使學(xué)生對這個問題的認識從感性上升到理性，與歷史資料巧妙結(jié)合，使學(xué)生了解這個判定方法經(jīng)歷的論證過程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

運用角邊角判定方法解決實際問題時，再次與歷史知識相結(jié)合，啟發(fā)學(xué)生：你們知道角邊角的判定方法是誰發(fā)現(xiàn)的嗎？學(xué)生懷著極大的興趣希望知道答案：希臘幾何學(xué)的鼻祖泰勒斯（Thales，前6世紀）發(fā)現(xiàn)了角邊角判定方法，普羅克拉斯（Proclus，5世紀）告訴我們：“歐得姆斯在其《幾何史》中將該定理歸于泰勒斯，因為他說，泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸的距離，其方法中必須用到該定理。”

出示例題：如圖所示，海上停泊一艘輪船A，你能設(shè)計一個方案，測量A點到海岸邊B的距離嗎？（要求不能上船）并請說明由。

方案一：

看到這道題可能會覺得條件太少，無從下手，引導(dǎo)學(xué)生分析：測量輪船到海岸的距離要到岸邊來求，如果在岸邊找到一條線段，使它的長度等于輪船到岸邊的距離，那么這個問題就解決了。能否找一條與AB平行的線，構(gòu)造兩個全等三角形，通過證明兩個三角形全等，找到對應(yīng)邊相等，從而解決這個問題，泰勒斯用“角邊角”的判定方法解決了問題，你能根據(jù)這個思路構(gòu)造兩個全等三角形嗎？

然后動員小組合作學(xué)習(xí)，把課堂交給學(xué)生，分組討論解決方案，各小組得到的方案以成果匯報的形式交流。

學(xué)生利用“角邊角判定方法”構(gòu)造全等三角形，使線段AB的長等于另一條在我們測量范圍內(nèi)的線段CD的長。

方法：過B點作直線BE⊥AB，在BE上取點C，使點C可直接到達點A，并延長BC至D，使CD=CB，過D作DF⊥BE交AC延長線于F，只要測出DF的長度，即可知道A、B兩點間的距離。

上述方法中作BE⊥AB，DF⊥BE的目的是什么？若滿足∠ABO=∠DCO≠90°，方案2是否成立，為什么？

這個方法是法國數(shù)學(xué)史家坦納里（P.Tannery，1843—1904）提出的，他認為泰勒斯應(yīng)該是用這種方法求船到海岸的距離的。本題實際上是構(gòu)造全等三角形，運用全等三角形性質(zhì)把較難測量的距離轉(zhuǎn)化為已知距離或易測的距離，從而獲得需測量的問題的答案，是全等三角形實際應(yīng)用的具體體現(xiàn)。面對現(xiàn)實問題主動從數(shù)學(xué)角度進行分析，并探索解決方案，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的根本途徑。

本題在實際教學(xué)中具有一定的難度，當學(xué)生看到兩點一線時感覺無從下手，部分學(xué)生利用判定1的方法構(gòu)造三角形，結(jié)果發(fā)現(xiàn)求出的對應(yīng)三角形的邊長仍然在河流中，并不是在岸上測量的，教師在后來的教學(xué)中改進引導(dǎo)方法，強調(diào)泰勒斯運用的是“角邊角”的判定方法，引導(dǎo)學(xué)生在平行線間構(gòu)造全等三角形，尋找構(gòu)造全等三角形的方法，討論特殊角和一般角兩種情況，請找到的學(xué)生到投影儀上演示發(fā)現(xiàn)過程，學(xué)生反應(yīng)積極熱烈，這是本節(jié)課的亮點之一。

方案二：

在方案一的基礎(chǔ)上繼續(xù)設(shè)疑：方法一仍然受到置疑，因為如果船離海岸很遠，岸邊很難有足夠的平地可供測量。英國數(shù)學(xué)史家希思（T.L.Heath，1861—1940）認為泰勒斯是用另一種方法測量的，這種方法與一個故事有關(guān)：拿破侖軍隊在行軍途中為萊茵河所阻，一名隨軍工程師運用泰勒斯的“角邊角”的判定方法構(gòu)造兩個全等三角形，迅速測得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎。這位軍官是怎么做的呢？

他面向河對岸的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在河對岸的某一個點上，然后，他轉(zhuǎn)過一個角度，保持剛才的姿態(tài)，這時視線落在了自己所在岸的某一點上。

接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是河流的寬度。這種方法被廣泛地運用于文藝復(fù)興時期。你能說明其中的道理嗎？

分析：圖中的戰(zhàn)士是站立于地面上，從而知道∠CDA=∠CDB=90°，且CD=CD，∠DCA=∠DCB（視線保持不變），從而知道兩個三角形全等，所以AD=DB，上述方法是合理的。

問題：根據(jù)剛才的故事，你能找出另外一種A點到海岸邊B點的距離策略嗎？

方案二的得出，需要學(xué)生的思維從水平面拓展到豎直平面。所以，在這個過程中向?qū)W生介紹拿破侖將軍利用“角邊角”定理測量萊茵河的寬度而打了勝仗的故事，幫助學(xué)生得到方案二。

這種方法在數(shù)學(xué)史中記載，是希思（T.L.Heath，1861—1940）提出的另一種猜測：如圖，泰勒斯在海邊的塔或高丘上利用一種簡單的工具進行測量，直竿EF垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞A轉(zhuǎn)動，但可以固定在任一位置上.將該細竿調(diào)準到指向船的位置，然后轉(zhuǎn)動EF（保持與底面垂直），將細竿對準岸上的某一點C，則根據(jù)角邊角定理，DC=DB。

學(xué)生對拿破侖的工程師測量萊茵河長的故事非常感興趣，但是對七年級的學(xué)生來說，平面圖形變成立體圖形，學(xué)生的空間概念還不完善，不容易理解。有學(xué)生還認為，∠ADC明明是鈍角，怎么能和直角相同呢？為了便于學(xué)生理解。對于故事進行了相應(yīng)的改動，講軍官轉(zhuǎn)到180度角，得出兩個直角三角形全等.工程師用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是河流的寬度。在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)動任意一個角度，解起來就比較容易。有學(xué)生提出在轉(zhuǎn)動的過程中以工程師的腳或頭為圓心，以目測長為半徑畫弧，保持角度不變，這些都是很有見地的想法，值得肯定和表揚.

方案三：

理解了方案二的基礎(chǔ)上，還可以進一步把它改進成方案三，它類似拿破侖方案，但是先觀察后再退幾步構(gòu)造兩個全等三角形。

以上我們看到，三角形全等判定方法的歷史與它們的實際應(yīng)用密不可分，因而可以很好地創(chuàng)造學(xué)生的學(xué)習(xí)動機.比利時-美國著名科學(xué)史家薩頓（G.Sarton，1884—1956）曾指出：“在舊人文主義者和科學(xué)家之間只有一座橋梁，那就是科學(xué)史，建造這座橋梁是我們這個時代的主要文化需要。”我們也可以說，在數(shù)學(xué)和人文之間也有一座橋梁，那就是數(shù)學(xué)史，建造這座橋梁是今天實施數(shù)學(xué)新課程的需要，且讓我們開啟更多塵封的歷史寶藏，更好地為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)。

作為教師，要善于挖掘教學(xué)資源，采取多種形式進行教學(xué)，定會讓數(shù)學(xué)課堂不再枯燥，理科的天空也有人文的色彩.同時，教師本身更應(yīng)加強學(xué)習(xí)，提高自身的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)，這樣才能做好領(lǐng)路人，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)的天空中自由地翱翔.

參考文獻：

汪曉勤，王甲.全等三角形的應(yīng)用：從歷史到課堂.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：下半月初中，2008（10）.

（作者單位 上海市石筍中學(xué)）