從錯誤中巧求解

同學們在求解數學問題的過程中，稍不注意就有可能用錯公式，看錯數據.近年來各地的中考試題打破常規的化簡、計算、解方程等模式，巧妙地推出了“作業中的錯解”為背景的新穎試題，給人以耳目一新之感.那么對于這樣的試題應該怎樣求解呢？下面舉例說明，相信定會對同學們有所啟迪，以后再遇到此類試題，就不會感到手足無措了．

1 逆向思考 快速求解

例1 某人解方程x2+bx+c=0時，把求根公式錯用為b±b2-4?1?c2，結果得到的解是x1=2，x2=-3，則方程的正確解是 ．

解法1 因為把求根公式錯用為b±b2-4?1?c2，所以其所求的是方程x2-bx+c=0的二根，即x1=2，x2=-3是方程x2 - bx+c=0的實根.則由一元二次方程根與系數的關系，得

2+(-3)=b，

2×(-3)=c.

解之得b=-1，

c=-6.

從而原方程為x2 - x - 6=0，其解為x1=-2，x2=3．

解法2 由條件知x1=2，x2=-3是方程x2+bx+c=0的根，由方程根的定義知

22-2b+c=0，

(-3)2+3b+c=0.

解之得b=-1，

c=-6.

故方程的正確解為x1=-2，x2=3．

2 將錯就錯 簡捷求解

例2 同例1．

解法1 根據題意，顯然有

b+b2-4c2>b-b2-4c2，

所以b+b2+4c2=2，

b-b2-4c2=-3.

解之得b=-1，

c=-6.

故方程的正確解為x1=-2，x2=3．

解法2 根據題意可得

b+b2-4c2+b-b2-4c2=2+(-3);

b+b2-4c2×b-b2-4c2=2×(-3).

解之得b=-1，

c=-6.

故方程的正確解為x1=-2，x2=3．

3 正誤合用 巧妙求解

例3 同例1．

解析 方程x2+bx+c=0的正確解為

x1′=-b+b2-4c2，x2′=-b-b2-4c2.

又由已知條件：x1=b+b2+4c2=2，x2=b-b2-4c2=-3．

因為x1′+x2=-b+b2-4c2+b-b2-4c2=0，所以x1′=-x2=3．

又因為x2′+x1=-b+b2-4c2+b-b2-4c2=0，所以x2′=-x1=-2．

點評 上述解法繞道而行，沒有求原方程的系數，而是根據正確的求根公式與誤用的求根公式之間的關系，巧妙地求出了方程的正確的解．

4 挖潛辯弦 迅速求解

例4 在解二次項系數為1的某一元二次方程時，甲看錯的常數項，據此得出方程的兩根為1和4；乙看錯了一次項系數，據此求出的兩根為-1和6.則正確的方程為（ ）

A. x2-5x-6=0

B. x2+5x+6=0

C. x2+5x-6=0

D. x2-5x+6=0

解析 設正確的方程為x2+bx+c=0.因甲看錯了常數項，說明沒有看錯二次項系數和一次項系數，所以根據甲求得的兩根可求出一次項系數b，由1+4=-b，得b=-5.而乙看錯了一次項系數，說明沒有看錯二次項系數和常數項，所以根據乙得到的兩根可求出常數項c，由（-1） × 6=c，得c=-6，故正確的方程為x2-5x-6=0，應選A．

5 系數為零 特值求解

例5 已知x=-2，y=23，求kx－2(x－13y2)+(－32x+13y2)的值.一位同學在做題時，把x的值錯看成x=2，但最后也得出了正確的結果，已知計算過程無誤，據此可斷定k= ．

解析 將原式化簡，可得(k-72)x+y2.依題意知代數式的值與x無關，所以k－72=0，則k=72．

點評 本題還可用賦值法列方程，根據題意x=2與y=23時與x=2，y=23時代數式的值相等，于是-2（k－72）+32=2（k－72）+32，解之得k=72．

6 化簡代入 神奇求解

例6 小紅在學習過程中，遇到了這樣一道題：計算（2x3 - 3x2y - 2xy2） - （x3 - 2xy2+y3）的值，其中x=12，y=-1.他把x=12看成了x=-12，可是計算的結果卻是正確的，他百思不得其解，請你解開他心中的謎團．

解析 化簡可得，原式=-2y3.因為結果中不含x項，所以結果與x無關，因此小紅把x=12看成x=-12，計算的結果一定正確的．

點評 由本題可見，小紅在計算時是把x、y的值直接代入原式求值的.求代數式值的問題，通常是先化簡在求值．

例7 有一道題“先化簡，再求值：x-2x+2+4xx2-4÷1x2-4，其中x=-3.”小聰做題時把“x=-3”錯抄成了“x=3”，然而他的計算結果卻是正確的.請你告訴小聰這是何故？

解析 原式化簡可得，原式=x2+4.因為無論當x=3或x=-3時，都有x2=3，x2+4=7，所以把“x=-3”錯抄成了“x=3”，計算結果也是正確的．

例8 有這樣一道題“計算：x+x2-4x-x2-4+x-x2-4x+x2-4-x2（x > 2）的值，其中x=1005.”某同學把“x=1005”錯抄成“x=1050”，但他的計算結果卻是正確的.請你說明出現這種情況的原因．

解析 原式化簡可得，原式=(x+x2-4)24+(x-x2-4)24-x2=4x2-84-x2=-2.因為原式的值恒為-2，其結果與x的大小無關，所以把“x=1005”錯抄成“x=1050”，對計算結果沒有影響．

例9 為了估計一次考試的成績，某工作人員在求出38名考生分數的樣本平均數后，因為疏忽而把這個樣本平均數和38個分數混在了一起，然后求出這39個分數的樣本平均數，則后一個樣本的平均數與正確的樣本平均數的比是（ ）

A. 1 ∶ 1

B. 38 ∶ 39

C. 39 ∶ 38

D. 2 ∶ 1

解析 設38名考生分數的樣本平均數為，39個分數的樣本平均數為x′，則

x′=139［(x1+x2+…+x38)+］

=139(38+)

=．

故x′∶ =1∶ 1，應選A．